孫 欣 王乃濤

史寧中教授曾指出：人的基本思維能力就是想象能力和抽象能力，其他思維能力都是它們派生的。數(shù)學抽象最能體現(xiàn)數(shù)學本質。

一、兒童數(shù)學抽象力形成的困惑

（一）對原初概念表征不清，抽象過程缺少思維基礎

我們通常用已知概念（原初概念）來定義新概念，如用因數(shù)來定義質數(shù)、合數(shù)，用自然數(shù)來定義因數(shù)。學生對原初概念的理解直接影響他們的新概念形成。如學習蘇教版四下《三角形的高》一課時，由于學生對原初概念的表征與理解不清，往往會致使其新概念抽象過程模糊（如表1）。

（二）對問題解決機械模仿，抽象方法選擇運用不當

教師常結合生活情境來幫助學生理解數(shù)學問題，以培養(yǎng)他們用數(shù)學的眼光觀察生活的能力。但是，如果教學浮于表面，學生則會對方法理解不透、運用不當。如學習蘇教版一下《100以內(nèi)加減法》一課時，常常會出現(xiàn)如下頁表2所示的問題。兩道題題型相同，正確率卻相差較大。題1找回錢數(shù)很少，符合生活中找回錢少的現(xiàn)實暗示，學生會根據(jù)數(shù)據(jù)特點機械模仿解決題1的方法來解決題2。

表1 對原初概念表征不清示例

表2 對問題解決機械模仿示例

（三）對數(shù)學原理表達不清，抽象結論難以語義說明

學數(shù)學需探究數(shù)學原理。建構數(shù)學原理時，可舉例、歸納、概括，也可以純數(shù)學邏輯推導。受認知能力限制，學生表達數(shù)學原理時往往會出現(xiàn)不全面、不完整、不準確等情況。如教學蘇教版五下《分數(shù)的基本性質》一課，在折紙、填等式、發(fā)現(xiàn)分子分母倍數(shù)關系等環(huán)節(jié)，學生能輕松應對，但讓他們用語言概括規(guī)律時，他們的表達卻往往不如人意，有的只表達出了乘或除中的一種情況，有的考慮不到0除外。

（四）對數(shù)學本質把握不準，核心要素難以深刻辨析

同一對象可用不同標準進行分類。同一概念處于不同上位概念之下，也以不同樹狀結構引發(fā)下位概念。學生對交叉狀的概念體系結構往往難以辨別。如教學蘇教版五下《因數(shù)與倍數(shù)》一課，不等于0的自然數(shù)可分為1、質數(shù)和合數(shù)，也可分為奇數(shù)和偶數(shù)。但因學生對數(shù)學概念的核心要素把握不準，導致他們對兩種分類標準（是否2的倍數(shù)，因數(shù)有多少）和概念結構難以深入辨析。

二、兒童數(shù)學抽象力的含義及學習特征

（一）兒童數(shù)學抽象力的含義

數(shù)學抽象力是在數(shù)學抽象過程中形成的理解力、判斷力、想象力、概括力等能力的總和。

（二）兒童數(shù)學抽象學習的典型特征

小學生的數(shù)學抽象主要指情境性抽象或經(jīng)驗性抽象，具有兩重性，既表示從情境中提取的過程，又表示從過程中得出的經(jīng)驗概念。

1.表達的直接性。兒童頭腦中的信息屬于“自然結構”，加工起來相對困難，難以進行數(shù)學邏輯解釋，而是一點一點地直接表達想法。

2.表征的直觀性。兒童表征數(shù)學概念從實物、圖形開始，尚不能完全脫離數(shù)學原型展開邏輯思考，抽象過程以具體形象和表象為支撐。

3.原理的探究性。兒童不滿足于接受現(xiàn)有的結論，喜歡從數(shù)學事實出發(fā)猜想、追問、尋找數(shù)學規(guī)律，具有一定的探究意識與能力。

4.思維的半邏輯性。兒童抽象能力的發(fā)展介于實物、圖形的形象認知和原理、規(guī)律的抽象過程之間，具有一定的但不完全的邏輯性，我們

稱為“半邏輯性”的學習特點。

三、兒童數(shù)學抽象力的培養(yǎng)策略

（一）全面打破——匹配抽象內(nèi)容的適應場

數(shù)學抽象主要有概念抽象、規(guī)律抽象、運算抽象、關系抽象、思想方法抽象等。

1.概念抽象——去異求同，抽離本質屬性。要促進學生建立數(shù)學概念，教師應注重引導學生觀察、比較，區(qū)別事物的本質屬性與非本質屬性，發(fā)現(xiàn)事物間共同的屬性，形成正確的概念。如教學蘇教版二下《認識角》一課，可出示實物圖片，引導學生描出圖片中的角，從實物圖中剝離出角的平面圖形，再通過觀察、比較抽象出平面圖形的共同特點，抽離出角的本質屬性（由一個頂點和兩條邊組成）。

2.規(guī)律抽象——去粗取精，概括臨近結論。在規(guī)律探究中，學生根據(jù)研究素材形成的發(fā)現(xiàn)有些無普適性。教師應引導學生去除外在表象，展示本質，在臨近結論的基礎上形成正確的結論。如教學蘇教版四下《多邊形內(nèi)角和》一課，學生通過量、算、拼等方法得出了三角形與四邊形的內(nèi)角和及2倍關系，但還不能發(fā)現(xiàn)邊數(shù)與內(nèi)角和的關系。教師適時啟發(fā)：想象一下，多邊形的內(nèi)角和會與什么有關？當學生理解了多邊形內(nèi)角和與三角形內(nèi)角和有關時，就容易找到研究五、六邊形內(nèi)角和的方法了。借助圖形直觀進行歸納推理，解釋規(guī)律的合理性，有助于學生矯正其臨近結論。

3.運算抽象——理法相通，提煉運算法則。在計算教學中，溝通算理與算法很重要。算理是算法的基礎，及時溝通算法與算理的聯(lián)系有利于算法的抽象、提煉與掌握。如蘇教版三下《兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算》一課的例題為：幼兒園購進12箱迷你南瓜，每箱24個。一共有多少個？教師教學時應注意引導學生理解算理和豎式過程（如圖1），溝通新舊方法，并啟發(fā)學生討論：（1）豎式中第二步算出的積的末位為什么要與十位對齊？（2）新算法為什么要分步表示過程？在數(shù)學問題情境中溝通新舊方法，理解算理，抽象出運算法則。

圖1 例題解決過程

4.關系抽象——先主后次，多角度確定解題思路。關系抽象包含數(shù)量關系、圖形關系等的抽象，數(shù)、形、量之間有著密切的關聯(lián)。教師應注重引導學生打破各種關系的界限，使他們形成有主次、多角度解決問題的意識。如教學蘇教版六下《按比例分配》一課，解決“甲數(shù)是48，甲數(shù)、乙數(shù)的比是6∶5，求甲數(shù)、乙數(shù)的和”這道題時，把6∶5看作份數(shù)，可列出48÷6×5+48這樣的算式；把6∶5看作分數(shù)，可列出48÷6×5+48、48÷+48這樣的算式。將不同類型的關系進行融通，打破割裂、單一、凝固的教學格局，有助于拓寬學生的解題視野，促進他們抓住問題關鍵抽象出解題模型。

（二）全向打通——激活抽象方法的運用場

抽象過程中會用到多種數(shù)學思想方法，主要有分類與比較、歸納與概括、推理與想象等。

1.分類與比較——抓共同點，彰顯同一性。分類大致有分情況討論和概念分類兩種情況。如教學蘇教版三上《認識幾分之一》一課時，可出示一些圖形，有平均分成2份、3份、4份的，有不平均分成2份、3份、4份的，然后組織學生經(jīng)歷兩級、兩種分類比較（如圖2），并引導他們發(fā)現(xiàn)：先按相等份數(shù)或是否平均分分類，分類結果相同，說明每類具有相同的屬性。滲透分類比較思想，促進學生發(fā)現(xiàn)每類圖形的本質，能為他們抽象出分數(shù)的本質屬性打下基礎，為他們正確認識分數(shù)的意義打開通道。

圖2 一些圖形的兩級、兩種分類比較

2.歸納與概括——抓表達，強調正確性。抽象和概括存在于同一母體，一同發(fā)生、發(fā)展。概括出的概念是建立新概念的基礎，可推廣到該類對象中。如數(shù)“5”是從5個人、5只鳥、5幢樓等事物中舍去非本質特征，概括出本質特征——數(shù)量相等而抽象出來的。此方法可用來表示基本“數(shù)符號”，但要注意表達的正確性。

3.推理與想象——抓邏輯，體現(xiàn)合理性。抽象過程離不開想象，是指根據(jù)數(shù)學對象表面相似或本質的聯(lián)系展開形式到形式或內(nèi)在到內(nèi)在的聯(lián)想。如教學蘇教版五上《小數(shù)的意義》一課，可借助米尺使學生直觀地認識一位（兩位）小數(shù)表示十分之幾（百分之幾），引導他們聯(lián)想到三位小數(shù)表示千分之幾，并追問：我們需要把1000份全部畫出來嗎？進而適時點撥：數(shù)學學習未必需要把所有情況都呈現(xiàn)出來，推理、想象同樣能幫助我們得到結果。通過推理與想象抽象出數(shù)學的本質屬性，有助于學生抓住數(shù)學的內(nèi)在邏輯，感受抽象結論的合理性。

（三）全息遞進——提升高階思維的層次場

兒童數(shù)學抽象思維的層次應匹配數(shù)學對象抽象的層次。如自然數(shù)抽象比代數(shù)式抽象更具體，故理解代數(shù)式所需的抽象力高于理解自然數(shù)所需的抽象力。

1.實物層面的抽象——從現(xiàn)實情境剝離出數(shù)學問題。實物層面的抽象是基于已有生活經(jīng)驗與生活現(xiàn)實的抽象，以實物為抽取對象，到超越實物而尚未完全脫離實物結束。如教學蘇教版三上《平移與旋轉》一課，教師首先呈現(xiàn)升降國旗圖、火車行駛圖、吊扇圖、鐘表圖等，瞬間把學生帶入平移（旋轉）的情境，讓他們感受平移（旋轉）的運動特點，思考圖形怎樣運動可以稱為平移（旋轉）。借助實物從適合的現(xiàn)實情境剝離出數(shù)學問題，有助于學生把握事物的內(nèi)在屬性。

2.半符號層面的抽象——把數(shù)學問題轉化為兒童經(jīng)驗。半符號抽象是實物抽象基礎上的發(fā)展。如教學蘇教版三上《軸對稱圖形》一課，在學生初識軸對稱圖形的概念后，可呈現(xiàn)形態(tài)各異的圖形，如交通標志、字母等，組織學生找出其中的軸對稱圖形。然后引導他們運用對折后兩邊完全重合這一關鍵屬性深化軸對稱圖形的概念，這是實物直觀層面的第二次抽象，處于半符號層面，此時，數(shù)學問題已經(jīng)轉化為兒童的抽象經(jīng)驗了。

3.符號層面的抽象——把兒童經(jīng)驗濃縮為概念原理。符號層面的抽象具有典型的階段性、層次性，抽象形式已去掉具體內(nèi)容，可用概念、符號、關系等表述已簡約化的單個事物或一類事物。如教學蘇教版五下《分數(shù)的意義》一課時，教師引導學生回顧平均分蛋糕、長方形、一米長度、一些物體后，揭示一個物體、一個圖形、一個計量單位、一個整體都叫單位“1”，然后讓學生根據(jù)一（幾）幅圖中的某個分數(shù)的具體意義抽象概括分數(shù)的一般意義，擴大分數(shù)意義的內(nèi)涵和外延，完成符號層面的抽象。引導學生抓住數(shù)學概念、原理的共同特征，用概括、抽象、簡潔的數(shù)學符號表達出來，有助于他們深入理解數(shù)學概念或數(shù)學原理。

4.形式化層面的抽象——把數(shù)學原理輸出為數(shù)學模型。形式化層面的抽象處于數(shù)學抽象的普適階段，它通過假設和推理建立法則、模式或模型，并在一般意義上解釋具體事物。如基于對比例概念的認識，學生可建立新的數(shù)學原理。如學習“解比例”時，可引導學生通過解決“在電腦上把長6厘米、寬4厘米的照片按比例放大，放大后照片的長是13.5厘米，寬是多少厘米？”這樣的問題，把模型運用到問題解決中。引導學生從數(shù)學現(xiàn)實中概括、抽象出數(shù)量關系和解題規(guī)律，通過形式化抽象處理，能有效提升學生的數(shù)學抽象力。

總之，數(shù)學抽象力是兒童數(shù)學學習的必備品質，教師教學時應注重建構有助于提升兒童數(shù)學抽象力的適性場域。