☉江蘇省如皋市石莊鎮(zhèn)初級中學 姚建梅

解題方法和解題策略是初中數(shù)學教學的重要內容.在日常教學中，教師不僅要引導學生發(fā)現(xiàn)正確便捷的解題方法，而且要努力將《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（下稱《課程標準（2011版）》）提出的“鼓勵和提倡解決問題策略的多樣化”落到實處.當然，追求解法多樣化的同時，我們還應注意引導學生發(fā)現(xiàn)解法的優(yōu)劣，并明晰解法的適用題型及范圍.只有關注了解法多樣性與嚴謹性，才能借助解題教學提升學生分析問題和解決問題的能力.本文擬結合七年級上學期一道例題的解法及其教學分析談談筆者的思考，供大家參考.

一、例題及解法分析

1.例題及其教學背景分析

例題：若m-n=-1，則（m-n）2-2m+2n的值為______.

教學背景：筆者將其選作人教版“2.2整式的加減”的教學例題，究其原因，有二：一是本題涉及的是整式的加減、有理數(shù)的運算、代數(shù)式的化簡求值等知識，與本課時所學知識吻合；二是解本題有可能用到整體思想、轉化思想，對七年級學生體會這些數(shù)學思想的價值有著較好的作用.為了充分發(fā)揮本題的教學價值，筆者在學生自主解答時，進行全班巡視，找出了多種不同解法，然后通過小組交流與全班交流共享了解題方法，辨析了解法的優(yōu)劣，明確了解題注意點，幫助學生形成個性化的解題路徑.

2.解法分析

通過對例題的分析，筆者發(fā)現(xiàn)了三種學生能夠接受且容易想到的解法.

（1）整體代入法：我們可以將（m-n）當作一個整體，代入到整式中求值.這種解法的難點在于確定-2m+2n的值.從本節(jié)課的教學看，可以逆用乘法分配律進行操作：從-2m與+2n兩項中同時提取-2，-2m+2n=-2（m-n）=2，再整體代入求得結果.當然，如果學生對等式的性質有較深的理解，我們也可進行等式變形，兩邊同時乘-2得-2m+2n=2，同樣將其整體代入求值即可.

簡析：整體代入法無需考慮單個字母m或n的取值，只需將代數(shù)式變形為含（m-n）的式子的形式，整個求解過程需要用到乘法分配律或等式的性質等，如果對這些數(shù)學核心知識掌握得比較好，化解問題是不難的.這種解法具有較強的普適性.然而，由于“提取-2”和等式“兩邊同時乘-2”所用到的都是后續(xù)知識，雖然小學已經(jīng)學習，但對含字母的式子在小學并沒深入探索，想要所有學生用好這種解法，難度不小.

（2）特殊值法：取m=1，n=2，代入到整式計算即可.

簡析：對于填空題或選擇題而言，特殊值法的優(yōu)勢是明顯的.當然，這里m、n的取值未必一定是m=1，n=2，只要能使m-n=-1成立就行，無論哪一組取值對于以選擇或填空形式呈現(xiàn)的客觀題都是適用的.而對于解答題，這種方法是不行的.解答需要呈現(xiàn)完整的計算與推理過程，用特殊取值代替一般情形來進行計算是不允許出現(xiàn)的.

（3）變形代入法：由m-n=-1可得m=n-1，將其代入代數(shù)式得（m-n）2-2m+2n=（n-1-n）2-2（n-1）+2n=（-1）2+2=3.

簡析：這種方法，通過變形將題中的字母m轉變成含字母n的代數(shù)式，再將含有n的式子代入，經(jīng)運算消去字母n，求得結果.其最大的優(yōu)勢在于，無需考慮m、n的取值，通過恒等變形、代入運算就可以直接消去字母，達成求值的目的.然而，第一步所進行的恒等變形，必須建立在學生對等式性質有較充分認識的基礎之上，如果不是很熟練，學生難免會在符號上出差錯，導致無法準確求出結果.

二、教學簡錄及感悟

1.教學簡錄

教師安排學生自主解答，并在全班找尋不同解法.3分鐘后，安排學生小組交流，要求他們在組內核對結果，分享思路.

在組內交流結束后，教師組織了全班交流，讓學生說說自己的思路.有學生根據(jù)解答選擇、填空題的經(jīng)驗用特殊值法求解，教師及時肯定了其方法，并追問：如果是解答題，這么做行嗎？特殊值法適用于哪些類型的題目？進而明確特殊值法的適用題型.

在讓學生另選m、n的值求值后，教師引導學生交流解法1和解法3并就這兩種解法的共性優(yōu)勢進行了分析，明確：無論是整體代入，還是變形代入，兩種方法都與m、n的值無關，只需代入消去代數(shù)式中的字母，就可求得結果，因而，這兩種方法具有普適性，對于各種題型都適用.

最后，教師請學生選擇一種與已用解法不同的方法重新解答.在得出答案后，教師引導學生對比三種解法，明確其適用題型，交流解題注意點，要求能根據(jù)具體題型合理選擇解法，注意符號的變化、數(shù)值的替代等細節(jié)，盡可能不犯一些低級錯誤，確保得出正確的結果.

2.簡析

教師讓學生先自主解答例題，用自己的知識與經(jīng)驗求得結果.在接下來的小組交流中，教師不僅讓學生在組內核對解題的結果，還要求他們分享解題的思路.全班交流時，學生首先給出的是他們比較熟悉的特殊值法，在解法分享的基礎上教師與學生通過辨析，進一步明確了特殊值法的適用題型.在學生再次體驗取值求值后，教師引導學生交流了代入求值的方法及其共性之處.最后，教師還安排學生用與自己解法不同的方法重新進行求解，并對解法適用性、解題注意點等進行再度明確.

三、幾點感悟

1.解題教學應注重思路分析

解題教學是數(shù)學教學的重要內容.任何一名數(shù)學老師都會重視對例題的分析及其解法的交流.筆者認為，解題教學是提升學生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力，分析和解決問題的能力最有效的路徑.因而，我們應重視解題教學的設計與實施，尤其應重視解題思路的分析和解題過程的分享.在數(shù)學教學中，無視學生思維過程展示的教學一定是無效的教學.因此，解題教學應注重對求解思路的分析.要在幫助學生梳理既得思路的同時，找尋出他們思維的閃光點和障礙點，推動他們形成較好的分析問題和解決問題的思維模式.這或許就是解題教學的價值所在吧！對本文中的例題，筆者就遵循這樣的理念進行教學設計.無論是組內交流，還是全班交流，教師始終將解題思路的交流放在首位，這樣的長期堅持也必將會引發(fā)學生重視解題思路分析的規(guī)范化和模式化，從而早日形成個性化的思路分析模式，為更多數(shù)學問題的解決提供思維路徑范式.

2.解法對比應強化求同存異

解題教學中，解法對比是繞不開的話題.對于一些可以從不同角度解決的數(shù)學問題，我們在探索不同解法的同時，更應將這些不同解法在教學過程中強化對比，找尋共同點，分析差異處.解法對比時，我們可以從解題的過程、用到的知識、適用的范圍等角度分析解法的相同之處，這是將不同解法歸類并找尋一般解法的基本路徑，而這同樣是找尋解法差異點的切入口.在上面的教學簡錄中，教師在引導學生交流解法1和解法3時，引導學生發(fā)現(xiàn)這兩種方法都是代入法，只不過一個是將m-n當作一個整體代入，一個是將給定的等式變形為m=n-1后再代入而已.兩者的本質均是等量代換、轉化，所以，教學過程中教師始終圍繞兩種解法均“與m、n的取值無關，只需代入即可消去代數(shù)式中的字母，進而求得結果”的共性之處展開交流.這對學生很好地體會“這兩種方法具有較強的普適性，對于填空題、選擇題和解答題都是適用的”是非常有利的.至于不同解法之間的差異之處是客觀存在的，對于這些差異我們應尊重并進行客觀分析，確保學生今后在解題時不至于選錯解法.

3.解法選擇應關注題型異同

解法選擇在解題教學中同樣重要.解題教學，教的是一道題的解法，服務的卻是一組題或一類題.為了彰顯解題教學的核心價值，我們應在“解一題，會一類，通一片”上多下功夫.試想，面對茫茫題海，如果沒有解法的歸納與優(yōu)選，每一道題目都有一種解法，那該學習多少種解法??！學生的思維又該有多累啊！所以，解題教學，應重視解法的甄別與選擇的教學.對于這一點，所有數(shù)學老師是有共識的.只不過要注意的是，選擇解法要特別關注其適用性.尤其是一些較為獨特的方法，比如本文中的特殊值法，只能適用于填空題和選擇題，而解答題不可以“用特殊情形去代替一般情形”，文中給出的整體代入法或變形代入法，均不涉及字母的取值，是一種代數(shù)式的恒等變形與替代，所以解決與本文中例題類似的數(shù)學問題時，我們一定要讓學生明白三種解法的適用題型，確保不出現(xiàn)解題誤用.這一切，在解題教學時務必加以明晰，并讓學生形成較深刻的記憶.W