☉江西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 李 菁

☉江西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 劉錫光

一、引言

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出“課程內(nèi)容要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律；學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)的主要目的是為了全面了解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程和結(jié)果，評(píng)價(jià)既要關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果，也要重視學(xué)習(xí)的過(guò)程［1］”.即要求教師在教學(xué)中要同時(shí)關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果和過(guò)程.

不少學(xué)生反映小學(xué)時(shí)就對(duì)應(yīng)用題束手無(wú)策，年級(jí)越高題目中的數(shù)量關(guān)系越復(fù)雜，以致不少初中生遇到應(yīng)用題時(shí)題目都不看就直接放棄，這是導(dǎo)致學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)不好的重要原因.因此筆者試圖運(yùn)用ACT-R理論分析學(xué)生解答應(yīng)用題的認(rèn)知過(guò)程，通過(guò)設(shè)計(jì)適合學(xué)生認(rèn)知過(guò)程的教學(xué)方案讓學(xué)生更自然地掌握教學(xué)內(nèi)容.

二、ACT-R理論概述

ACT-R（Adaptive Control of Thought-Rational）理論是由卡耐基梅隆大學(xué)教授John Robert Anderson提出的一種試圖闡述人類如何獲得和組織知識(shí)，以及如何產(chǎn)生智力活動(dòng)的認(rèn)知理論.該理論的基本觀點(diǎn)是：復(fù)雜認(rèn)知是由相對(duì)簡(jiǎn)單的知識(shí)單元所組成的，而這些知識(shí)單元是通過(guò)相對(duì)簡(jiǎn)單的原理獲得的［2］.它將知識(shí)分為陳述性知識(shí)（是什么）和程序性知識(shí)（怎么做）兩類，程序性知識(shí)其實(shí)是提取陳述性知識(shí)的指令，稱為產(chǎn)生式.

圖1 ACT-R的symbolic系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)

ACT-R系統(tǒng)包括symbolic系統(tǒng)和sub-symbolic系統(tǒng).能夠顯性表現(xiàn)出來(lái)的symbolic系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1［3］所示（矩形表示功能模塊，橢圓表示緩沖塊）.它由六個(gè)基本模塊組成，產(chǎn)生式模塊通過(guò)產(chǎn)生式規(guī)則操作各個(gè)模塊的緩沖塊，從而聯(lián)合了其他所有模塊.

三、問(wèn)題解決認(rèn)知過(guò)程分析

（一）模型結(jié)構(gòu)介紹

ACT-R認(rèn)知模型包括視覺(jué)模塊（Visual Module）、映像模塊（Imaginal Module）、陳述性知識(shí)模塊（Retrieval Module）、目標(biāo)模塊（Goal Module）、產(chǎn)生式模塊（Production Module）、輸出模塊（Manual Module）等六個(gè)模塊.

視覺(jué)模塊：感知問(wèn)題，保留問(wèn)題原形；

映像模塊：儲(chǔ)存當(dāng)下問(wèn)題或目的的表現(xiàn)形式或狀態(tài)；

陳述性知識(shí)模塊：在長(zhǎng)時(shí)記憶中檢索相關(guān)信息；

目標(biāo)模塊：記錄或跟蹤問(wèn)題解決過(guò)程中的目的；

產(chǎn)生式模塊：激活能解決當(dāng)前問(wèn)題的產(chǎn)生式規(guī)則并作用于相應(yīng)信息塊；

輸出模塊：經(jīng)過(guò)操作運(yùn)算獲取結(jié)果并輸出.

（二）分析內(nèi)容選取

本文選取人教版七年級(jí)下冊(cè)第八章8.3節(jié)第1課時(shí)的課本例題：養(yǎng)牛場(chǎng)原有30頭大牛和15頭小牛，1天約需用飼料675kg；一周后又購(gòu)進(jìn)12頭大牛和5頭小牛，這時(shí)1天約需用飼料940kg.飼養(yǎng)員李大叔估計(jì)平均每頭大牛1天約需用飼料18kg～20kg，每頭小牛1天約需用飼料7kg～8kg.你能通過(guò)計(jì)算檢驗(yàn)他的估計(jì)是否正確嗎？［4］

（三）認(rèn)知過(guò)程分析

上述例題問(wèn)題解決的認(rèn)知過(guò)程如表1所示：

（四）教學(xué)過(guò)程

1.創(chuàng)設(shè)情境，復(fù)習(xí)引入

教師展示世界杯足球賽和足球的圖片，提問(wèn)：同學(xué)們喜歡踢足球嗎？觀看過(guò)世界杯比賽嗎？觀察過(guò)足球的表面由什么形狀構(gòu)成的嗎？

表1“實(shí)際問(wèn)題與二元一次方程組——檢驗(yàn)估計(jì)”問(wèn)題解決的認(rèn)知過(guò)程

教師給出題目：足球表面由一些正五邊形和正六邊形的皮塊縫合而成，共計(jì)32塊，已知正五邊形塊數(shù)比正六邊形塊數(shù)的一半多2塊，問(wèn)：兩種皮塊各有多少？

教師帶著學(xué)生回顧用方程組解決問(wèn)題的步驟，按步驟解答上述問(wèn)題.

2.探索分析，解決問(wèn)題

師：前面我們結(jié)合實(shí)際問(wèn)題，回顧了用方程組解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程.本節(jié)我們繼續(xù)探究用方程組解決實(shí)際問(wèn)題.

探究1：長(zhǎng)18米的鋼材，要鋸成10段，而每段的長(zhǎng)只能取“1米或2米”兩種型號(hào)之一，小明估計(jì)2米的有3段，他的估計(jì)是否正確？為什么？（可讓學(xué)生交流討論）

方法1：假設(shè)估計(jì)正確，檢驗(yàn)是否符合條件.（算術(shù)法）

①2×3+1×（10-7）=13≠18；

②（18-2×3）÷1=12≠（10-3）.

上述方法是小學(xué)的算術(shù)法，我們最近學(xué)習(xí)的新知識(shí)能不能解決它呢？（引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想到借助二元一次方程組）題目問(wèn)題是“你們認(rèn)為他的估計(jì)是否正確”，我們?nèi)绾闻袛噙@個(gè)估計(jì)是否正確呢？小明的估計(jì)是2米鋼材有3段，若我們能知道2米鋼材有幾段就好了.我們能否利用已知條件計(jì)算出2米鋼材的段數(shù)？

方法2：根據(jù)題中條件求出兩種型號(hào)鋼材各有多少段（或只求2米鋼材的段數(shù)），再判斷估計(jì)是否正確.（方程法）

教師對(duì)學(xué)生一題多解的行為表示贊揚(yáng)之后，提問(wèn)哪種方法更簡(jiǎn)單，大多數(shù)學(xué)生會(huì)回答方法1，此時(shí)可能有學(xué)生會(huì)有疑問(wèn)：既然方程法比算術(shù)法麻煩，為什么要學(xué)習(xí)用方程組解決實(shí)際問(wèn)題呢？于是引出教材中的例題.

探究2：上述例題.

同學(xué)們嘗試用方法1解決此問(wèn)題.（使學(xué)生感受到有些題算術(shù)法不適用）接著再用方法2，教師引導(dǎo)：題目中估計(jì)了兩個(gè)量，應(yīng)假設(shè)兩個(gè)未知數(shù)表示這兩個(gè)量；題中有哪些已知量？結(jié)合未知量，有怎樣的數(shù)量關(guān)系？采用請(qǐng)學(xué)生填空的方式得到兩個(gè)等量關(guān)系：①30頭大牛1天所需飼料+15頭小牛1天所需飼料=原來(lái)1天的飼料總量，②42頭大牛1天所需飼料+20頭小牛1天所需飼料=現(xiàn)在1天的飼料總量.

請(qǐng)同學(xué)們將等量關(guān)系用數(shù)字符號(hào)表達(dá)出來(lái)，列出方程組.解方程時(shí)請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真計(jì)算，鼓勵(lì)學(xué)生靈活交錯(cuò)使用代入法和加減法解方程組.

再請(qǐng)同學(xué)們思考：以上問(wèn)題能列出不同的方程組嗎？解是否一致？

檢驗(yàn)可知方程組的解即實(shí)際問(wèn)題的答案，得到大牛、小牛實(shí)際1天所需飼料量，回答問(wèn)題時(shí)別忘了原題是問(wèn)估計(jì)是否正確，因此要比較答案和估計(jì)范圍后再回答問(wèn)題.

解：設(shè)每頭大牛和每頭小牛1天各需用飼料x(chóng)kg和ykg.

答：每頭大牛1天約需飼料20kg，每頭小牛1天約需飼料5kg.因此，飼養(yǎng)員李大叔對(duì)大牛的食量估計(jì)較準(zhǔn)確，對(duì)小牛的食量估計(jì)偏高.

3.思考回顧，歸納總結(jié)

（引導(dǎo)學(xué)生一起總結(jié)）回顧一下剛才的解題過(guò)程：首先有一個(gè)待解決的實(shí)際問(wèn)題，我們通過(guò)轉(zhuǎn)化問(wèn)題形式，找出未知量、已知量及數(shù)量關(guān)系，列出方程組，即將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了數(shù)學(xué)問(wèn)題，解方程組后就得到數(shù)學(xué)問(wèn)題的解，經(jīng)驗(yàn)證，符合實(shí)際意義的解即為實(shí)際問(wèn)題的答案.這樣的過(guò)程我們稱為“數(shù)學(xué)建?！?

4.簡(jiǎn)單應(yīng)用，鞏固提升

劉老師購(gòu)買運(yùn)動(dòng)會(huì)的獎(jiǎng)品后，向總務(wù)處李主任交賬時(shí)說(shuō)：“我買了兩種書(shū)共105本，單價(jià)分別為8元和12元，我領(lǐng)了1500元，現(xiàn)在還剩418元.”李主任計(jì)算后說(shuō)：“你肯定搞錯(cuò)了.”李主任為什么說(shuō)他搞錯(cuò)了？

分析劉老師是哪里錯(cuò)了：由題意可知他花了（1500-418）元買了單價(jià)為8元和12元的書(shū)共105本，這兩種書(shū)各買了多少本？能求出來(lái)嗎？假設(shè)8元的買了x本，12元的買了y本，得到等量關(guān)系：①8元書(shū)的數(shù)量+10元書(shū)的數(shù)量=書(shū)本總數(shù)，②8元書(shū)的總價(jià)+10元書(shū)的總價(jià)=所花總錢數(shù).由此可得解完方程組，接下來(lái)呢？檢驗(yàn).x、y的值是小數(shù)，不符合實(shí)際意義，故劉老師的話一定出現(xiàn)了錯(cuò)誤.

5.課堂小結(jié)，思想升華

通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)，大家有什么收獲？

二元一次方程組可以幫助我們解決許多實(shí)際問(wèn)題；如何將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題；什么是數(shù)學(xué)建?！?/p>

四、教學(xué)啟示

分析學(xué)生的認(rèn)知過(guò)程可以幫助教師更好地了解學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中可能遇到的困難，掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，并根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況設(shè)計(jì)教學(xué)方案.比如，檢驗(yàn)估計(jì)問(wèn)題中沒(méi)有直接提問(wèn)要求的量，學(xué)生解題時(shí)可能找不到未知量，因此可設(shè)計(jì)題型類似但難度更低的題目為學(xué)生提供可參照的范例，同時(shí)幫學(xué)生建立信心.

同時(shí)考慮具體的教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)兩方面來(lái)設(shè)計(jì)引導(dǎo)問(wèn)題，有助于學(xué)生在認(rèn)知過(guò)程中快速形成正確的產(chǎn)生式規(guī)則.例如，為了讓學(xué)生能更順利地發(fā)現(xiàn)探究2中的未知量，筆者先設(shè)置了更簡(jiǎn)單的探究1；探究1中兩種解法對(duì)應(yīng)兩個(gè)產(chǎn)生式：檢驗(yàn)估計(jì)→假設(shè)估計(jì)正確加以驗(yàn)證；檢驗(yàn)估計(jì)→求出估計(jì)的實(shí)際值，而前者適合估計(jì)為準(zhǔn)確數(shù)值類型，后者適用于估計(jì)為大致范圍類型.

相關(guān)研究表明，策略的準(zhǔn)確性是影響學(xué)生解題策略選擇的因素，且學(xué)生總傾向于用自己認(rèn)為好的方法解決問(wèn)題，而不是教師所教授的方法.因此筆者認(rèn)為讓學(xué)生在課堂上使用他們喜歡的方法，待發(fā)現(xiàn)效果不好甚至錯(cuò)誤后再進(jìn)行正確方法的引導(dǎo)和教學(xué)，能使學(xué)生印象深刻且更愿意接受教師的方法，教學(xué)效果會(huì)更好，因此有探究2先讓學(xué)生嘗試用方法1的設(shè)計(jì)，同時(shí)能凸顯方程法的優(yōu)勢(shì).

五、結(jié)語(yǔ)

文中的不足在于“檢驗(yàn)估計(jì)”問(wèn)題解決認(rèn)知過(guò)程是筆者依據(jù)ACT-R理論的認(rèn)知觀針對(duì)這一具體問(wèn)題進(jìn)行的教學(xué)分析嘗試，只是從表層開(kāi)展模擬驗(yàn)證，更多停留在理論階段；設(shè)計(jì)的教學(xué)過(guò)程盡管在實(shí)際教學(xué)中實(shí)施過(guò)，但由于未做課前測(cè)試或?qū)φ赵囼?yàn)，缺乏效果對(duì)比的驗(yàn)證，因此接下來(lái)的研究將對(duì)學(xué)生認(rèn)知開(kāi)展更規(guī)范的模擬實(shí)驗(yàn)，進(jìn)一步將上述教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)用于教學(xué)實(shí)踐，并編制問(wèn)卷測(cè)試實(shí)驗(yàn)效果，以驗(yàn)證本研究的真實(shí)性，在此僅拋磚引玉，企盼得到大家的指正.