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(蕭山區(qū)第五高級中學,浙江 杭州 311202)

2016年3月，教育部《中國學生發(fā)展核心素養(yǎng)(征求意見稿)》出臺，從文化基礎(chǔ)、自主發(fā)展和社會參與三大方面提出了中國學生核心素養(yǎng)發(fā)展目標，而后各學科核心素養(yǎng)陸續(xù)提出.隨著《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》的頒布，明確提出數(shù)學核心素養(yǎng)包含數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析，這6個數(shù)學核心素養(yǎng)力圖從根本上體現(xiàn)數(shù)學學科的育人價值.

數(shù)學運算是數(shù)學活動的基本形式，也是演繹推理的一種形式，是得到數(shù)學結(jié)果的重要手段.數(shù)學運算是指在明晰運算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學問題的過程.主要包括：理解運算對象、掌握運算法則、探究運算方向、選擇運算方法、設(shè)計運算程序、求得運算結(jié)果等.數(shù)學運算，在任何時期的數(shù)學育人目標中都占有重要地位，它有助于我們借助運算方法解決實際問題；有助于促進數(shù)學思維發(fā)展，養(yǎng)成程序化思考問題的習慣；有助于形成一絲不茍、嚴謹求實的科學精神.

數(shù)學運算如此重要，但一線教師在教學中對其理解和教授似乎也存在諸多問題，諸如：1)理解運算概念狹隘——提到運算，很多教師立馬聯(lián)想到的是解析幾何里繁雜的計算等；2)運算教學結(jié)構(gòu)不清晰——因為對運算概念的理解不深刻，所以在面臨運算教學時，運算教學開展脈絡(luò)模糊；3)缺少提高運算素養(yǎng)的辦法——如何能促進學生運算素養(yǎng)的提升，很多教師缺乏足夠的理論認識，也缺少長久的有效機制建構(gòu)辦法，等等.如此，很多學生對“數(shù)學運算”的理解也往往只停留在“計算”的認識層面，不了解諸多豐富的運算概念、不知曉運算的建構(gòu)、缺乏運算有效應(yīng)用的品質(zhì)等.針對上述問題，筆者試圖談?wù)勥\算的理解與如何從理解的角度開展運算教學.

1 數(shù)學運算的概念

數(shù)學運算，在數(shù)學上是一種程序性行為，按照一定的邏輯建立起一定的規(guī)則，實現(xiàn)已知量到新建量之間的對應(yīng)關(guān)系，其本質(zhì)是集合之間的映射.一般而言，數(shù)學運算指代數(shù)運算，在高中學習階段，特別指二元運算和一元運算，其中二元運算指由兩個元素形成第三個元素的一種規(guī)則，一元運算指通過特殊“算子”實現(xiàn)元素到元素的對應(yīng)，如絕對值、積分等.

數(shù)學運算本質(zhì)反映的是集合之間元素的對應(yīng)關(guān)系，如對于集合S中的一對按次序取出的元素a,b，集合S中有唯一確定的第三個元素c和它們對應(yīng)，叫做集合S中定義了一種二元運算.例如，算術(shù)中的加法1+2=3，這里1和2是輸入，3是結(jié)果，而“+”表明這是一個加法運算，這便是一個常見的二元運算，本質(zhì)上是A×B→C形式的映射，這里的S可以為有理數(shù)集Q、實數(shù)集R等.當然，有時也可以是從集合S依次取出a,b，對應(yīng)另一個集合T中的元素c，如平面向量數(shù)量積的運算，正是從平面向量集合中任取兩個向量a,b，對應(yīng)于實數(shù)集中的元素c，即有a·b=c.

2 運算素養(yǎng)與其他素養(yǎng)的關(guān)系

高中數(shù)學核心素養(yǎng)包含6個方面：數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)統(tǒng)計.不同核心素養(yǎng)在內(nèi)涵和外延上具有獨立性，在邏輯上構(gòu)成一個有機整體，在教學中，這些核心素養(yǎng)不是孤立的，它們是緊密相關(guān)的.我們自然會思考：數(shù)學運算與其他核心素養(yǎng)存在怎樣的關(guān)系？數(shù)學運算本身反映的是集合之間元素的對應(yīng)關(guān)系，但從其建構(gòu)、表征、操作、應(yīng)用等方面可找到它與其他核心素養(yǎng)的聯(lián)系(如圖1所示)，通過數(shù)學抽象實現(xiàn)數(shù)學運算概念體系的建構(gòu)，通過直觀想象等方式實現(xiàn)數(shù)學運算的多元表征，通過邏輯推理實現(xiàn)數(shù)學運算的過程操作，最后實現(xiàn)數(shù)學運算到建模和統(tǒng)計等方面的應(yīng)用.這也體現(xiàn)了當以數(shù)學運算為研究中心時，其他素養(yǎng)與它之間的關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)，對于我們更好地開展數(shù)學運算教學也有十分重要的啟示.

圖1

3 數(shù)學運算的機制

“數(shù)學運算”包含算理、算法、算力.“算理”是運算的道理，即解決為什么能這樣算的問題；“算法”是運算的方法，即解決怎樣算的問題；“算力”是指開展運算的能力，即具體落實運算的過程，實現(xiàn)運算目標.他們相輔相成，構(gòu)成一個運算的整體.在實際中，完成一項運算包含4個方面：理解運算意義、構(gòu)建運算框架、實施運算過程、檢驗運算結(jié)果.

3.1 理解運算意義

理解運算意義，指理解運算提出的背景、運算的建構(gòu)、運算的構(gòu)成和運算的應(yīng)用等.運算一定意義上實現(xiàn)的是問題解決，即利用已知量探索未知量，通過運算架起兩者聯(lián)系.而要利用運算解決問題，首先是要正確理解運算的意義.正如，當我們在運用空間向量數(shù)量積解決立體幾何中的夾角與距離問題時，必須建立在對空間向量數(shù)量積理解的基礎(chǔ)之上，知曉數(shù)量積運算的一系列運算法則，方此才能有效應(yīng)用.

3.2 構(gòu)建運算框架

構(gòu)建運算框架，指的是對題意的分析，特別是分析已知與未知的關(guān)系，通過轉(zhuǎn)化化歸等方法大致構(gòu)建問題解決的路徑，以及大致列舉需要構(gòu)建的等式或不等式等.它是解題構(gòu)思的過程，是解題者心中的一幅解題藍圖，為進一步的運算作好鋪墊.

3.3 實施運算過程

實施運算過程，指的是建立運算框架之后開展的運算操作，它是對運算框架的細化和實施，也是運算過程的核心.利用條件構(gòu)建等式或不等式，或由已知走向未知，步步逼近，或執(zhí)果索因，逆向分析推導.運算，既是一項內(nèi)在的思維活動，又是一項外在的思維表達行為，思維基于對運算概念的理解，運用運算的規(guī)則體系，實現(xiàn)運算的邏輯推理，又以數(shù)學語言的方式通過書寫表達出來，故正確的推理與正確的表達是實現(xiàn)正確運算的必要條件.

3.4 檢驗運算結(jié)果

檢驗運算結(jié)果，指的是對運算結(jié)果的檢查與反思，一方面我們要考慮是否漏解或多解，另一方面可以考慮將值代入檢驗是否符合題意.這也是在考查解題者的思維品質(zhì)是否完備，在檢驗中如果代入成立，那么答案正確的可能性就極高，反之說明計算存在問題.檢驗意味著對運算結(jié)果的修正，也體現(xiàn)了解題者思維的縝密性.

4 數(shù)學運算的理解教學

4.1 理解數(shù)學運算的概念

概念是思維的細胞，概念是邏輯推理的基礎(chǔ).數(shù)學思維活動以概念為基礎(chǔ)，運用概念間的關(guān)系進行推理.數(shù)學運算的理解教學，首先是要幫助學生理解概念本質(zhì).只有理解運算所表達的意義，才能有效建構(gòu)運算法則，有效開展運算應(yīng)用，因此理解運算概念是運算應(yīng)用的基礎(chǔ).比如，在“對數(shù)”概念建構(gòu)中，筆者正是抓住“對數(shù)到底表達了什么”這一核心問題開展教學.

4.2 理解數(shù)學運算的對象

要正確理解運算，其次是要幫助學生正確理解運算對象.對高中生而言，運算的認知起點是以實數(shù)為對象的運算體系，我們以此為中心嘗試建構(gòu)高中數(shù)學運算對象體系.比如指數(shù)運算、對數(shù)運算等，便是作為兩類特殊的實數(shù)形式存在的運算關(guān)系；而隨著系數(shù)的擴充發(fā)展，我們會學習復數(shù)及其運算；進一步，我們將角擴展到任意角且引進弧度制，使角和實數(shù)實現(xiàn)一一對應(yīng)，從而發(fā)展到實數(shù)的三角運算問題；同時，平面(空間)幾何，通過坐標法實現(xiàn)平面(空間)中點的坐標表示，將幾何問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)運算問題，即我們常說的解析幾何問題；同樣，平面(空間)向量也可通過坐標表示，實現(xiàn)向量運算的坐標形式，即轉(zhuǎn)化為實數(shù)運算.從這個角度看，高中階段的運算還是以實數(shù)運算為核心.并且，我們還豐富了研究對象，比如集合運算、命題運算、函數(shù)的極限、求導與積分運算等等.當然，數(shù)學運算對象還包括很多，通過圖2筆者想說明的是運算教學要抓住核心概念、抓住運算對象之間的聯(lián)系.

圖2

4.3 理解數(shù)學運算的體系

一個運算，往往伴隨著幾個相關(guān)運算.如在我們常見的實數(shù)運算中，由加法引申出了它的逆運算——減法，并為了簡化運算引申出了乘法，由乘法進一步引申出其逆運算——除法，等等.從本質(zhì)上看，加法a+b=c是已知a，b得c的過程，而減法是已知a，c得b的過程，即有c-a=b，這便是一個互逆的過程.

一個運算，往往會研究其相關(guān)運算法則，因為相關(guān)的運算法則和運算律，能簡化我們的運算，提升我們的運算速度，使運算有更多的方法和捷徑可尋.一般地，運算律往往有交換律、結(jié)合律、分配律等.如在學習平面向量數(shù)量積運算后，我們會嘗試探究平面向量數(shù)量積的交換律、數(shù)乘結(jié)合律，以及加乘分配律等，事實上，經(jīng)過定義探索后有：a·b=b·a,λ(a·b)=(λa)·b,(a+b)·c=a·c+b·c,且一般地(a·b)·c≠a·(b·c)，而其證明既可以用數(shù)量積概念證明，也可借助數(shù)量積的幾何意義證明.

學生學習數(shù)學是一個有指導的再創(chuàng)造過程，數(shù)學學習的本質(zhì)是學生的再創(chuàng)造.數(shù)學運算的學習是有線索可以尋找的，是有一定邏輯的，我們要基于此培養(yǎng)學生這種數(shù)學直覺，教師應(yīng)該關(guān)注學生建構(gòu)運算的過程，努力挖掘創(chuàng)新點，給學生提供充分的再創(chuàng)造機會.數(shù)學運算學習的構(gòu)建，也是培養(yǎng)學生系統(tǒng)思維的一個過程，因為一個運算總伴隨著幾個相關(guān)運算，一個運算往往會有相應(yīng)的運算法則，系統(tǒng)思維的培養(yǎng)有助于學生正確理解數(shù)學運算，掌握數(shù)學運算的學習路徑.

4.4 類比學習數(shù)學的運算

數(shù)學知識的學習，不是知識的簡單堆砌，它是有聯(lián)系、有邏輯的，教師需要幫助學生建立知識網(wǎng)絡(luò)，形成結(jié)構(gòu)清晰的知識圖譜.而這其中重要的一點是要用數(shù)學方法把知識串起來、連成線、織成網(wǎng).類比正是數(shù)學學習的一種重要方法，運用類比可以實現(xiàn)知識遷移學習.數(shù)學運算的學習也是如此，許多運算總是可以借助已有經(jīng)驗開展類比學習，融入“先行組織者”，同化新運算.

例如前面所說的對數(shù)學習，由“對數(shù)源出于指數(shù)”(瑞士數(shù)學家歐拉語)，課堂教學中，可以引導學生通過指數(shù)運算類比推導對數(shù)運算，為學生建構(gòu)對數(shù)運算體系找到聯(lián)結(jié)點.已知指數(shù)運算：2x·2y=2x+y，2x÷2y=2x-y，(2x)y=2xy,引導學生進行猜想和推導相應(yīng)的對數(shù)運算.

由2x·2y=2x+y，設(shè)2x=M,2y=N，得

x=log2M,y=log2N,

且2x+y=MN,知

x+y=log2MN,

從而

x+y=log2M+log2N=log2MN,

一般地，logaM+logaN=logaMN.

同理，由2x÷2y=2x-y，設(shè)2x=M,2y=N，得

x=log2M,y=log2N,

從而

再則，由(2x)y=2xy，設(shè)2x=M,得

x=log2M,

且My=2ylog2M,知

log2My=ylog2M,

一般地

logaMn=nlogaM.

4.5 理解數(shù)學運算的應(yīng)用

數(shù)學的一個特點是具有廣泛的應(yīng)用性，而廣泛應(yīng)用的一個重要方面正是運算的廣泛應(yīng)用.這既體現(xiàn)了數(shù)學的應(yīng)用價值，也體現(xiàn)了運算的應(yīng)用價值.事實上，人們在建立一個運算時，最初的動機就是為了“有用”，為了解決一定的問題而建立相應(yīng)的運算，再進行完善.因此，一個運算的建立，往往具有極強的應(yīng)用價值.

如平面向量數(shù)量積在物理背景上即為力的做功問題，W=F·S=|F|·|S|cosθ.而這在數(shù)學學科看來是十分精妙的，數(shù)量積恰好將向量最重要的兩個元素“長度”和“角度”融合在一起，使得數(shù)量積在數(shù)學應(yīng)用中具有廣泛的價值.

圖3 圖4

如圖4建立空間直角坐標系，不妨設(shè)平面α的法向量為n=(x,y,z)，記點B,C,D到平面α的距離分別為h1,h2,h3，則

從而

故

運用向量運算實現(xiàn)了幾何度量[1]，體現(xiàn)了數(shù)學運算的應(yīng)用價值.

5 結(jié)束語

數(shù)學運算在數(shù)學育人目標中具有重要的地位和作用.本文從數(shù)學運算的概念、數(shù)學運算素養(yǎng)與其他素養(yǎng)的關(guān)聯(lián)、數(shù)學運算的機制，以及數(shù)學運算的理解教學等方面開展了論述.數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)是一個長期的過程，需要教師在教學中持之以恒地滲透與培養(yǎng)；數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)是一項系統(tǒng)工程，是各個核心素養(yǎng)聯(lián)動發(fā)展的過程，它們是一個有機整體.如今，當新的教育使命擺在我們面前時，作為一名數(shù)學教師一定要從培養(yǎng)“全面發(fā)展”的人的角度開展學科教學，真正體現(xiàn)學科教育在育人價值中的獨特作用.