龍鋒鋒

摘 要：教師在教育工作中，只有掌握了自己的教育對象，才能因材施教，提高教學質(zhì)量。而要掌握學生情況，就必須經(jīng)常了解他們各方面，分析他們的心態(tài)及存在的問題。這一切都離不開統(tǒng)計知識。標準差與算術平均數(shù)一樣，是一項十分重要的統(tǒng)計指標。對于“算術平均數(shù)”大家較為熟悉，而對“標準差”的概念和它在教育統(tǒng)計中的用途，諸多教師可能并不十分清楚。為此，本文著重介紹標準差在教育統(tǒng)計中幾個主要的用途。

關鍵詞：標準差 教育統(tǒng)計 用途

中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：C 文章編號：1672-1578（2019）01-0170-02

1 數(shù)學中標準差的概念和意義

1.1 數(shù)學中標準差的概念

考試的原始成績屬于計量資料，通常選用算術平均數(shù)和標準差分別代表集中的趨勢和整體的離散程度。也就是說標準差是衡量離散程度的統(tǒng)計量 。所謂離散程度就是指數(shù)值間的波動程度。在平常應運中，我們可以用方差、標準差等統(tǒng)計量來衡量離散程度，而標準差是最為完善和科學的。盡管結(jié)果較易受兩端極值的影響，但由于它能用代數(shù)方法運算且受到抽樣變動的影響較小，所以標準差反映的離散程度相對于算術平均數(shù)還是比較準確的。

標準差也被稱為標準偏差，即方差的算術平方根。簡單地說，標準差是一組數(shù)值的離散程度。一個較大的標準差，代表大部分的數(shù)值間的離散程度或數(shù)值和平均值之間的差異較大；反之，代表大部分的數(shù)值間的離散程度或數(shù)值較接近平均值。

標準差是總體各單位標志值與其算術平均數(shù)的離差平方的算術平均數(shù)的平方根，也稱均方差。

例如：兩組數(shù)的集合{2，7，9，14}和{6，7，9，10}其平均值都是8，但第二個集合相較于第一個集合具有較小的標準差。

例如，A、B兩組各有6位學生參加同一次語文測驗，A組的分數(shù)為95、85、75、65、55、45，B組的分數(shù)為73、72、71、69、68、67。通過計算可知A、B組的平均數(shù)都是70，但A組的標準差為18.71分，B組的標準差為2.37分，說明A組學生之間的差距要比B組學生之間的差距大得多。

由于方差是數(shù)據(jù)的平方，與檢測值本身相差太大，人們難以直觀的衡量，所以常用方差開根號換算回來，這就是標準差。

1.2 數(shù)學中標準差的意義

標準差是衡量數(shù)據(jù)離散程度的最好標準。值越大，說明離散程度大，反之，說明數(shù)據(jù)比較集中，它是統(tǒng)計分析中最常用的差異量數(shù)。它具有一個良好的差異量數(shù)應具備的條件：準確度高；有公式嚴密確定；容易計算；適合代數(shù)運算；抽樣變動影響小。

2 數(shù)學中標準差在小學教育中的應用

2.1利用數(shù)學中標準差對小學學生學習的穩(wěn)定性進行評估

例如：小明數(shù)學10次測驗考試成績?nèi)缦拢?/p>

50 60 65 88 82 95 70 75 93 77

平均數(shù)： 75.5（分） 標準差：13.85（分）

通過計算結(jié)果可知：該學生的平均分是75.5分，反映該學生學習成績的一個集中水平。標準差13.85分，反映了該同學每次考試與一般水平平均相差13.85分，說明該生成績不是很穩(wěn)定。那么該同學就可以認真分析一下導致成績不穩(wěn)定的原因在哪里。這樣學生不緊學會了知識，還可以將所學用于自身實踐，利于提高學生的學習興趣。同時老師也可以根據(jù)標準差來分析學生學校情況的穩(wěn)定性，從而關注學生的學習情況及引起學習變動的其他方面，以便更加了解學生，找出原因提高學生的學習成績。

2.2 教師利用數(shù)學中標準差可以比較不同班級學生成績的差異程度

例1：甲、乙兩班分別有10名同學，某次考試中：甲班學生平均成績80分，乙班學生的平均成績是80分，甲班學生標準差為5分，乙班學生標準差為15分。

分析：雖然甲乙兩班學生的均分都為80分，但是甲班標準差小于乙班標準差，說明甲班學生之間的學習成績都差不多，個體差異不是很大，基本接近80分；而乙班學生之間的學習成績個體差異較大，高分和低分兩級分化的情況較明顯。兩個班的平均數(shù)代表性也不同，甲班學生平均成績代表性要高于乙班平均成績代表性。上例是甲、乙兩班平均數(shù)相等，若甲、乙兩班平均數(shù)不等，比較兩班學生成績離散程度就需要計算標準差系數(shù)。

例2：2017年秋期數(shù)學期末考試甲班平均分80分，標準差5分；乙班平均分85分，標準差10分。

甲班離散系數(shù)： 6.25% 乙班離散系數(shù)； 11.76%

計算結(jié)果表明：雖然乙班平均成績比甲班平均成績高，但是乙班離散系數(shù)大于甲班離散系數(shù)，則乙班學生平均成績代表性小于甲班學生平均成績代表性。乙班學生與學生之間成績差異較大，高低分兩級分化較嚴重；甲班學生與學生之間的成績差異不大，整體學的好。如果有?？频闹R競賽，學?？梢詮囊野鄬W生里選，因為一般均分高，而且有學的特別好的學生存在。

通常，在學校在對教師進行量化考核時有一項就是對成績的考核，大部分學校只看重平均成績，卻忽略了平均數(shù)代表性大小的問題。應該將平均成績和標志變異指標（通常選用標準差）結(jié)合應用。

2.3 利用數(shù)學中的標準差對各小學學校成績進行評估

教育局等上級單位，有時要對各學校成績進行評估。評估的過程中不可能把所有學校的所有學生成績拿來調(diào)查分析，通常從每個學校隨機抽取部分學生的成績作為樣本來調(diào)查，這樣肯定會存在一定的抽樣誤差。所以對學校學校成績的評估除了要看平均成績，還得結(jié)合一下在每個學校進行調(diào)查時，產(chǎn)生的抽樣誤差，反映抽樣誤差的指標是抽樣平均誤差。

抽樣平均誤差是各個樣本指標與全及指標之間的平均離差。抽樣平均誤差實際上是各個樣本指標的標準差。

通常，全校學生所有學生的平均成績用的是以前數(shù)據(jù)代替，或正式抽樣前所進行的試驗性調(diào)查的數(shù)據(jù)來代替。

例如：教育局對A、B兩所學校學習成績進行調(diào)查，隨機從兩所學校抽取100名學生進行調(diào)查，計算得A校的學習成績均分為80分，抽樣平均誤差為7分，B校的學生學習成績?yōu)?0分，抽樣平均誤差為20分。

分析：從平均成績來看，B校學生學習成績高，學習較好；從抽樣平均誤差來看B校的調(diào)查結(jié)果誤差較大一些，調(diào)查結(jié)果的準確性有所欠缺。所以不能片面的憑平均成績來評估學校的學校成績，要結(jié)合抽樣平均誤差來評估。

可見，標準差以不同的形式為我們教育統(tǒng)計展現(xiàn)自己的魅力，只是很多學生、老師并沒有意識到它的魅力所在，因而實踐應運較少。平均數(shù)它反映的是總體中各單位的標志的一般水平，是各單位標志值的一個一般水平，而標準差它是反映總體各單位的標志值之間的差異程度，可以用來衡量一般水平的代表性。二者結(jié)合應用最為科學。

2.4 數(shù)學中的標準差在教學中的應用

例1：某班40人隨機平均分成兩組，兩組學生一次考試的成績情況如下：第一組平均分90，標準差是6 ；第二組平均分是80，標準差是4，每組20人，求全班的平均成績和標準差？

解：平均分=（90×20+20×80）÷40=85；

第一組的平方和=20×62+20×902=162720；

第二組20人分數(shù)的平方和=20×42+20×802=128320；

40人分數(shù)的平方和=162720+128320=291040；

這40人的方差=（291040-40×852）÷40=2040=51；

全班標準差=■≈7.1。

例2：甲乙兩位教師所教兩個班，平均分數(shù)均為75分，但教師甲所教班的標準差為12，教師乙所教班的標準差為8，將平均分和標準差分別帶入公式求均差分數(shù)，則：教師甲的均差分數(shù)為Y=X-S=75-12=63，教師乙的均差分數(shù)為Y=X-S=75-8=67。

（X：平均數(shù) S：標準差）

由計算結(jié)果得出結(jié)論：乙教師面向全體學生的教學成績高于（好于）甲教師。

例3：一個班級中有兩個組的學生的數(shù)學平均成績都是75

分，具體如下：甲組 60，65，70，75，80，85，90； 乙組 50，60，70，

75，80，90，100。

雖然這兩組學生的平均分相同，但甲組學生的教學成績標準差較小，程度比較齊，75分的代表性比較大；乙組學生的標準差較大，程度參差不齊，75分的代表性較小。

標準差反映教師教學成績的離散程度（班學生成績高低之間的差別程度），平均分相同時，標準差大，表明班學生成績高低懸殊大。只有不僅平均分數(shù)高，而且標準差小時，才能得到較高的均差分數(shù)。也就是說，教師要想取得較高的均差分數(shù)，除了要努力提高全班學生的學習成績，提高班平均分之外，還必須認真幫助學困學生，提高他們的成績，從而降低標準差，真正達到面向全體學生的教學效果。

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