劉 方 ， 劉 捷

（1.網(wǎng)絡空間安全四川省重點實驗室，四川 成都 610041；2.中國電子科技網(wǎng)絡信息安全有限公司，四川 成都 610041；3.西南交通大學 信息科學與技術學院，四川 成都 610030）

0 引 言

跳頻（FH）多址擴頻系統(tǒng)具有抗干擾、抗接入的能力，并能做到頻譜資源共享。所以，在現(xiàn)代電子戰(zhàn)中，跳頻通信已顯示出巨大的優(yōu)越性。在跳頻多址系統(tǒng)中，載波頻率跳變是由一個稱為跳頻序列的偽隨機序列控制頻率合成器產(chǎn)生的。跳頻序列設計理論目前有兩方面的內(nèi)容，一是尋找跳頻序列設計時所受到的理論限；二是設計出達到或接近理論限的跳頻序列。跳頻序列的線性復雜度可以表征跳頻序列被破譯的難易程度。線性復雜度越高，表明其抗破譯的能力越強。因此，尋找和設計具有低漢明相關、序列集合容量大及具有較大線性復雜度的跳頻序列集，是跳頻通信系統(tǒng)研究的重要課題之一。

目前，在跳頻序列設計的理論界方面，人們已經(jīng)得到了很多成果，如Lempel- Greenberger界[1]、Peng-Fan界[2]等。在最優(yōu)跳頻序列設計方面，基于組合和代數(shù)工具[3-9]，人們構造了許多具有最優(yōu)漢明相關性能的跳頻序列集。基于理想自相關特性的p元偽隨機序列，構造具有優(yōu)良漢明相關特性的跳頻序列是一種很重要的方法。劉元慧等人[10]基于m序列構造了一類具有新參數(shù)的跳頻序列集和基于糾錯碼構造最優(yōu)跳頻序列集[11-13]。

1 基本概念

設一個跳頻通信系統(tǒng)具有q個頻點，頻點集合假設為F={ f1, f2,…, fq}。S是基于頻點集F上包含有M個跳頻序列的集合，其中每個序列長度為L。對于任意的頻點fi、 fj∈F，令：

對于跳頻序列集S中任意兩個序列X={x0,x1,…,xL-1}和Y={y0,y1,…,yL-1}，在相對時延為τ時的周期漢明相關函數(shù)定義為：

其中，下標t+τ按模L運算。當X=Y時，HX,Y(τ)稱 為 漢 明 自 相 關 函 數(shù)， 簡 記 為 HX(τ)； 當X≠Y時，HX,Y(τ)稱為漢明互相關函數(shù)。

針對跳頻序列集S，對任意的兩個序列X、Y∈S，下面將分別給出最大漢明自相關函數(shù)HX(τ)、最大漢明互相關函數(shù)HX,Y(τ)和最大漢明相關函數(shù)Hm的定義。

顯然，H(X)、H(X,Y)和Hm越小，跳頻通信系統(tǒng)的性能越好。因此，跳頻序列設計的一個基本要求是使H(X)、H(X,Y)和Hm的值盡可能小。跳頻序列設計主要涉及4個參數(shù)：頻點數(shù)目q、序列長度L、序列數(shù)目M以及最大漢明相關Hm，而這4個參數(shù)受到一些理論界的限制。

對于給定的頻點數(shù)目、序列長度，單個跳頻序列的最大漢明自相關滿足下面不等式。

引理1（Lempel-Greenberger界）[1]令X是頻點集F上的跳頻序列，序列長度為L，那么X的最大漢明自相關值滿足：

其中，|F|=q，b為L模q的最小非負余數(shù)。

在給定頻點數(shù)目、序列長度和序列個數(shù)的條件下，Peng和Fan[2]給出了S個序列集的最大漢明相關值滿足的理論界。

引理2（Peng-Fan界） 令S是一個在大小為q的頻點集F上的跳頻序列集，其序列數(shù)目為M，序列長度為L，令 I = [LM] /q ，則有：

在文獻[6]中，Ge、Miao和Yao證明了Peng-Fan界比Lempel-Greenberger界更好。當M=1時，Lempel-Greenberger界是Peng-Fan界的特例；當M=2時，關于H(X,Y)，Peng-Fan界要么比Lempel-Greenberger界緊，要么與Lempel-Greenberger界相同。

下面對單個序列和序列集的最優(yōu)性進行定義。

定義1 如果一個序列X的參數(shù)使得式（6）的等式成立，則稱X是一個最優(yōu)的跳頻序列；如果一個序列集S的參數(shù)使得式（7）或式（8）的等式成立，則稱S是最優(yōu)的跳頻序列集。

本文中，使用如下的記號：

(L,q,λ)-FHS表示一個在大小為q的頻點集上長度為L、最大漢明自相關值為λ的跳頻序列；

(L,M,Λ;q)-FHSS表示在大小為q的頻點集上長度為L、序列個數(shù)為M、最大漢明相關值為Λ的一個跳頻序列集。

2 基于范函數(shù)構造跳頻序列集

本節(jié)提出了一種新的構造方法，所得到的跳頻序列集達到了理論界，并具有較大的線性復雜度。

令p是一個奇素數(shù)，n、k為一正整數(shù)，且k|n，定義：表示從有限域F=Fpn到K=FP跡映射。

范函數(shù)NF/K(x)是從有限域F到K的一個映射函數(shù)，對任意的x∈F，有：

范函數(shù)NF/K(x)具有如下幾個特性[14-15]。

性質(zhì)1：對所有的x、y∈F，NF/K(xy)=NF/K(x)NF/K(y)。

性質(zhì)2：NF/K(x)是從F到K的滿射，F(xiàn)*到K*的滿射，其中F*和K*分別表示F和K中的非零元。

性質(zhì)3：對于任意的a∈K，NF/K(a)=an。

性質(zhì)4：對于任意的x∈F，NF/K(xp)=NF/K(x)。

令α為Fpn中的本原元，q=pk，n、m、k、s為正整數(shù)，且n=(2m+1)k，1≤s≤2m，gcd(s,2m+1)=1。定義 b0=1、bis=(-1)i、bi=b2m+1-i，其中 i=1,2,…,m。令u0=b0/2=(p+1)/2，ui=b2i，其中i=1,2,…,m。定義f(x)為：

容易驗證 f(λx)=λf(x)，對任意的 λ∈ Fq。

定義如下跳頻序列集：

定理1 序列集C為一個(pn-1,p,pn-1;p)跳頻序列集。

證明：顯然，序列集C中有p個移位不等價序列，頻點數(shù)為p，序列長度為pn-1。下面證明該序列集的最大漢明相關值為pn-1。

令w表示一個p次單位根，即w=e2πj/p，其中j=。

對于C中任意兩個跳頻序列ca、cb，a,b∈Fp，其漢明相關函數(shù) Ha,b(τ)，0≤ τ＜pn-1計算如下：

（1）當 a=b=0，0＜τ＜pn-1 時，有：

將變量x替換為c-1x，因為：

所以，Ha,b(τ)=pn-1。

（3）對于a≠0,b=0，0≤τ＜pn-1時，類似于情況 2，Ha,b(τ)=pn-1。

（4）對于a≠b且ab≠0,0≤τ＜pn-1時，有：

將變量x替換為c-1x，則有：

當aNF/K(ατr)-b≠0時，同樣對c≠0時進行變量替換x→c-1x，則有：

因此，最大漢明相關為pn-1。

（5）對于a=b≠0,0≤τ＜pn-1時，有：

當 0＜τ＜pn-1 時，因為 gcd(r,p-1)，所以 NF/K(ατr)-1 ≠ 0。因此，有：

綜合以上結(jié)果，得到該序列集的最大漢明相關為pn-1。

證明完畢。

定理2 序列集C達到了Peng-Fan界，是一類最優(yōu)的跳頻序列集。

結(jié)論得證。

顯然序列集C中的序列線性復雜度大于等于(m+1)n。

例1：令q=5、m=1、k=1、n=3、s=2，則f(x)=3x-x13，那么得到序列集C={c0,c1,c2,c3,c4}為：

c0={1,1,4,1,0,1,0,0,4,2,4,2,2,4,1,1,3,1,2,2,0,1,3,4,1,1,0,2,3,1,0,2,2,3,2,0,2,0,0,3,4,3,4,4,3,2,2,1,2,4,4,0,2,1,3,2,2,0,4,1,2,0,4,4,1,4,0,4,0,0,1,3,1,3,3,1,4,4,2,4,3,3,0,4,2,1,4,4,0,3,2,4,0,3,3,2,3,0,3,0,0,2,1,2,1,1,2,3,3,4,3,1,1,0,3,4,2,3,3,0,1,4,3,0}；

c1={2,0,0,0,1,0,1,4,0,1,0,1,3,3,2,0,4,0,3,1,1,0,4,3,2,0,1,1,4,0,1,1,3,2,3,4,3,4,1,2,0,2,0,3,4,1,3,0,3,3,0,4,3,0,4,1,3,4,0,0,3,4,0,3,2,3,1,3,1,4,2,2,2,2,4,0,0,3,3,3,4,2,1,3,3,0,0,3,1,2,3,3,1,2,4,1,4,4,4,4,1,1,2,1,2,0,3,2,4,3,4,0,2,4,4,3,3,2,4,4,2,3,4,4}；

c2={3,4,1,4,2,4,2,3,1,0,1,0,4,2,3,4,0,4,4,0,2,4,0,2,3,4,2,0,0,4,2,0,4,1,4,3,4,3,2,1,1,1,1,2,0,0,4,4,4,2,1,3,4,4,0,0,4,3,1,4,4,3,1,2,3,2,2,2,2,3,3,1,3,1,0,4,1,2,4,2,0,1,2,2,4,4,1,2,2,1,4,2,2,1,0,0,0,3,0,3,2,0,3,0,3,4,4,1,0,2,0,4,3,3,0,2,4,1,0,3,3,2,0,3}；

c3={4,3,2,3,3,3,3,2,2,4,2,4,0,1,4,3,1,3,0,4,3,3,1,1,4,3,3,4,1,3,3,4,0,0，0,2,0,2,3,0,2,0,2,1,1,4,0,3,0,1,2,2,0,3,1,4,0,2,2,3,0,2,2,1,4,1,3,1,3,2,4,0,4,0,1,3,2,1,0,1,1,0,3,1,0,3,2,1,3,0,0,1,3,0,1,4,1,2,1,2,3,4,4,4,4,3,0,0,1,1,1,3,4,2,1,1,0,0,1,2,4,1,1,2}；

c4={0,2,3,2,4,2,4,1,3,3,3,3,1,0,0,2,2,2,1,3,4,2,2,0,0,2,4,3,2,2,4,3,1,4,1,1,1,1,4,4,3,4,3,0,2,3,1,2,1,0,3,1,1,2,2,3,1,1,3,2,1,1,3,0,0,0,4,0,4,1,0,4,0,4,2,2,3,0,1,0,2,4,4,0,1,2,3,0,4,4,1,0,4,4,2,3,2,1,2,1,4,3,0,3,0,2,1,4,2,0,2,2,0,1,2,0,1,4,2,1,0,0,2,1}。

可以計算得到H(c0)=24，H(ci)=25，其中1 ≤ i＜5。 針 對 0 ≤ i≠ j＜5，H(ci，cj)=25。 容 易 驗證c0關于Lempel-Greenberger界是一個最優(yōu)的(124,5,24)-FHS；而對于i=1,2,3,4，ci關于Lempel-Greenberger界是幾乎最優(yōu)的(124,5,25)-FHS。通過簡單的驗證，C關于Peng-Fan界是一個最優(yōu)的(124,5,25;5)-FHSS。c0的線性復雜度為6，其他4個序列的線性復雜度為7。

需要注意，當f(x)=x時，序列集C即為參考文獻[8]第IV節(jié)所得到的序列集。C中的每個序列的線性復雜度為n。如果采用其他的f(x)函數(shù)，那么能得到具有更大線性復雜度的最優(yōu)跳頻序列集。

3 結(jié) 語

本文基于范函數(shù)構造了一類跳頻序列集，通過計算證明了該類跳頻序列的漢明相關性能滿足Peng-Fan界，是一類具有最優(yōu)漢明特性的跳頻序列集。同時，本文得到的跳頻序列線性復雜度大于等于(m+1)n，相較已有序列具有較大的線性復雜度，因此這些跳頻序列在軍事通信系統(tǒng)中具有很好的應用前景。