李蘇娟

(江蘇省興化市戴澤初級中學(xué) 225721)

“化歸”是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的簡稱，所謂化歸思想，就是把所要解決的問題轉(zhuǎn)化歸結(jié)為另一個較易解決的問題或已經(jīng)解決的問題，具體地說，就是把“新知識”轉(zhuǎn)化為“舊知識”，把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”，把“復(fù)雜”轉(zhuǎn)化為“簡單”，把“陌生”轉(zhuǎn)化為“熟悉”.一言以蔽之，解題過程的實質(zhì)就是轉(zhuǎn)化過程.化歸思想注重尋求問題與已有知識經(jīng)驗的邏輯關(guān)聯(lián)，從而化生為熟、化繁為簡、化隱為顯、化難為易，使問題得以順利解決.下面舉例說明常用的八種化歸策略，希望能助你輕松解題.

一、多元向一元化歸

例1 (2006年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題)已知a，b，c為整數(shù)，且a+b=2006，c-a=2005.若a

分析要求a+b+c的最大值，由于a，b，c都是不確定的整數(shù)，所以這里有三個變元．為了減少變元的個數(shù)，我們可利用已知條件a+b=2006，c-a=2005，采用消元法來達到目的．

解將a+b=2006，c=a+2005兩邊相加得a+b+c=a+4011．因為a

點評這里待確定最大值的代數(shù)式中有三個變元，確定每一個變元的最大值都有一定的難度．我們利用整體思想，從整體上思考a+b+c的最大值，再借助于消元法得到只有一個變元的代數(shù)式a+4011，從已知條件中找出a的最大值，則問題就迎刃而解了．解決多元問題的基本思想是消元，將其轉(zhuǎn)化為一元，消元的基本方法是代入法和加減法．

二、高次向低次化歸

分析注意到求值式中含有m2，而已知條件m2-3m+1=0可以變形為m2=3m-1，利用它即可運用逐步降次的方法來求出代數(shù)式的值.

點評本題若將求值式直接通分，則會出現(xiàn)4次方，求值困難.一般地，對于高次問題，常采用上述方法來逐步降次，達到解決問題的目的.下面的問題你不妨運用這個方法試一試：

(2017年四川省內(nèi)江市中考題)若實數(shù)x滿足x2-2x-1=0，則2x3-7x2+4x-2017=____.(答案：-2020)

三、分式向整式化歸

A．-1或3 B．-1 C．3 D．1或-3

分析把分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程，求出整式方程的解，再代入最簡公分母x(x+1)進行檢驗，排除增根即可．

解方程兩邊同時乘以x(x+1)，得3=x(x-2)，整理得x2-2x-3=0，解得x1=-1，x2=3.當x=-1時，x(x+1)=0，舍去；當x=3時，x(x+1)=12≠0，所以x=3是原分式方程的解，選C.

點評解分式方程的基本思想是轉(zhuǎn)化，即將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程來求解.但必須注意：(1)去分母時各項都要乘最簡公分母，不能漏乘；(2)去括號時要注意括號前的符號；(3)移項要變號；(4)一定要檢驗.

四、無限向有限化歸

例4 (2017年浙江省衢州市中考題)如圖1，正△ABO的邊長為2，O為坐標原點，A在x軸上，B在第二象限，△ABO沿x軸正方形作無滑動的翻滾，經(jīng)一次翻滾后得△A1B1O，則翻滾3次后點B的對應(yīng)點的坐標是，翻滾2017次后AB中點M經(jīng)過的路徑長為．

分析先求出點B和點B3的坐標，再探究出其中的規(guī)律后，利用規(guī)律將無限向有限轉(zhuǎn)化，進而解決問題．

點評本題考查點的運動軌跡的確定及其長度的計算、規(guī)律的探索、扇形的弧長公式、等邊三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是從特殊到一般探究出規(guī)律，再利用規(guī)律將無限向有限化歸，進而順利地解決問題．

五、部分向整體化歸

例5 (2017年遼寧省朝陽市中考題)如圖2，分別以五邊形ABCDE的頂點為圓心，以1為半徑作五個圓，則圖中陰影部分的面積之和為( ).

解∵五邊形的內(nèi)角和為(5-2)×180°=540°，∴5個圓形的空白部分的面積之和

點評有些問題，從表面上看要局部求出有關(guān)量，但若從整體上去把握這些量之間的關(guān)系，則思路更明朗，方法更巧妙.

六、陌生向熟悉化歸

例6 (2017年四川省宜賓市中考題)規(guī)定：[x]表示不大于x的最大整數(shù)，(x)表示不小于x的最小整數(shù)，[x)表示最接近x的整數(shù)(x≠n+0.5，n為整數(shù))，例如：[2.3]=2，(2.3)=3，[2.3)=2．則下列說法正確的是．(寫出所有正確說法的序號)

①當x=1.7時，[x]+(x)+[x)=6；

②當x=-2.1時，[x]+(x)+[x)=-7；

③方程4[x]+3(x)+[x)=11的解為1

④當-1

分析根據(jù)規(guī)定的[x]、(x)、[x)的意義，將陌生的數(shù)的計算、方程與不等式的解法和函數(shù)圖象的交點坐標問題轉(zhuǎn)化為常規(guī)的問題來處理，再結(jié)合給出的說法進行判斷，得到答案.

點評對于新定義運算問題，關(guān)鍵是要認真讀題，正確領(lǐng)會所給運算規(guī)則，將其轉(zhuǎn)化為常規(guī)運算來處理.由于[x)表示最接近x的整數(shù)，為了排除x=n+0.5(n為整數(shù))的情況，題目附加了條件x≠n+0.5(n為整數(shù))，因此需要將-1

七、數(shù)形之間化歸

圖4也是一種無限分割：在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，過點C作CC1⊥AB于點C1，再過點C1作C1C2⊥BC于點C2，又過點C2作C2C3⊥AB于點C3，如此無限繼續(xù)下去，則可將△ABC分成△ACC1、△CC1C2、△C1C2C3、△C2C3C4、…、△Cn-2Cn-1Cn、….假設(shè)AC=2，這些三角形的面積和可以得到一個等式是．

點評這里通過對圖形的無限分割，借助于圖形面積的計算，利用總體等于部分之和，得到了一個數(shù)量等式，是數(shù)形之間化歸的典范．

八、實際問題向數(shù)學(xué)問題化歸

例8 (2017年浙江省紹興市中考題)如圖5為某城市部分街道示意圖，四邊形ABCD為正方形，點G在對角線BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD=1500 m，小敏行走的路線為B→A→G→E，小聰行走的路線為B→A→D→E→F．若小敏行走的路程為3100 m，則小聰行走的路程為m．

分析本題的難點是如何用小敏行走的路程來求小聰行走的路程，即小聰行走的路程與小敏行走的路程存在怎樣的關(guān)系.比較兩人走的路線，發(fā)現(xiàn)小敏走的路程為AB+AG+GE=1500+(AG+GE)=3100，則AG+GE=1600 m，小聰走的路程為BA+AD+DE+EF=3000+(DE+EF)．下面關(guān)鍵是尋找AG+GE與DE+EF的關(guān)系，這樣就把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.觀察圖形可知，正方形的對角線平分一組對角，GE⊥DC，易得DE=GE，于是只要說明AG=EF即可，而EF是矩形CEGF的對角線，易知EF=CG.于是，連接CG，由正方形的對稱性易知AG=CG，從而問題獲解．

點評本題初看上去比較復(fù)雜，但經(jīng)過分解化歸，問題得到了簡化，即尋找AG+GE與DE+EF的關(guān)系，再結(jié)合幾何圖形的特點，便將問題化歸為說明正方形中兩條線段相等的問題，然后運用正方形、矩形的有關(guān)知識，很快找到了解決問題的途徑.至此我們發(fā)現(xiàn)，本題主要考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、矩形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)．解決問題的關(guān)鍵是證明AG=EF，DE=GE．