常培林

摘 要：Stokes公式是一般的積分公式，Stokes公式的一維形式上就是微積分基本N-L公式，二維情形上則是Green公式，三維空間上是Gauss公式，在曲面上表現(xiàn)為通常意義上的Stokes公式。所以思考由低維向高維公式的轉(zhuǎn)換思想以及一般的Stokes公式的證明，實(shí)現(xiàn)Stokes公式在四維空間上的推廣，并將所得結(jié)果和一般的Stokes公式進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證其正確性。

關(guān)鍵詞：Stokes公式；Green公式；Gauss公式；四維空間推廣

1 前言

N-L公式、Green公式、Gauss公式、Stokes公式這個(gè)公式在數(shù)學(xué)分析中有著非常重要的地位，縱觀這幾個(gè)公式之間有著共同的特點(diǎn)：

（1）他們基本上是把從區(qū)間或區(qū)域上的計(jì)算轉(zhuǎn)化到邊界上計(jì)算，如Green公式是從平面區(qū)域轉(zhuǎn)化到邊界曲線L上的；

（2）他們分別是從一維空間到二維空間再到三維空間上的轉(zhuǎn)換.

根據(jù)以上敘述，我們發(fā)揮發(fā)散性思維：是否可以推廣到思維空間呢？以下將對(duì)此問(wèn)題進(jìn)行研究。

2 預(yù)備知識(shí)

2.1 N-L基本公式

設(shè) 是 上連續(xù)，設(shè)F是 在 上的一個(gè)原函數(shù)，則：

（2.1）

公式（2.1）就稱之為N-L（牛頓-萊布尼茲）公式。

2.2 Green公式

設(shè)D為平面上由光滑或分段光滑的簡(jiǎn)單閉曲線所圍的單連通區(qū)域。如果函數(shù) ， 在D上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，那么：

（2.2）

公式（2.2）即成為Green公式，其中L+表示沿D的邊界的正方向。

2.3 Gauss公式

設(shè) 是 中由光滑或分片光滑的封閉曲面 所圍成的二維單連通封閉區(qū)域， ， 與 在 上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，

則 ，即：

（2.3）

公式（2.3）就稱之為Gauss公式，其中 表示有向封閉曲面 的外側(cè)。

2.4 Stokes公式

設(shè)S為光滑曲面或分片光滑的雙側(cè)曲面，其邊界為光滑或分段光滑閉曲線 ，若 ， 與 在S及其邊界 上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有：

（2.4）

公式（2.4）就是Stokes公式，其中 取S的誘導(dǎo)定向。

3 三維空間內(nèi)的Stokes公式的推廣

3.1 Stokes公式與Green公式

Stokes公式是Green公式的推廣. Green公式表達(dá)了平面閉區(qū)域上的二重積分與其邊界曲線上的曲線積分間的關(guān)系， 而Stokes 公式則把曲面 上的曲面積分與沿著 的邊界曲線的曲線積分聯(lián)系起來(lái). 下面的公式就敘述這種關(guān)系.

定理3.1.1：設(shè) 為分段光滑的空間有向閉曲線， 是以 為邊界的分片光滑的有向曲面， 的正向與 的側(cè)符合右手規(guī)則， 函數(shù) ，

， 在包含曲面 在內(nèi)的一個(gè)空間區(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， 則有公式

上式叫做Stokes公式.

3.2 Stokes公式與N-L公式

定積分的N-L（萊布尼茲）公式： ，如果把 看出是0-形式 在區(qū)間 的誘導(dǎo)定向邊界 上的積分，則N-L公式也可以寫成 。所以說(shuō)N-L是Stokes公式的一維形式。

3.3 Stokes公式與Gauss公式

假設(shè) 是 中的分片光滑曲面， 是 的邊界，記：

那么

也就是說(shuō)Gauss公式有 ，也就是說(shuō)Gauss公式是Stokes的三維推廣模型。

4 Stokes的四維空間推廣

根據(jù)以上三維空間內(nèi)的Stokes公式的推廣，在此將其推廣到四維空間中，首先假設(shè)：

設(shè)K是 中由光滑或分片光滑的封閉曲面 K所圍成的三維單連通封閉區(qū)域， ， ， 與 在K上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則：

（4.1）

其中 表示有向封閉曲面 的外側(cè)。

證明：記：

那么

也就是說(shuō)四維公式有 ，也就是說(shuō)四維公式是Stokes的四維推廣模型。

結(jié)語(yǔ)

綜上所述，在一維的直線上，Stokes公式就是N-L公式；在平面上，Stokes公式就是Green 公式；在空間的情形；Stokes 就是Gauss 公式，Stokes公式是一般的積分公式，Stokes公式的一維形式上就是微積分基本公式，二維情形上則是Green公式，三維空間上是Gauss公式，此推論在四維空間上同樣適用。

限于本人水平有限，文中還有很多地方值得深思和延伸，希望在今后的研究中能夠加入深入。

參考文獻(xiàn)

[1] 褚衍彪. N-L公式、Green公式、Gauss公式、Stokes公式縱橫談[J]. 科教文匯旬刊， 2007（11）：184-185.

[2] 宋來(lái)忠. Gauss映照非退化的曲面及利用Stokes公式所得的一些整體性質(zhì)[J]. 湖北科技學(xué)院學(xué)報(bào)， 1987（s1）：23-28.

[3] 劉紅玉， LIUHong-yu. Stokes公式及其在高維空間中的推廣[J]. 廣東技術(shù)師范學(xué)院學(xué)報(bào)， 2015， 36（2）：6-8.