劉寧元

（廣東輕工職業(yè)技術學院 財貿(mào)學院，廣州 510000）

0 引言

自模糊集[1]提出以來,不確定條件下的模糊多屬性決策問題地研究已成為了學者們關注的重點。由于客觀事物的復雜性,決策信息有時很難直接用定量的模糊數(shù)值表示,而采用語言評價集[2-6]表示更接近人們的認知情形。然而語言短語隱含了一個假設,即論域中元素隸屬于語言短語的程度是1,不能反應非隸屬度和猶豫程度。Atanassov[7]提出了直覺模糊集概念,它在模糊集的隸屬度基礎上增加了非隸屬度函數(shù),能夠更細膩地刻畫模糊信息。結(jié)合直覺模糊數(shù)和語言短語的特性,王堅強等[8]定義了直覺語言數(shù)概念。直覺語言數(shù)用語言短語和論域中元素對該語言短語的隸屬度與非隸屬度進行表示,準確刻畫了屬性隸屬或非隸屬于語言短語的程度,在實際決策問題中用來表示不確定性更加合適。目前,針對直覺語言數(shù)多屬性決策問題地研究已經(jīng)引起人們的關注。文獻[8]定義了直覺語言數(shù)、運算法則以及直覺語言加權算術平均算子,提出了一種基于直覺語言集結(jié)算子的多屬性決策方法。文獻[9]定義了一些廣義直覺語言數(shù)集結(jié)算子。文獻[10]定義了直覺語言數(shù)有序加權平均算子和混合集結(jié)算子,提出了一種基于這些算子的直覺語言數(shù)多屬性群決策方法。文獻[11]定義了一種新的直覺模糊熵,提出了一種屬性權重信息不完全的直覺語言數(shù)多屬性決策方法。

比利時學者Brans提出一種“級別高于關系”PROMETHEE方法[12]。但迄今為止,PROMETHEE方法在直覺語言數(shù)環(huán)境中的多屬性決策應用研究還不多見,而針對直覺語言PROMETHEE多屬性群決策方法的研究還未見到。因此,本文將經(jīng)典的PROMETHEE方法拓展至直覺語言數(shù)環(huán)境中,以此解決直覺語言數(shù)多屬性群決策問題。

首先利用直覺語言加權算術平均算子將決策者給出的決策矩陣進行集結(jié),然后利用直覺語言數(shù)的定義,將直覺語言決策矩陣轉(zhuǎn)換為區(qū)間決策矩陣。通過引入?yún)^(qū)間可能度函數(shù),構建正切屬性偏好函數(shù),在已知屬性權重情況下,計算備選方案的優(yōu)先指數(shù),從而計算備選方案的綜合優(yōu)序級別值,并依據(jù)其大小對方案的進行優(yōu)劣排序。最后通過算例驗證本文提出的方法是可行的和有效的。

1 預備知識

1.1 直覺語言數(shù)

定義 1[8]：設一個語言評價集S={sθ|θ=0，1，…，2l}(l∈ Ζ+),其 拓 展 語 言 標 度Sˉ={sθ|θ∈ [0，q],q≥2l},設sθ(x)∈Sˉ,X為 給 定 論 域 ，則X上 的 直 覺 語 言 集 為A={(x，〈sθ(x)，μA(x)，νA(x)〉)|x∈X} 。其中：函數(shù)μA(x):→[0，1]和νA(x):→[0，1]分別表示x隸屬于和非隸屬于語言評價值sθ(x)的程度,且0≤μA(x)+νA(x)≤1。當μA(x)=1,νA(x)=0時,直覺語言集退化為語言評價集。

定義 2[8]：設決策者認為評價對象屬于s6(好)的程度為0.8,不屬于s6(好)的程度為0.1,對不能肯定是否為s6(好)的猶豫度為0.1。

由直覺語言數(shù)定義可知,決策者對語言評價值sθ(x)肯定 程 度 為μA(x),否 定 程 度 為νA(x),猶 豫 程 度 為πA(x)=1-μA(x)-νA(x),即決策者對語言評價值sθ(x)的信任度為區(qū)間數(shù)[μA(x),1-νA(x)]。因此,實際的語言評價值sθ(x)在sθ(x)?μA(x)和sθ(x)?(1-νA(x))之間取值,可用區(qū)間語言數(shù)[sθ(x)?μA(x)，sθ(x)?(1-νA(x))]來表示。

定義3[8]：設兩個直覺語言數(shù)和則:

易知,定義3中的所有運算結(jié)果仍為直覺語言數(shù)。

定 義 4[8]：設 一 組 直 覺 語 言 數(shù)bi(i=1，2，…，n),且IL-WAA:Ωn→Ω，若：

其中:Ω 為全體直覺語言數(shù)集合;w=（w1，w2，…，wn)是bi(i=1，2，…，n)的權重向量,且則稱IL-WAA為直覺語言數(shù)的加權算術平均算子。

定理[8]：設一組直覺語言數(shù)bi(i=1，2，…，n)，則由定義4集成得到的結(jié)果仍為直覺語言數(shù),且：

其中,w=（w1，w2，…，wn)是bi(i=1，2，…，n)的權重向量,且

1.2 區(qū)間數(shù)運算

定義5[13]：設為兩個區(qū)間數(shù),且γ≥0,則：

定義6［13］：設為兩個區(qū)間數(shù)，令則的可能度為：

2 問題描述

考慮直覺語言多屬性群決策問題,設X={X1,X2，…，Xm}表示方案集,A={A1，A2，…，An} 表示屬性集,且A1，A2，…，An是加性獨立,E={e1,e2，…，ep}為決策專家集。w=(w1，w2，…wn)是屬性權重向量,其中wj為屬性Aj的權重,滿足wj≥0且是決策者的權重向量,滿足ωj≥0且假設決策專家ek應用直覺語言數(shù)表示決策矩陣即決策專家ek對方案在屬性Aj(1，2，…，n)的評價值為其中為決策者ek對方案Xi在屬性Aj下的語言評價值表示評價專家ek對方案Xi在屬性Aj下屬于語言評價值的程度表示決策專家ek對方案Xi在屬性Aj下不屬于語言評價值的程度,滿足

本文主要考慮在群體決策環(huán)境下,依據(jù)決策專家組的直覺語言決策矩陣決策專家權重向量ωj,屬性權重向量wj,運用“級別高于關系”的PROMETHEE多屬性決策方法,根據(jù)方案優(yōu)序級別的正方向、優(yōu)序級別負方向和綜合優(yōu)序級別值來推導備選方案的排序和擇優(yōu)。

3 直覺語言PROMETHEE多屬性群決策方法

3.1 方法思路

針對屬性值為直覺預言數(shù)的多屬性群決策問題,下面利用PROMETHEE理論提出一種決策方法,其思路如下:

首先,將專家ek給出的決策矩陣進行規(guī)范化處理,得到規(guī)范化的決策矩陣其中:對于效益型準則,不需要處理,對于成本型準則,可采用下式進行規(guī)范化：

Brans等[14,15]給出6類優(yōu)先函數(shù),每一類優(yōu)先函數(shù)都有相應含義以及適應條件。決策者根據(jù)其偏好使用,同時決策者也可自己定義函數(shù),優(yōu)先函數(shù)Pj(Ai，Ak)是一個非減函數(shù)[16]。根據(jù)具體決策問題,本文引入正切屬性偏好函數(shù)：

進一步，計算備選方案Xi的優(yōu)先指數(shù)H(Xi，Xk),設屬性權重向量wj,滿足wj≥0且其中：

進而計算備選方案Xi的優(yōu)序級別的正方向?+(Xi)和優(yōu)序級別負方向?-(Xi),其中：

式（8）中?+(Xi)為備選方案Xi優(yōu)于其它方案的程度,?-(Xi)為備選方案Xi劣于其它方案的程度。因此,方案的偏序關系可以通過比較?+(Xi)和?-(Xi)得出：當?+(Xi)≥?+(Xk)且?-(Xi)≤?-(Xk)時,方案Xi優(yōu)于Xk；當?+(Xi)=?+(Xk)且?-(Xi)=?-(Xk)時,方案Xi與Xk無差異；當?+(Xi)＞?+(Xk)且?-(Xi)＞?-(Xk)或者?+(Xi)＜?+(Xk)且?-(Xi)＜?-(Xk)時,方案Xi與Xk不可比。

最后計算備選方案Xi的綜合優(yōu)序級別值?(Xi),其中：

依據(jù)綜合優(yōu)序級別值?(Xi)的大小得到備選方案的完全排序。

3.2 方法步驟

綜上,針對直覺語言多屬性群決策問題,基于PROMETHEE多屬性決策方法的決策步驟如下：

步驟2：利用IL-WAA算子式（2）對規(guī)范化直覺語言數(shù)矩 陣進 行 集 結(jié),得 到 綜 合 決 策 矩 陣Bˉ=

步驟4：利用式（3）、式（6）、式（7）計算備選方案Xi的優(yōu)先指數(shù)H(Xi，Xk)。

步驟5：利用式（8）、式（9）計算備選方案Xi的綜合優(yōu)序級別值?(Xi),并依據(jù)該值的大小,對方案進行排序,確定最優(yōu)方案。

4 算例分析

4.1 算例

考慮一個企業(yè)合作伙伴選擇問題[17]。某摩托車公司為提升市場競爭力,擬從5個同行X={X1，X2，…，X5}中選擇一最佳企業(yè)建立合作聯(lián)盟。該公司聘請了3位專家E={e1，e2，e3},權重向量為ω=(0.35，0.35，0.3)組成決策小組,分別利用語言短語集Sˉ根據(jù)3個指標(屬性)對這些企業(yè)進行評價：①A1：生產(chǎn)能力；②A2：研發(fā)實力；③A3：資金周轉(zhuǎn)能力。這些指標均為效益型指標,權重向量為w=(0.45，0.20，0.35),專家ek給出方案Xi在屬性Aj下的評價值用直覺語言數(shù)i=1,2…,5;j=1，2，3)表示,決策矩陣為見表1至表3。試確定最佳合作企業(yè)。

表1 決策矩陣B(1)=[b]5×3

表1 決策矩陣B(1)=[b]5×3

A2 A1 A3＜s6，0.7，0.2＞＜s5，0.8，0.1＞＜s6，0.8，0.1＞＜s7，0.7，0.2＞＜s8，0.7，0.1＞X1 X2X3〈s6，0.8，0.1〉＜s7，0.7，0.1＞＜s6，0.7，0.2＞＜s5，0.8，0.1＞＜s7，0.7，0.2＞X4X5＜s7，0.7，0.2＞＜s6，0.8，0.1＞＜s7，0.7，0.1＞＜s6，0.7，0.1＞＜s7，0.8，0.1＞

表2 決策矩陣B(2)=[b]5×3

表2 決策矩陣B(2)=[b]5×3

A1 A2 A3＜s7，0.6，0.2＞＜s6，0.7，0.2＞＜s7，0.8，0.1＞＜s8，0.6，0.2＞＜s6，0.7，0.1＞X1 X2 X3 X4 X5＜s7，0.7，0.2＞＜s8，0.8，0.1＞＜s7，0.6，0.2＞＜s5，0.8，0.1＞＜s6，0.7，0.1＞＜s6，0.7，0.2＞＜s7，0.7，0.2＞＜s6，0.8，0.1＞＜s7，0.8，0.0＞＜s7，0.8，0.1＞

表3 決策矩陣B(3)=[b]5×3

表3 決策矩陣B(3)=[b]5×3

A1 A3 X1 X2 A2 X3 X4 X5〈s5，0.8，0.1〉＜s8，0.7，0.2＞＜s7，0.6，0.1＞＜s4，0.8，0.1＞＜s6，0.7，0.1＞＜s6，0.7，0.2＞＜s4，0.6，0.1＞＜s4，0.7，0.2＞＜s6，0.8，0.1＞＜s7，0.9，0.0＞＜s6，0.8，0.1＞＜s7，0.7，0.1＞＜s8，0.7，0.1＞＜s6，0.7，0.2＞＜s6，0.8，0.1＞

表 4 決策矩陣 R=[r-ij，ˉij]5×3

表 4 決策矩陣 R=[r-ij，ˉij]5×3

A1 A2 A3 X1 X2X3[S4.5950,S5.2000][S5.6350,S6.6450][S4.2000,S5.5300][S4.2400,S4.7700][S4.4450,S5.4700][S4.4450,S5.0800][S4.1150,S4.9300][S4.2350,S5.0550][S4.8700,S5.9600][S5.8100,S6.5100]X4 X5[S4.3800,S5.2600][S4.3400,S5.1450][S5.3200,S6.2550][S4.6550,S5.6400][S5.0800,S6.0300]

步驟4：利用式（3）、式（6）、式（7）計算備選方案Xi的優(yōu)先指數(shù)H(Xi，Xk),見表5。

表5 方案 Xi(i=1，2，3，4，5)的優(yōu)先指數(shù) H(Xi，Xk)

步驟式5：利用式（8）、式（9）計算備選方案Xi的綜合優(yōu)序級別值：?(X1)=-0.2821,?(X2)=0.1313,?(X3)=0.0684,?(X4)=-0.2169,?(X5)=0.2993 ?？芍?方案的 排序 為X5?X2?X3?X4?X1。所以,摩托車公司選擇X5企業(yè)建立合作聯(lián)盟。

4.2 比較分析

（1）在直覺語言環(huán)境下的決策情況

利用文獻[17]拓展的TOPSIS方法和VIKOR方法對直覺語言數(shù)群決策問題進行計算分析,將上述兩種方法得到的結(jié)果與本文得到的結(jié)果進行比較,如表6所示。

表6 在直覺語言環(huán)境下不同的決策方法的結(jié)果比較

由表6可知,基于拓展的VIKOR方法得到的方案排序結(jié)果是:X5?X2?X3?X1?X4,折衷解為{X5，X2}；基于拓展的TOPSIS方法和本文的方法都是X5?X2?X3?X4?X1,最優(yōu)解是X5,其次是X2。雖然三種方法的排序結(jié)果在最后兩個位置上存在差異,但最優(yōu)方案相同,從而說明本文方法是有效而且計算也相對簡單。

（2）在區(qū)間猶豫模糊數(shù)環(huán)境下的決策情況

將本文方法拓展到區(qū)間猶豫模糊數(shù)環(huán)境下，與文獻[18]和文獻[19]所應用的決策方法進行比較分析。首先將文獻[18]的決策矩陣轉(zhuǎn)換為得分矩陣，應用本文方法式（6）、式（7），計算方案Xi的優(yōu)先指數(shù)H(Xi，Xk),得到備選方案的綜合優(yōu)序級別值:?(X1)=-0.2121,?(X2)=0.0277,?(X3)=-0.3418,?(X4)=0.1744,?(X5)=0.3518。方案的排序為X5?X4?X2?X1?X3。與文獻[18]和文獻[19]的決策結(jié)果進行比較,如表7所示。

表7 在區(qū)間猶豫模糊環(huán)境下不同決策方法的結(jié)果比較

由表7可知,三種決策方法最優(yōu)的方案都是X5,本文方法與文獻[19]的排序結(jié)果一樣而且能有效區(qū)分方案X1和X3的優(yōu)劣,而文獻[18]不能區(qū)分方案X1和X3的優(yōu)劣。這說明本文方法是有效的而且與文獻[18]和文獻[19]比較,步驟簡潔,具有一定優(yōu)勢。

5 結(jié)束語

直覺語言數(shù)能夠同時刻畫備選方案在各屬性下的語言評價,以及決策者對該語言評價的信任程度和猶豫程度,是解決多屬性決策問題的重要工具。本文針對屬性值為直覺語言數(shù)的群決策問題,給出了一種PROMETHEE方法。該方法既是對直覺語言數(shù)的多屬性決策模型的豐富,也是對經(jīng)典PROMETHEE方法在直覺語言數(shù)環(huán)境下的一個擴展。它既充分利用了直覺語言數(shù)信息，又利用了PROMETHEE思想“級別優(yōu)于關系”的多屬性決策方法。該方法具有概念清晰、計算過程簡單等特點,具有可操作性和實用性,為解決直覺語言信息多屬性決策問題提供了一種新的途徑,具有實際應用價值。