王肖， 郭杰， 唐勝景， 祁帥

(北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院, 北京 100081)

0 引言

高超聲速滑翔飛行器具有速度快、機(jī)動能力強(qiáng)、射程遠(yuǎn)、精度高等特點(diǎn)，受到世界各國的持續(xù)關(guān)注[1-2]，再入制導(dǎo)一直是其研究難點(diǎn)。再入制導(dǎo)方法分為標(biāo)準(zhǔn)軌跡制導(dǎo)和預(yù)測校正制導(dǎo)兩類：標(biāo)準(zhǔn)軌跡制導(dǎo)需要離線設(shè)計飛行器的標(biāo)準(zhǔn)軌跡，并在線跟蹤標(biāo)準(zhǔn)軌跡得到制導(dǎo)指令[3]，該方法實(shí)現(xiàn)簡單、在線計算量小，但依賴于標(biāo)準(zhǔn)軌跡，易受擾動影響，也不利于軌跡的在線規(guī)劃；預(yù)測校正制導(dǎo)不依賴于標(biāo)準(zhǔn)軌跡，根據(jù)在線預(yù)測終端值與期望值的偏差實(shí)時校正制導(dǎo)指令，預(yù)測校正制導(dǎo)對初始誤差和參數(shù)攝動具有較強(qiáng)的魯棒性，實(shí)時性較好。隨著再入任務(wù)對自主性、魯棒性要求的提高，預(yù)測校正制導(dǎo)逐漸成為再入制導(dǎo)發(fā)展的趨勢[4]。

文獻(xiàn)[5]通過數(shù)值預(yù)測建立攻角、傾側(cè)角與縱程、橫程之間的線性關(guān)系，進(jìn)而校正控制量。文獻(xiàn)[6-10]將過程約束轉(zhuǎn)化為傾側(cè)角幅值約束，然后利用傾側(cè)角剖面預(yù)測終端待飛航程，并校正傾側(cè)角指令。文獻(xiàn)[11-12]設(shè)計了兩種分段預(yù)測校正制導(dǎo)算法，利用預(yù)設(shè)航路點(diǎn)將軌跡分段預(yù)測，提高了計算效率，但該方法依賴于離線優(yōu)化，并降低了算法的自主性。文獻(xiàn)[4,13-14]設(shè)計并改進(jìn)了一種適用于各類升阻比飛行器的數(shù)值預(yù)測校正制導(dǎo)算法，以航程誤差校正傾側(cè)角剖面作為基準(zhǔn)算法，輔以高度變化率反饋以滿足過程約束。然而，上述方法均屬于數(shù)值預(yù)測校正制導(dǎo)，需要不斷在線數(shù)值積分，對彈載計算能力的要求較高，無法廣泛應(yīng)用。

相比之下，解析形式的預(yù)測校正制導(dǎo)避免了對彈道的數(shù)值積分，計算量大幅減少，更有利于彈上實(shí)現(xiàn)。文獻(xiàn)[15]研究了零攻角條件下動能彈頭的解析預(yù)測制導(dǎo)，但并不適用于高超聲速滑翔飛行器。文獻(xiàn)[16-17]研究了跳躍式再入返回的解析預(yù)測校正制導(dǎo)，僅適用于低升阻比飛行器。文獻(xiàn)[18]將升力系數(shù)分為3個分量，實(shí)現(xiàn)了縱向運(yùn)動方程、橫向運(yùn)動方程和速度方程的解耦，求得了滑翔軌跡的解析解，但仍需數(shù)值積分。文獻(xiàn)[19]將過程約束轉(zhuǎn)化為高度- 速度平面內(nèi)的統(tǒng)一解析式，并給出了可重復(fù)使用運(yùn)載器的閉環(huán)解析解，但該方法本質(zhì)上屬于標(biāo)準(zhǔn)軌跡生成方法。文獻(xiàn)[20]以常值升阻比得到了傾側(cè)角和待飛航程之間的解析關(guān)系，但不能保證準(zhǔn)平衡滑翔條件，也未對終端高度進(jìn)行嚴(yán)格約束。

現(xiàn)有的預(yù)測校正制導(dǎo)一般考慮終端能量和航程約束，但約束終端能量并不能嚴(yán)格約束終端高度。文獻(xiàn)[21]將攻角、傾側(cè)角作為控制量，每個制導(dǎo)周期根據(jù)終端航程、高度誤差的加權(quán)函數(shù)更新控制量剖面，有效減小了終端高度誤差，但該方法仍需數(shù)值預(yù)測軌跡，在線計算量較大。

此外，如何保證過程約束也一直是預(yù)測校正制導(dǎo)的難點(diǎn)，傳統(tǒng)方法一般利用準(zhǔn)平衡滑翔條件將過程約束轉(zhuǎn)化為傾側(cè)角走廊[6,22]。然而，再入過程中準(zhǔn)平衡滑翔條件不一定嚴(yán)格成立，且實(shí)際飛行中的大氣環(huán)境擾動和飛行器參數(shù)的不確定性也使得這種傾側(cè)角走廊的可靠性難以保證[23-24]。

基于上述分析，本文提出了一種基于準(zhǔn)平衡滑翔的解析制導(dǎo)方法。首先基于常值升阻比假設(shè)建立了再入航程與傾側(cè)角的解析關(guān)系，得到了傾側(cè)角指令。然后針對終端高度約束，利用常值航跡角假設(shè)建立了終端高度與航跡角的解析關(guān)系，得到了航跡角指令，進(jìn)而通過設(shè)計反饋控制律求得攻角指令。對于過程約束，提出了一種在線約束控制方法，將過程約束問題轉(zhuǎn)化為航跡角指令跟蹤問題。最后，通過數(shù)值仿真表明該方法計算速度快、精度較高，且較好地滿足各種約束。

1 制導(dǎo)問題描述

1.1 運(yùn)動方程

高超聲速滑翔飛行器的三自由度運(yùn)動方程一般以時間為自變量[3]，但由于飛行時間無法事先確定，給彈道積分造成一定困難。為此，本文引入如下能量形式的無量綱變量：

(1)

(2)

(3)

式中：λ和φ分別為地球經(jīng)度和緯度；θ為航跡角；ψ為航向角；σ為傾側(cè)角；L為無量綱升力加速度。L和D的計算公式可表示為

(4)

式中：m為飛行器質(zhì)量；S為飛行器特征面積；CL和CD分別為升力和阻力系數(shù)，且是攻角α和速度v的函數(shù)；ρ為大氣密度，

ρ(h)=ρ0e-h/hs，

(5)

ρ0為海平面大氣密度，h為無量綱高度，hs=7 110/R0為高度系數(shù)。

1.2 再入約束

再入約束一般可分為過程約束和終端約束。典型的過程約束包括熱流密度約束、過載約束和動壓約束，其計算公式分別為

(6)

(7)

(8)

終端約束一般包括終端高度約束、速度約束及經(jīng)度、緯度約束。由于運(yùn)動方程以能量為自變量，于是終端約束可表示為

(9)

s(ef)=sf，

(10)

式中：s(ef)為無量綱終端再入航程；sf為再入航程的實(shí)際值。s(ef)與sf計算公式分別如(11)式和(12)式所示：

(11)

sf=arccos (sinφ0sinφf+cosφ0cosφfcos(λf-λ0))，

(12)

式中：λ0、φ0為飛行器初始經(jīng)度和緯度。

2 制導(dǎo)算法

2.1 傾側(cè)角解析解

初始下降段飛行高度較高，氣動力作用較弱，通常通過迭代得到常值傾側(cè)角進(jìn)行開環(huán)制導(dǎo)，并當(dāng)滿足一定條件后轉(zhuǎn)入滑翔段[6,22]。

對于滑翔段制導(dǎo)，考慮終端航程約束及(11)式，再入過程中，特別是滿足準(zhǔn)平衡滑翔條件(QEGC)時，航跡角很小，有cosθ≈1，于是有

(13)

利用準(zhǔn)平衡滑翔條件：

(14)

可得

(15)

代入(13)式得

(16)

假設(shè)再入過程中升阻比已知且為常數(shù), 則以常值傾側(cè)角積分(16)式得

(17)

利用(17)式和終端能量及航程約束可求得常值傾側(cè)角幅值:

(18)

以上求取傾側(cè)角的解析方法是基于再入過程滿足準(zhǔn)平衡滑翔條件推導(dǎo)得到的，然而實(shí)際飛行可能不滿足準(zhǔn)平衡滑翔條件，于是該方法的準(zhǔn)確性不能得到保證。為了保證該解析解的精度，同時抑制再入過程中的軌跡振蕩問題，本文在傾側(cè)角指令中反饋高度變化率，使升力更快地平衡重力，從而抑制高度振蕩問題，使軌跡滿足準(zhǔn)平衡滑翔條件[4]，即

(19)

(20)

由于滑翔初始段軌跡振蕩幅值較大，此時傾側(cè)角應(yīng)側(cè)重于振蕩的抑制；而滑翔末段振蕩較輕，此時傾側(cè)角應(yīng)側(cè)重于航程的校正。故反饋系數(shù)k可取為能量的函數(shù)：

(21)

式中：k0=30；kf=10；e0為滑翔段初始能量值；et=0.99ef.

以上傾側(cè)角解析解的精確程度不僅取決于軌跡是否滿足準(zhǔn)平衡滑翔條件，也與常值升阻比假設(shè)有關(guān)。為此，每個制導(dǎo)周期內(nèi)需實(shí)時更新方程(18)式中的升阻比信息。由于攻角尚未確定，可按上一周期的攻角計算升阻比。隨著飛行器距離目標(biāo)點(diǎn)越來越近，剩余航程越來越小，升阻比的變化范圍更小，更加接近于常值，傾側(cè)角解析解的精度會不斷提高。

2.2 攻角解析解

以終端能量為積分終止條件，根據(jù)傾側(cè)角解析解可保證終端航程約束和能量約束。傳統(tǒng)預(yù)測校正算法一般將終端高度和速度約束轉(zhuǎn)化為終端能量約束，但保證終端能量并不能嚴(yán)格約束終端高度。

進(jìn)一步考慮準(zhǔn)平衡滑翔條件(14)式，再入過程中無量綱地心距r≈1，于是有

Lcosσ+(v2-1)=0.

(22)

觀察(22)式，對于給定終端速度，由于升力加速度L隨高度的增大而減小，此時的傾側(cè)角應(yīng)減小才能滿足準(zhǔn)平衡滑翔條件。即終端高度約束對應(yīng)了一個傾側(cè)角。也就是說根據(jù)終端航程約束可確定一個傾側(cè)角，根據(jù)終端高度約束也可確定一個傾側(cè)角。當(dāng)航程約束與高度約束不匹配時，很難通過一個傾側(cè)角指令同時滿足終端航程約束和高度約束。然而，(22)式中還隱含另一個控制量攻角，可利用攻角滿足終端高度約束。

首先，由(3)式和(11)式可求得航程對高度的微分：

(23)

(24)

于是可求得滿足高度與航程約束的期望航跡角：

(25)

(25)式得到的是航跡角期望值，與實(shí)際值并不相符，需要設(shè)計控制律對其跟蹤：

(26)

于是得到了期望的航跡角變化率，然后利用航跡角動力學(xué)方程：

(27)

求出升力系數(shù)：

(28)

進(jìn)而根據(jù)升力系數(shù)反插值求出攻角指令。

以上攻角解析解的精確程度主要取決于常值航跡角假設(shè)是否合理?；璩跏级魏桔E角變化較大，利用上述方法求得的攻角指令可能偏差很大，甚至不在攻角的實(shí)際可取范圍內(nèi)。由于滑翔初始段不需考慮終端高度，正常飛行即可，同時考慮到初始段的熱保護(hù)要求和后續(xù)的航程要求，采用分段函數(shù)形式的攻角方案：

(29)

式中：αm為一個較大的攻角；αL/D為最大升阻比攻角；vm和vL/D為預(yù)先設(shè)定的速度值。

當(dāng)滿足e>ep時(ep為預(yù)先設(shè)定的能量值)，攻角指令由方案(29)式切換至由(28)式得到的解析解：

(30)

滑翔后段基本滿足準(zhǔn)平衡滑翔條件，軌跡比較平直，常值航跡角假設(shè)合理，利用攻角解析解可保證終端高度約束。

此外，為了減小攻角指令由攻角方案切換至解析指令時的突變并保證終端航跡角跟蹤精度，將誤差系數(shù)γ設(shè)計為

式中：γ0=1；γf=0.75；ep=0.9ef；et=0.99ef.

2.3 過程約束管理

過程約束控制一直是預(yù)測校正制導(dǎo)的難點(diǎn)之一。傳統(tǒng)方法一般利用準(zhǔn)平衡滑翔條件將過程約束轉(zhuǎn)化為傾側(cè)角走廊，然而，再入過程中準(zhǔn)平衡滑翔條件不一定嚴(yán)格成立，并且實(shí)際飛行中的大氣環(huán)境擾動和飛行器參數(shù)不確定性也使得這種傾側(cè)角走廊的可靠性難以保證。文獻(xiàn)[4]基于時標(biāo)分離原則提出了一種在線預(yù)測約束管理方法。在此基礎(chǔ)上，本文設(shè)計了一種基于航跡角指令的在線約束控制方法。

以動壓約束為例，當(dāng)實(shí)際動壓接近最大動壓值即q≥μqmax時，其中μ為接近于1但小于1的常數(shù)，可取為0.98，于是設(shè)計反饋控制律：

(31)

式中：kq=0.1為動壓反饋系數(shù)。于是實(shí)際動壓可跟蹤一個給定的期望值，該期望值比最大動壓略小，從而滿足動壓約束。然后對(8)式求微分得

(32)

(33)

(34)

類似地，可求得滿足熱流約束和過載約束的航跡角指令值：

(35)

(36)

(37)

當(dāng)實(shí)際飛行中的過程約束接近或超過最大值時，根據(jù)(37)式求出航跡角指令θc，然后利用(30)式求出相應(yīng)的攻角指令以滿足過程約束。此過程中產(chǎn)生的終端誤差可在后續(xù)的制導(dǎo)周期中得到彌補(bǔ)，從而不影響最終精度。

實(shí)際仿真中發(fā)現(xiàn)，上述獲得的攻角指令可能存在抖振和不連續(xù)問題。為使攻角指令平滑易于跟蹤，將指令進(jìn)行1階低通濾波：

α(i)=χαd(i)+(1-χ)α(i-1)，

(38)

式中：0<χ<1為濾波系數(shù)，可取為0.1；α(i)為當(dāng)前的實(shí)際攻角指令；α(i-1)為上一時刻的實(shí)際攻角指令；αd(i)為當(dāng)前由(30)式計算得到的攻角指令。

2.4 側(cè)向制導(dǎo)

對于側(cè)向制導(dǎo)，本文采用經(jīng)典的航向角走廊方法確定傾側(cè)角符號。設(shè)ψLOS為飛行器當(dāng)前點(diǎn)到目標(biāo)點(diǎn)的視線角，其計算公式為

(39)

則當(dāng)前航向角誤差為ψ-ψLOS. 當(dāng)航向角誤差超過預(yù)設(shè)的誤差走廊時，改變傾側(cè)角符號使其重新回到走廊內(nèi)，當(dāng)航向角誤差未超過誤差走廊時，保持傾側(cè)角符號不變，即

(40)

式中：σi-1為上一時刻的傾側(cè)角；σi為當(dāng)前時刻的傾側(cè)角；δψ為航向角誤差門限。

3 仿真分析

本文以通用航空器CAV-H為仿真對象[26]。該飛行器質(zhì)量907 kg，參考面積0.483 9 m2. 攻角方案參數(shù)αm=20°，αL/D=10°，vm=6 500 m/s，vL/D=5 000 m/s，誤差門限δψ=15°，過程約束設(shè)置[27]為

(41)

再入任務(wù)初始和終端狀態(tài)設(shè)置如表1所示。

表1 再入任務(wù)初始和終端狀態(tài)

仿真環(huán)境為Windows10操作系統(tǒng)，仿真計算機(jī)CPU主頻3.2 GHz，內(nèi)存4 GB，制導(dǎo)周期為10-4無量綱能量。

3.1 標(biāo)準(zhǔn)條件下制導(dǎo)方法仿真

為了驗(yàn)證所提出解析制導(dǎo)方法(簡稱方法1)的有效性與優(yōu)越性，本節(jié)將其與文獻(xiàn)[6]中常值傾側(cè)角數(shù)值預(yù)測校正制導(dǎo)方法(簡稱方法2)在標(biāo)準(zhǔn)條件下以相同仿真環(huán)境和制導(dǎo)周期作對比。方法2以終端能量為約束，不能嚴(yán)格保證終端高度，且未考慮軌跡振蕩問題。仿真結(jié)果如表2和圖1所示。

表2 終端誤差

表2為兩種方法的終端誤差。兩種方法的航程誤差均較小，具有一定精度。方法2的終端高度誤差較大，這是因?yàn)樵摲椒▋H以終端能量為約束，不能嚴(yán)格約束終端高度。而本文所提出的方法根據(jù)終端高度約束得到攻角指令，終端速度、高度誤差均很小，滿足終端高度約束。圖1為標(biāo)準(zhǔn)條件下的高度- 速度曲線。相比方法2，方法1中由于添加了高度變化率反饋，軌跡更加平滑，無明顯振蕩，基本滿足準(zhǔn)平衡滑翔條件，更加適用于高升阻比的高超聲速滑翔飛行器。

圖2為標(biāo)準(zhǔn)條件下的地面軌跡，圖3、圖4分別為標(biāo)準(zhǔn)條件下的傾側(cè)角和攻角。方法1的傾側(cè)角初始階段變化較大，這是因?yàn)闉榱吮M快滿足準(zhǔn)平衡滑翔條件，在控制指令中加入高度變化率反饋造成的。相比之下，方法2的傾側(cè)角幅值近似為常值。方法2的攻角指令完全按照攻角方案給出。而方法1在滑翔末端為滿足終端高度約束，根據(jù)航跡角指令設(shè)計攻角指令，使攻角逐漸增大以抬高終端高度滿足終端高度約束。

圖5～圖7分別為標(biāo)準(zhǔn)條件下的各過程約束曲線。兩種方法均可滿足各過程約束，相比方法2，方法1的過程約束變化更加平滑，無周期性振蕩現(xiàn)象且峰值較小，更易于飛行器承受。

圖8為方法1在標(biāo)準(zhǔn)條件下的升阻比和航跡角曲線。由圖8可知，再入過程中，升阻比變化平緩且變化范圍較小，可近似于常值；滑翔段航跡角變化不大，也可認(rèn)為是常值。隨著飛行器距離目標(biāo)點(diǎn)越來越近，剩余航程越來越小，升阻比和航跡角的變化范圍更小，更接近于常值，解析解的精度會不斷提高。

此外，在相同的仿真環(huán)境和制導(dǎo)周期下，方法1的計算時間比方法2的計算時間小兩個數(shù)量級以上，這顯示出解析制導(dǎo)相比數(shù)值預(yù)測校正制導(dǎo)在計算效率上的優(yōu)越性。

3.2 擾動條件下制導(dǎo)方法仿真

為了驗(yàn)證所提出的方法在擾動條件下的精度和魯棒性，進(jìn)行200次蒙特卡洛仿真。仿真中各初始狀態(tài)偏差和參數(shù)偏差假設(shè)符合正態(tài)分布，其偏差限如表3所示。

表3 參數(shù)偏差

圖9為擾動條件下的高度- 速度曲線。由圖9可見，擾動條件下的軌跡仍比較平滑，基本滿足準(zhǔn)平衡滑翔條件。軌跡末端分布較寬，這是調(diào)整終端高度造成的。圖10為擾動條件下的終端高度- 速度誤差散布。由圖10可見，終端高度誤差基本在200 m以內(nèi)，速度誤差在1 m/s以內(nèi)，仍具有較高的精度。圖11為擾動條件下的落點(diǎn)散布，可見落點(diǎn)基本散布在10 km以內(nèi)，滿足再入制導(dǎo)要求。

圖12～圖14分別為擾動條件下的各過程約束曲線。本文提出的方法在擾動條件下仍可滿足各過程約束。特別是對于動壓約束，利用本文所提出的在線約束控制方法，實(shí)際動壓可嚴(yán)格約束在最大動壓150 kPa以內(nèi)。

4 結(jié)論

本文針對高超聲速滑翔飛行器再入制導(dǎo)問題，提出了一種基于準(zhǔn)平衡滑翔的解析制導(dǎo)方法。理論分析和仿真結(jié)果表明：

1)利用基于準(zhǔn)平衡滑翔條件得到的近似解析關(guān)系求得的傾側(cè)角指令和攻角指令可保證終端航程約束和高度約束，避免了傳統(tǒng)預(yù)測校正制導(dǎo)中的數(shù)值計算，可為在線制導(dǎo)提供一定參考。

2)反饋高度變化率修正傾側(cè)角指令可使軌跡平滑，并滿足準(zhǔn)平衡滑翔條件。

3)基于航跡角指令的在線約束控制方法可保證滿足過程約束。

4)該方法在擾動條件下具有一定精度和魯棒性。