王茗 李媛媛

摘 要：當(dāng)我們?cè)诮鉀Q空間中點(diǎn)到直線距離的題目時(shí)，我們通常會(huì)套用文獻(xiàn)[1]的公式，但是一旦出題者變換出題方式時(shí)，我們便不知所措。首先我將此類問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求兩點(diǎn)間的距離，然后我利用直線與平面的位置關(guān)系、兩點(diǎn)間的距離公式、兩條直線的位置關(guān)系的知識(shí)來(lái)解決此類問(wèn)題，為我們解決此類問(wèn)題增加了途徑，使我們做題時(shí)思維變得更加靈活。

關(guān)鍵詞：垂直;距離;方向向量;法向量

1 引言

在空間中，點(diǎn)到直線的距離又非常重要的理論意義與應(yīng)用價(jià)值，因此許多文獻(xiàn)對(duì)此問(wèn)題進(jìn)行了探討。如文獻(xiàn)[1]

給出了一個(gè)計(jì)算空間中點(diǎn)到直線的距離公式，還有其他的文獻(xiàn)利用平面束來(lái)解決相關(guān)問(wèn)題。本文我將利用我們很熟悉的數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決此類問(wèn)題，比如兩點(diǎn)間的距離最小問(wèn)題、兩直線垂直、平面與直線的位置關(guān)系，依據(jù)這些知識(shí)系統(tǒng)地總結(jié)了解決空間中點(diǎn)到直線距離的三種算法，并且結(jié)合。

2點(diǎn)到直線求解方法

例題 求點(diǎn)M0（2，3，-1）到直線L：2x-2y+z+3=0，3x-2y+2z+17=0的距離。

解：先將直線L化為標(biāo)準(zhǔn)式方程。因?yàn)橹本€L是兩個(gè)平面相交所得，所以可以用兩個(gè)平面的法向量做叉乘得到直線l的方向向量;然后求過(guò)直線l的一點(diǎn)，這樣就可以寫(xiě)出直線L的標(biāo)準(zhǔn)式方程。

平面2x-2y+Z+3=0的法向量記為a，a={2，-2，1};平面3x-2y+2z+17=0的法向量記為b， b={3，-2，2};a×b=-2i-j+2k，所以直線L的方向向量v={-2，-1，2}，因?yàn)辄c(diǎn)M（1，-5，-15）滿足兩個(gè)平面的方程，所以點(diǎn)M在直線上，那么可得直線l的標(biāo)準(zhǔn)式方程x-1-2=y+5-1=z+152。

解法一

造一個(gè)平面π，使得此平面的法向量就是所給直線l的方向向量，并且平面π過(guò)點(diǎn)M0，直線l交平面π于M1一點(diǎn)。如圖所示。

那么將法向量和點(diǎn)M0代入平面的一般方程Ax+By+Cz+D=0可求出平面π的方程為2x+y-2z-9=0，將直線L的標(biāo)準(zhǔn)式方程化為參數(shù)方程x=1-2t，y=-5-t，z=2t-15，因?yàn)辄c(diǎn)M1在直線L上，所以滿足參數(shù)方程。那么M1（1-2t，-5-t，2t-15），因?yàn)辄c(diǎn)M1又在平面π上，所以滿足平面π的方程。將點(diǎn)代入方程，可求得t=2，那么點(diǎn)M1的坐標(biāo)為（-3，-7，-11），因此點(diǎn)M0線L的距離就是點(diǎn)M0和點(diǎn)M1之間的距離，運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式可求得d=15。

解法二

此題可以通過(guò)點(diǎn)M0向直線l作垂線，交直線l于點(diǎn)M3。如圖所式。

將直線L的標(biāo)準(zhǔn)式方程化為參數(shù)方程x=1-2t，y=-5-t，z=2t-15，因?yàn)辄c(diǎn)M3在直線L上，所以點(diǎn)M3的坐標(biāo)為（1-2t，-5-t，2t-15）。那么向量M0M3={1-2t，-5-t，2t-15}

直線L的方向向量v={-2，-1，2}，因?yàn)镸0M3與L垂直所以M0M3，與v點(diǎn)乘為零，利用這個(gè)公式求出t=2，那么點(diǎn)M0到直線L距離就是點(diǎn)M0和點(diǎn)M3之間的距離，利用兩點(diǎn)間的距離公式可求出d=15。

3結(jié)束語(yǔ)

由上述例題可知，解法一采用構(gòu)造平面的方法使問(wèn)題變得更加直觀，雖然涉及的知識(shí)面較廣泛，計(jì)算量大，但是做題思路很流暢;解法三也是轉(zhuǎn)換了解題思維，通過(guò)已知點(diǎn)向直線作垂線，交直線與另外一點(diǎn)，那么點(diǎn)到直線的距離就是這兩點(diǎn)間的距離，再利用兩點(diǎn)所形成的向量與直線的方向向量垂直，點(diǎn)乘為零，就可以求出此點(diǎn)，用到的方法和知識(shí)十分容易理解，解題過(guò)程很清晰。所以具體問(wèn)題具體分析，選擇最合適的方法進(jìn)行運(yùn)算。

[參考文獻(xiàn)]

[1]呂林根，許子道.解析幾何（第四版）[M].北京：高等教育出版社.2006.5.

[2]姜乃斌，代萬(wàn)基.高等數(shù)學(xué)習(xí)題全解全析[M].大連：大連理工大學(xué)出版社，2004.

[3]楊開(kāi)春，張富林，趙臨龍.高等數(shù)學(xué)[M].西安：陜西人民出版社，2003.

（江漢大學(xué) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)系，湖北 武漢 430056）