張敏華

(福州大學(xué)陽光學(xué)院,福建 福州 350015)

0 引 言

反應(yīng)擴散方程理論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中重要的組成內(nèi)容，在空間上普遍存在著非局部作用。人們通過卷積算子可以對生態(tài)系統(tǒng)以及材料科學(xué)領(lǐng)域中空間上的非局部作用進行描述，這就是所謂的非局部擴散方程。非局部性使得反應(yīng)擴散方程更為復(fù)雜化，眾多研究學(xué)者對于反應(yīng)非局部方程的行波解、穩(wěn)定性、爆破以及熄滅等方面進行了大量的研究[1]。

1 文獻綜述

(1)

國內(nèi)眾多研究學(xué)者也對非局部擴散方程的爆破解進行了研究，王玉蘭對非局部擴散方程(2)，方程中的m和p大于0和1，在光滑連通區(qū)域內(nèi)的方程存在有限時刻爆破解[4]；杜宛娟與裴海杰同樣對上述類似的方程在Neumann邊界條件下的爆破進行研究證明非負(fù)非平凡的解在有限時間T內(nèi)爆破，并對解的生命跨度進行了估計和確定了爆破速率為1/k[4]；

(2)

韓玉柱等人通過采用積分不等式對擴散方程的初值假設(shè)條件進行了弱化處理證明了正解存在全局爆破性質(zhì)并對爆破集進行了估計，并對Neumann邊界條件下的帶有反應(yīng)項的非局部擴散方程(3)進行了爆破研究，通過研究證明指出當(dāng)p大于1時非負(fù)非平凡解在有限石刻爆破[5]。

(3)

基于此，探討帶有指數(shù)型反應(yīng)項的非局部擴散方程如(4)所示，

(4)

(5)

T

(6)

定理3： 假定u是問題(4)的解，并在在時刻T爆破，那么解的爆破時間則可以用公式(7)表示，如下所示。

(7)

2 解的局部存在性、唯一性與比較原理

2.1 解的局部存在性、唯一性

那么可以明顯看到方程的解正好是映射在某一個球形區(qū)域的不動點。在對定理1進行證明之前，需要使用到引理1。

引理1： 假定非負(fù)函數(shù)u0，v0，且u、v均屬于Xt0，那么就存在一個正的常數(shù)C=C(k,||u||Xt0,||v||Xt0,||J||l∞,Ω)使得‖Tu0(u)-Tv0(v)‖Xt0

u(x,t)-u0(x)

通過對x變量在區(qū)域Ω上進行積分并采用Fubini定理即可以得到如下(8)所示，由此定理1得以證明。

(8)

2.2 比較原理

(9)

下解的定義方式與上解相同，僅僅只需要將式(9)中的≥符號全部更換成≤即可為對下解進行定義。為了得到方程(4)的比較原理，則需要引入極值定理的兩個引理。

引理2的證明如下所示：假定在某些點處u(x,t)為負(fù)，即認(rèn)為u(x,t)小于0。此時令θt(x,t)=e-λtu(x,t)(λ>0,λ≥2sup|c|)，假設(shè)在(x0,t0)點時θ達(dá)到負(fù)的最小值時，那么就有t0大于并且有

θt(x,t)=-ke-kt0u(x0,t0)+e-kt0ut(x0,t0)≥

這與前面假定的θ在點(x0,t0)處產(chǎn)生負(fù)的最小值的假設(shè)存在矛盾性，則證明了當(dāng)θ(x,t)大于等于0時，就有引理2的結(jié)論。

3 全局存在與爆破

定理2的證明：方程(4)的第一個方程的變量x在區(qū)域Ω上積分，并應(yīng)用Fubini定理和Jensen不等式則可以得到如下(10)所示的不等式。

(10)

通過對(10)不等式進行變量t進行兩邊積分即可以得到對解的爆破時間估計有T即定理2得以證明。

定理3的證明：假定T<是方程爆破解存在的最大時間，并且使得

(11)

對上述不等式(11)在(t,T)上進行積分便可以得到下式(12)

(12)

(13)

讓ε無限趨向于0，根據(jù)(12)和(13)就可以得到定理3的爆破時間的結(jié)論。由此對具有指數(shù)反應(yīng)項的非局部擴散方程在Neumann邊界條件下解的局部性、唯一性以及解的爆破時間估計與爆破時間等爆破性質(zhì)全部得以證明。

4 結(jié) 論

非局部擴散問題是高等數(shù)學(xué)研究的難點內(nèi)容，尤其是對非局部擴散方程的爆破性質(zhì)的探討是研究的熱點?；诖耍瑢哂兄笖?shù)反應(yīng)項的非局部擴散方程進行了解的局部性、唯一性以及爆破生命估計等爆破性質(zhì)進行討論且以上爆破性質(zhì)均得到了證明。研究結(jié)論顯示，非局部擴散方程的非負(fù)非平凡的解在有限時刻爆破，并推導(dǎo)了爆破時間與估算了爆破生命長度。