○朱 宇

編者按：基本思想是數(shù)學課程標準中“四基”的重要組成部分，數(shù)學思想方法是小學數(shù)學教學的重要內容。學生通過“數(shù)學廣角——數(shù)與形”的學習，進一步體會數(shù)形結合思想的實際意義，在培養(yǎng)形象思維能力的同時，促進邏輯思維能力的發(fā)展。

《數(shù)與形》是人教版六年級上冊第八單元“數(shù)學廣角”的內容。本單元包括兩個例題和10道習題，借助一些特殊的算式與圖形的相互對照，引導學生體會數(shù)形結合思想的直觀性，自主探索圖形中隱藏著的數(shù)的規(guī)律，深化數(shù)形結合解題方法的學習，體會和掌握數(shù)形結合、歸納推理、極限等基本數(shù)學思想。

一、教材變化點

新教材用“數(shù)與形”取代了原來的“雞兔同籠”問題，“雞兔同籠”問題被前移到四年級下冊。

一方面，“雞兔同籠”的學習重點在于突出嘗試的策略，在嘗試過程中不斷調整思路，逐步發(fā)現(xiàn)規(guī)律，側重于在嘗試與枚舉中培養(yǎng)歸納推理能力。很顯然，這種目標定位滯后于六年級學生的認知水平。而且，學生在五年級已經學習了方程，如果用列方程解決“雞兔同籠”問題，雖然正確，但是偏離了“數(shù)學廣角”教材編排“方法更一般，適用范圍更廣泛，更能體現(xiàn)數(shù)學基本思想”的理念。

另一方面，數(shù)形結合是一種非常重要的數(shù)學思想，小學數(shù)學教材中有許多數(shù)與形相結合的例子，學生已經積累了一定的活動經驗，到了六年級需要安排專門的課時進行回顧與整理。讓學生體會形中有數(shù)、數(shù)中有形，進而以形助數(shù)、以數(shù)解形，體會數(shù)形結合思想的實際意義。

二、年段銜接點

在本單元學習之前，學生在小學數(shù)學各領域知識的學習中與“數(shù)形結合”都有廣泛接觸。例如，低年級借助直線認識數(shù)的順序，高年級畫線段圖幫助理解數(shù)量關系，還有位置、正反比例關系圖像、統(tǒng)計圖等內容，都是用“形”作為直觀工具幫助學生分析和解決問題，領悟代數(shù)與幾何之間的聯(lián)系。圖形與幾何領域，學生進行角度、周長、面積和體積的計算，都是從量化的角度研究圖形的特征，用“數(shù)”解決“形”的問題。這些內容是數(shù)形結合思想的體現(xiàn)，是學習中學數(shù)學的重要基礎。

到了中學階段，數(shù)與形的結合更是得到了廣泛應用，例如實數(shù)與數(shù)軸上的點，函數(shù)與圖像的對應關系，在數(shù)軸上表示不等式的解集，解決最值、值域問題，以及在解析幾何方面的應用等等。

三、疑難問題與策略建議

1.本單元課時內容怎樣設置比較合理？

本單元包括例1、例2、“做一做”及練習二十二的8道練習題，分2課時進行教學。在課時內容安排上，存在兩種觀點。

第一種觀點主張將兩個例題集中在一課時內學習，第二課時則用來集中練習。理由是：兩個例題都體現(xiàn)了數(shù)形結合的數(shù)學思想，例1為用數(shù)表示形的規(guī)律，即“以數(shù)解形”；例2則用形解決了數(shù)的問題，即“以形助數(shù)”，兩個例題集中學習能充分體現(xiàn)數(shù)與形的緊密結合。

第二種觀點則認為，兩個例題分屬不同層次，應當分兩課時教學。例1是通過數(shù)與形的對照，利用圖形直觀形象的特點表示數(shù)的規(guī)律，即利用正方形直觀地理解“正方形數(shù)”或“平方數(shù)”的特點。例2則是借助圖形解決一些比較抽象的、學生不易接受而且難以解釋的問題，即根據分數(shù)意義，利用圓的模型，直觀理解“極限”的概念。

本單元的教學目標，重在感知“數(shù)”與“形”之間的關系，體驗數(shù)與形各自的價值，所以，相比較而言，第二種安排更為合理。將兩個例題分開新授，每一課時都采用“例題+配套習題”的方式設置教學內容，能夠使抽象的數(shù)學形象化的過程充分展開，又能夠保證探索、體驗、理解、應用的時間，有助于突出重點，突破難點。例如，“極限”思想的滲透，需要從“有限”向“無限”的延伸，沒有充足的體驗經歷，學生很難體會推理和極限思想。

2.例1的教學：如何讓“數(shù)”“形”間的規(guī)律探索更有效？

（1）針對學情細化目標。

學生知道“從1開始，連續(xù)的若干個奇數(shù)相加的和，等于加數(shù)個數(shù)的平方”這一規(guī)律，而且能運用規(guī)律計算連續(xù)若干個奇數(shù)相加的和，但在數(shù)形對照的過程中，卻不能確切描述算式與圖形之間的聯(lián)系。因此，我們要在“感受數(shù)形間的對應關系”總目標下，將“數(shù)形間的對應關系”細化為“項數(shù)與正方形邊長的對應關系，末項與圖形最外層的對應關系”，既要從算式本身發(fā)現(xiàn)加數(shù)的規(guī)律（從1開始的連續(xù)奇數(shù)相加），又要從正方形中發(fā)現(xiàn)和的規(guī)律（連續(xù)的正方形數(shù)）。

（2）遵循規(guī)律優(yōu)化素材。

例1中“形”的問題包含著“數(shù)”的規(guī)律，“數(shù)”的問題也可以用“形”來幫助解決，為了讓學生有個性的思考和清晰的表述，可以先出示圖形，探究圖形對應的數(shù)。因為觀察角度的不同，匯報交流時能出現(xiàn)不同的表達規(guī)律的方式，例如“1，4，9，16”，“1×1=1，2×2=4，3×3=9，4×4=16”，“1，1+3=4，1+3+5=9，1+3+5+7=16”。接下來再探究算式對應的圖形，體會數(shù)中有形。由此，學生經歷“數(shù)與形”的對應、轉化和結合，逐步抽象，形成“計算從1開始的連續(xù)奇數(shù)之和等于加數(shù)個數(shù)的平方”模式。

（3）著眼應用拓展視野。

數(shù)形結合是重要的數(shù)學思想，也是解決問題的重要方法。在解決問題環(huán)節(jié)，可以設計“1+3+5+7+9+7+5+3+1=（ ）”和“5+7+9=（ ）”等變式練習。第一題可以看成1+3+5+7+9（52）和7+5+3+1（42），第二題是“1+3+5+7+9”與“1+3”的差，也就是52減去22，借助圖形可以描述為一個邊長是5的正方形里面減去一個邊長是2的正方形，讓學生進一步感受“數(shù)”與“形”之間的密切聯(lián)系?！罢叫螖?shù)”學生會了，那么“三角形數(shù)”呢？“五邊形數(shù)”“六邊形數(shù)”呢？可以帶領學生感受三角形數(shù)和正方形數(shù)之間有趣的聯(lián)系，領略五邊形數(shù)、六邊形數(shù)、多面體數(shù)的神奇，再次擴大探究的領域。

3.例2的教學：怎樣實現(xiàn)從“和越來越接近于1”到“和等于1”的跨越？

這是一道無窮遞縮的等比數(shù)列求和問題。雖然學生借助圖形能夠推理出“和越來越接近于1”，但是對“和等于1”并不認同，因為直觀圖顯示，無論怎么平均“分割”，圖中好像總有“剩余部分”。

（1）觀察算式特點，初步體會無限。

（2）展開畫圖活動，體會以形助數(shù)。

單純從“數(shù)”的角度看算式，算式中無窮項累加求和，超越了學生的認知，因此需要設置“畫圖”任務（在線段、正方形、圓等圖形中表示這一算式），借助這些直觀的“形”，學生能夠發(fā)現(xiàn)這個算式的結果應該與“1”有關。形象直觀的圖形幫助學生感知這個數(shù)列的整體趨勢，例如每一個加數(shù)都是前一個數(shù)的，這些加數(shù)的和無限接近1。直觀圖為求解算式結果指引了方向。

（3）借助模式直觀，體會以數(shù)解形。

畫圖表征算式之和，能夠幫助學生認識到和越來越接近1，但是不能準確地表示結果是否等于1。這時，可以引導學生換個角度，借助數(shù)來分析。出示，以這些熟悉的算式為支撐，想象，進而推理得出：1可以無限分解，表示為若干個分數(shù)相加，而且數(shù)列中后一個分數(shù)是前一個分數(shù)的一半。再借助等式的性質，完成推理：因為…，所以?！靶巍睘閷W生提供問題解決的方向，“數(shù)”幫助學生找到準確結果，學生進一步體會到數(shù)和形各自的特點，對數(shù)形關系的理解得到升華。

（4）回顧已有經驗，感悟極限思想。

關于無限數(shù)列，引導學生做出“無限個加數(shù)相加，和可能是無窮大，也可能是逼近某個確定的常數(shù)”這兩種猜想，接下來可以回顧圓面積推導過程中涉及的“割圓術”，幫助學生猜想“極限”：當這個和無限地逼近某個常數(shù)時，會不會就等于這個常數(shù)呢？最終認可例2的結果等于1。如果時間允許，也可以從算式本身入手進行證明，設，那么2a=1+，把兩式相減，就可以得到2a-a=a=1。這些措施能夠幫助學生跳出“有限”的圈子，更深刻地感悟極限思想。

資料存盤

1.《數(shù)學廣角──數(shù)與形》課標要求。

數(shù)學課程標準在“學段目標”的“第二學段”中提出：初步形成數(shù)感和空間觀念，感受符號和幾何直觀的作用；在觀察、實驗、猜想、驗證等活動中，發(fā)展合情推理能力，能進行有條理的思考，能比較清楚地表達自己的思考過程與結果；在運用數(shù)學知識和方法解決問題的過程中，認識數(shù)學的價值。

數(shù)學課程標準在“課程內容”的“第二學段”中提出：探索給定情境中隱含的規(guī)律或變化趨勢。

2.關于“極限思想”的幾個注意點。

（1）極限思想是用無限逼近的方式來研究數(shù)量變化趨勢的思想，包含兩個要素：變化的量是無窮多個；無限變化的量趨向于一個確定的常數(shù)。

（2）當我們面對關于無限的問題時，要用無限的觀點來思考，比如0.999…=1。

（3）極限方法只關注一個無限的變化過程的確定趨勢是什么，如果某個變化的量“無限逼近”于一個確定的數(shù)值，那么這個定值就叫做變量的極限。例2中隨著加數(shù)越來越多，和就越來越接近于確定的數(shù)1，所以，當加數(shù)個數(shù)無限多時，和就是1。