王學航， 楊秋偉， 白志超

(紹興文理學院土木工程學院, 浙江 紹興 312000)

0 引 言

近年來，國內外學者對結構損傷識別方法開展了大量的研究[1]。其中，利用結構模態(tài)參數的變化來進行損傷識別的方法已成為眾多工程領域共同關注的熱點。靈敏度分析方法能夠直接利用不完備的模態(tài)數據來對結構進行損傷識別，受到了廣泛研究。

基于靈敏度分析進行損傷識別的方法中，往往是采用最小二乘法對靈敏度方程進行求解。最小二乘法是在殘差范數平方和極小的準則約束下求解最佳的相關參數，其僅考慮了測量項引起的誤差,然而在構造靈敏度矩陣時僅保留了一階項而忽略了高階項，與真正的靈敏度矩陣也存在一定偏差。對此，采用總體最小二乘法在一些其他領域中得到了較好結果[9]。另外，由于測試數據不完備與誤差的影響，構建出的靈敏度矩陣往往容易出現病態(tài)矩陣而導致識別結果不穩(wěn)定甚至完全失真。目前已有學者提出嶺估計[10]和截斷奇異值分解[11]等方法來克服病態(tài)方程組問題。相比于嶺估計，截斷奇異值技術是一種較簡單、直接的方法[12]。Fierro等利用廣義奇異值分解技術研究了病態(tài)總體最小二乘法問題，并提出了截斷總體最小二乘法[13]。

基于特征對靈敏度分析，結合截斷總體最小二乘法，提出了一種結構損傷識別的截斷總體最小二乘法。以一個平面桁架結構為例，對所提方法進行了驗證。

1 基本原理

1.1 特征對靈敏度

首先，對特征對靈敏度方法[7]作簡單回顧，不失一般性，考慮一個n自由度的結構系統(tǒng)，那么其自由振動的方程為：

Kφi=λiMφii=1,2,…,n

(1 )

其中，K和M分別為系統(tǒng)的剛度矩陣和質量矩陣，φi和λi為第i個振型和特征值。結構發(fā)生損傷通常僅引起剛度的變化，結構第i個特征對的一階靈敏度可以由以下兩個方程式計算得到：

(2)

(3)

其中，αj和Kj分別是第j個單元的損傷參數和剛度矩陣，λr和φr為第r個特征值和振型。結構發(fā)生損傷后，第i個特征對的變化量可表示為：

Δλi=λdi-λi

(4)

Δφi=φdi-φi

(5)

其中，Δλi和Δφi分別為結構發(fā)生損傷前后特征值和振型的變化量，λdi和φdi分別為損傷后第i個特征值和振型。根據泰勒級數展開，Δλi和Δφi的一階近似值可由以下兩個方程式計算得到：

(6)

(7)

其中，N為單元體的總數。若只有m個模態(tài)的l個自由度被測量時，一階靈敏度方程可表示為：

{Δλ}=H1{α}

(8)

{Δφ}=H2{α}

(9)

(10)

由線性方程組(10)，可以計算出結構的單元損傷參數{α}。

1.2 結構損傷識別的截斷總體最小二乘法

對于方程組(10)的求解，通常利用廣義逆技術，然后采用最小二乘法計算得出結構的單元損傷參數{α}。但是最小二乘法僅僅考慮了方程組(10)左邊測量項的誤差，實際注意到方程組(10)中右邊的靈敏度矩陣H1和H2僅保留了一階項而忽略了高階項，與實際的靈敏度矩陣也存在一定偏差，對于這種情況，在一些其他領域中采用總體最小二乘法得到了較好的結果。將總體最小二乘法應用于損傷識別中，以期取得更加合理的識別結果。

總體最小二乘法的求解是通過奇異值分解技術來實現的。其主要步驟為：首先方程組(10)可改寫為：

(11)

Bm(l+1)×(N+1)=

(12)

TLS解可由增廣矩陣右奇異向量V的最后一列求得，即結構損傷參數由下式解得：

(13)

由于測量誤差和測量的不完整問題，線性方程組(10)往往是病態(tài)的，直接采用總體最小二乘法或者最小二乘法得到的結果往往是不合理和不穩(wěn)定地，許多學者就此也提出了方法。采用截斷奇異值技術(TSVD)對病態(tài)方程組進行求解，其基本思想是去掉矩陣中的較小奇異值來削弱矩陣的病態(tài)。Fierro等[17]對總體最小二乘法做了相關研究，并給出了具體的截斷總體最小二乘法解的公式：

(14)

其中，V12和V22由對方程式(12)中的矩陣V分塊得到(t表示截斷參數)：

(15)

利用方程(14)可以獲得魯棒性更好的解，這就是本文提出的結構損傷識別的截斷總體最小二乘法，在下一章中將通過數值算例來比較這種方法相比于直接使用總體最小二乘法直接求解特征對靈敏度的優(yōu)越性，討論在模態(tài)參數不完備情況下，測試誤差水平的大小對結構損傷識別結果的影響。

2 算 例

以圖1所示的平面桁架結構[6]為例來驗證上述方法的可行性。該結構的主要參數如下：橫截面面積A=0.004m2，桿件長度L=1.52m，彈性模量E=70GPa，密度ρ=2770kg/m2。該結構有限元模型由31個桿件單元、14個節(jié)點、25個自由度組成。由于在工程實踐中，測試得到的模態(tài)參數往往是不完整的且在整個結構中的所有自由度方向上都布置傳感器也不經濟，因此本例中只考慮前6階模態(tài)，且假設只在節(jié)點3、6、7、10、11所對應的10個自由度上布置了測試傳感器。

假設單元10剛度損傷15%。為了驗證改進后方法的可行性，首先單獨使用特征對靈敏度的方法對結構進行損傷識別，分別考慮無誤差和5%誤差兩種測試水平，識別結果如圖2、3所示。其中由圖2可以看出，當測試無誤差時，可以較為準確地判斷出單元10發(fā)生了損傷；但由圖3可以看出，當測試考慮5%誤差時，識別結果已經嚴重失真。因此，在測試模態(tài)參數不完備以及測試誤差影響的情況下，僅使用特征對靈敏度的方法已經很難對結構損傷狀況作出準確判斷。

圖1 平面桁架結構(31單元)

圖2 單元10損傷15%時的識別結果(測試無誤差)

圖3 單元10損傷15%時的識別結果(5%噪聲水平)

下面驗證所提的改進方法即聯合特征對靈敏度與截斷總體最小二乘法對結構進行損傷識別的能力。假設兩種損傷情況：第一種情況是單元10的剛度損失15%，第二種情況是單元10和單元25的剛度分別損失15%。損傷識別結果如下圖4、5所示。其中，每種情況分別討論三種測試噪聲水平，即無噪聲、5%噪聲、10%噪聲。注意，截斷總體最小二乘法的公式(15)中截斷水平值t取12。

對于第一種損傷情況(單一損傷)，由圖4可知，在無噪聲影響下，通過截斷總體最小二乘法可以獲得滿意的識別結果；當噪聲水平為5%時，識別結果仍然良好，可以較為準確地識別出損傷的位置以及程度；當噪聲水平為10%時，識別結果雖然會出現誤判，但可以明顯判斷出單元10發(fā)生了損傷。

圖4 單元10損傷15%時的識別結果

圖5 單元10和25同時損傷15%時的識別結果

對于第二種損傷情況(多處損傷)，由圖5可知，同樣在無噪聲影響下，通過該方法可以獲得滿意的識別結果；當噪聲水平為5%時，識別結果仍然良好，且精度較好；當噪聲水平為10%時，識別結果同第一種情況一樣，雖然出現了一些誤判，但是可以看到，對于真正發(fā)生損傷的單元10和25，其損傷識別程度值明顯大于其他值，可以判斷出單元10和25發(fā)生了損傷。以上結果表明：將截斷總體最小二乘法應用于結構損傷識別中，可以獲得魯棒性較好的解。

3 結 論

將特征對靈敏度方法與截斷總體最小二乘法結合起來，提出一種結構損傷識別的總體最小二乘法。以一平面桁架結構為例，在測試數據不完備的情況下，詳細討論了誤差水平對識別結果的影響。結果表明：所提方法在模態(tài)參數不完備的情況下，當數據無噪聲時，可以獲得比較精確的識別結果；當數據噪聲水平較小時，可以獲得較為準確的識別結果；當數據噪聲水平較大時，仍然可以判斷出損傷的部位。所提方法對于測試噪聲具有較強的魯棒性，可供實際工程應用參考。