鄧攀 劉正楠 耿滔

摘要：為了研究具有精細(xì)結(jié)構(gòu)的圓對(duì)稱愛里光束的傳輸特性，通過減小與光斑寬度相關(guān)的參數(shù)w，使初始光場具有與波長相近的精細(xì)結(jié)構(gòu)。在此特定情況下，用瑞利一索末菲衍射理論對(duì)圓對(duì)稱愛里光束的傳輸特性進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。研究結(jié)果表明：隨著參數(shù)w的減小，圓對(duì)稱愛里光束的精細(xì)結(jié)構(gòu)增加，使得代表高頻成分的離軸光場影響逐漸增大并參與聚焦行為，焦點(diǎn)光強(qiáng)峰值增大，焦點(diǎn)主光斑的半高全寬減小，突然自聚焦能力得到顯著提升;當(dāng)w減小到某一閾值后，由于持續(xù)增加的高頻分量進(jìn)入到倏逝波，焦點(diǎn)光強(qiáng)峰值減小，焦點(diǎn)主光斑的半高全寬增大，突然自聚焦性能下降。

關(guān)鍵詞：圓對(duì)稱愛里光束;精細(xì)結(jié)構(gòu);衍射理論;突然自聚焦

中圖分類號(hào)：0436.1 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

引言

愛里光束（Airy beam，AB）早在2007年被提出，由于其具有無衍射、自加速、自修復(fù)等特性，極大地激發(fā)了相關(guān)領(lǐng)域科研工作者的研究熱情。2010年，基于徑向?qū)ΨQ性的圓對(duì)稱愛里光束（circular Airy beam，CAB）被提出，201 1年CAB在實(shí)驗(yàn)上得以實(shí)。隨之進(jìn)一步提升CAB自聚焦能力的研究成為人們關(guān)注的熱點(diǎn)。文獻(xiàn)【6】將操作波長從可見光移到了太赫茲波段，利用超表面獲得了太赫茲波段的CAB，使得光束的自聚焦光斑接近了波長尺寸。這種方法不可避免地使得CAB的初始光場分布具有了與波長尺度相當(dāng)?shù)木?xì)結(jié)構(gòu)。

在CAB傳輸特性的理論研究方面，已獲得了許多研究成果，但這些研究都默認(rèn)CAB光場結(jié)構(gòu)是遠(yuǎn)大于波長的，未考慮精細(xì)結(jié)構(gòu)帶來的影響。相關(guān)資料顯示，目前還未有具有精細(xì)結(jié)構(gòu)的CAB傳輸特性的理論研究報(bào)道。因此，本文針對(duì)這一問題進(jìn)行了理論研究，以期能更深入地認(rèn)識(shí)CAB的突然自聚焦特性，進(jìn)一步提升其可應(yīng)用性。

1CAB傳輸原理

CAB的初始光場分布表達(dá)式為

由于研究者還未能找到滿足柱坐標(biāo)下亥姆赫茲方程或傍軸亥姆赫茲方程的愛里函數(shù)解，因此對(duì)于CAB的描述還無法給出直角坐標(biāo)下的解析表達(dá)式。目前，對(duì)于CAB的傳輸特性研究，一般采用數(shù)值計(jì)算衍射積分的方法，所以選取合適的衍射積分方法對(duì)于能否得到正確的計(jì)算結(jié)果至關(guān)重要。常用的衍射積分方法有三種，分別是：2討論分析

圖2為使用三種衍射積分得到的光軸上的強(qiáng)度分布，其中λ=632.8nm、Io為入射面初始光強(qiáng)的最大值。從圖2（a）中可以看出，三種衍射積分的計(jì)算曲線重合，此時(shí)自聚焦焦距為fAi=3 579 mm。這一結(jié)果與預(yù)期符合，因?yàn)樵诳梢姽獠ǘ纬跏糃AB光場的結(jié)構(gòu)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于波長，且fAi≥rw，滿足傍軸近似的條件，因此這三種衍射積分給出了完全相同的計(jì)算結(jié)果。由此可見，當(dāng)初始CAB光場的結(jié)構(gòu)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于波長時(shí)，三種衍射積分都能給出正確的結(jié)果。雖然菲涅耳積分需要附加滿足傍軸近似的條件，但當(dāng)初始CAB光場的結(jié)構(gòu)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于波長時(shí)，由于其頻譜缺乏高頻分量，無法獲得緊聚焦光束，因此傍軸近似條件自動(dòng)能得到滿足。圖2（b）給出了使用三種衍射積分得到的焦點(diǎn)處的光強(qiáng)分布，與圖2（a）類似，三種計(jì)算曲線同樣重合，此時(shí)焦點(diǎn)主光斑的半高全寬（the full width at half-maximum，F(xiàn)WHM）約為0.35mm。

保持其他參數(shù)不變，當(dāng)波長從可見光增長到太赫茲波時(shí)，雖然初始CAB光場的分布未發(fā)生變化，但波長的增加使得其具有了與波長尺度相當(dāng)?shù)木?xì)結(jié)構(gòu)。圖3給出了2=0.35 mm時(shí)，使用三種衍射積分得到的光軸上的強(qiáng)度分布。從圖3（a）中可以看到，三種衍射積分的計(jì)算結(jié)果不再相同，其中使用菲涅耳衍射積分的計(jì)算結(jié)果與其他兩種相比差別較大。為了判斷計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性，圖3（a）同時(shí)給出了時(shí)域有限差分（finite-difference time-domain，F(xiàn)DTD）的數(shù)值仿真結(jié)果，通過比較發(fā)現(xiàn)其與瑞利一索末菲衍射積分的計(jì)算結(jié)果基本吻合。此時(shí)，使用FDTD、菲涅耳衍射積分、菲涅耳一基爾霍夫衍射積分和瑞利一索末菲衍射積分計(jì)算的自聚焦焦距.fAi分別約為5.53 mm、6.45mm、5.59mm和5.62mm。圖3（b）給出了三種衍射積分在各自焦點(diǎn)處的光強(qiáng)分布，同時(shí)給出了FDTD的仿真結(jié)果以便進(jìn)行比較。從圖3（b）可以看出，仍然是瑞利一索末菲衍射積分的結(jié)果與FDTD的仿真結(jié)果吻合得最好。事實(shí)上，對(duì)于瑞利一索末菲積分和基爾霍夫理論的優(yōu)劣之爭一直都有爭議存在，本文研究的結(jié)果是瑞利一索末菲積分的計(jì)算結(jié)果更加準(zhǔn)確。因此在接下來的分析計(jì)算中，我們將使用瑞利一索末菲積分。

對(duì)于初始CAB光場結(jié)構(gòu)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于波長的情況，已有成熟的理論和實(shí)驗(yàn)報(bào)道，因此本文主要討論與其不同的、具有精細(xì)結(jié)構(gòu)的CAB光場。如前所述，初始CAB的光場分布會(huì)隨著參數(shù)w的變小而變得越來越密，因此可以通過減小w獲得光場的精細(xì)結(jié)構(gòu)，圖4給出了不同w對(duì)應(yīng)的沿x軸的光場分布情況，此時(shí)ro=0.2mm，a=0.03。

此外，當(dāng)λ=10.6um、ro=0.2 mm、a=0.03時(shí)，研究CAB焦距.fAi隨w變化而改變的情況，w變化范圍為0.010 0～0.050 0mm，如圖5所示。由圖可見：隨著w的減小，自聚焦焦距fAi單調(diào)遞減;當(dāng)w>0.017 5 mm時(shí)，fAi與使用式（2）估算的fest基本吻合;當(dāng)w≤0.017 5mm時(shí)，兩者的相對(duì)差值急劇增大。由于式（2）是基于傍軸近似得到的，因此可以認(rèn)為：當(dāng)w>0.017 5mm時(shí)，初始CAB光場缺乏精細(xì)結(jié)構(gòu)，其頻譜中的高頻分量較少，近軸光場占據(jù)絕對(duì)主導(dǎo)地位，離軸光場的影響可忽略不計(jì);當(dāng)w≤0.017 5mm后，隨著w的減小，初始CAB光場的精細(xì)結(jié)構(gòu)逐漸增加，使得高頻分量在頻譜中的比重增長，導(dǎo)致離軸光場的成分增加，對(duì)光束傳輸特性的影響已不可忽略，此時(shí)傍軸近似不再適用。

同時(shí)我們也給出了焦點(diǎn)處光強(qiáng)最大值Imax與入射面初始光強(qiáng)最大值Io的比值隨w的變化。從圖6（a）中可以看到：當(dāng)w<0.017 5 mm時(shí)，焦點(diǎn)光強(qiáng)峰值隨著w的增大而急劇增大，在w=0.017 5mm時(shí)達(dá)到最大值;當(dāng)0.017 5 mm0.017 5 mm時(shí)，F(xiàn)WHM隨w的增加而增大。

從上述分析可知：當(dāng)w>0.030 0mm時(shí)，由于初始CAB光場缺乏精細(xì)結(jié)構(gòu)，近軸光場占據(jù)絕對(duì)主導(dǎo)地位，此時(shí)焦點(diǎn)光強(qiáng)峰值隨著w的減小而緩慢增強(qiáng);當(dāng)0.017 5 mm≤w≤0.030 0mm時(shí)，隨著w的減小，初始CAB光場的精細(xì)結(jié)構(gòu)增加，由高頻分量產(chǎn)生的離軸光場開始顯現(xiàn)作用，光束的自聚集特性得到增強(qiáng)，不僅使得焦點(diǎn)光強(qiáng)的最大值增加，且FWHM隨著λ的增長逐漸減小;當(dāng)w<0.017 5mm以后，隨著w的減小，繼續(xù)增加的高頻分量開始進(jìn)入倏逝波波段，越來越多的光場能量不能傳輸?shù)竭h(yuǎn)場，使得焦點(diǎn)的能量急速降低，光源使用效率下降，光斑大小也無法進(jìn)一步減小。

3結(jié)論

本文分析比較了三種常用衍射積分的適用性問題，發(fā)現(xiàn)瑞利一索末菲衍射積分最適合用來計(jì)算具有精細(xì)結(jié)構(gòu)的CAB的衍射光場，因此使用瑞利一索末菲衍射積分分析了具有精細(xì)結(jié)構(gòu)的CAB的傳輸特性。研究結(jié)果表明：當(dāng)w逐漸減小時(shí)，初始CAB光場開始具有了與波長相當(dāng)?shù)木?xì)機(jī)構(gòu)，代表高頻分量的離軸光場逐漸增加并參與聚焦行為，所以自聚焦能力隨著w的減小而增強(qiáng);但隨著w的進(jìn)一步減小，初始CAB光場的結(jié)構(gòu)開始小于波長，越來越多的高頻分量變成了倏逝波，無法傳播到遠(yuǎn)場，使得焦點(diǎn)的能量急速減小，焦點(diǎn)光斑也無法進(jìn)一步減小，自聚焦能力下降。由于實(shí)驗(yàn)條件的局限性，本文未能夠通過具體實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證數(shù)值計(jì)算的準(zhǔn)確性，還有待進(jìn)行進(jìn)一步的研究。