■甘肅省通渭縣第二中學(xué) 田耀祖

創(chuàng)新一：常值變參型

特征與題根：該題型在(a+b)n的底數(shù)a，b 的位置引入?yún)⒆兞浚⑶髤⒆兞康闹?。在解答時(shí)，如果視參變量為常量，那么原問題化歸于二項(xiàng)式定理的基礎(chǔ)知識。列關(guān)于參變量的等式，解之即可。

例1已知二項(xiàng)式的展開式中含x3項(xiàng)的系數(shù)為160，則實(shí)數(shù)a 的值為____。

解析1：因?yàn)橐箈2，兩項(xiàng)之積得到x3，則應(yīng)給x2與分別分配3 次方，所以根據(jù)二項(xiàng)式定理展開式的通項(xiàng)公式得·160，解得a=-2。

正確答案為-2。

解析2：依題意得得r=3，所以解得a=-2。

正確答案為-2。

創(chuàng)新二：橫向拓展型

特征與題根：該題型是將二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式、某項(xiàng)的系數(shù)、二項(xiàng)式系數(shù)、整除等知識點(diǎn)有機(jī)地融合在一起。在解答時(shí)，要分層處理，將原問題分解成若干個(gè)二項(xiàng)式定理的單一基本問題，并有序解答。

例2已知n 為滿足能被9整除的正數(shù)a 的最小值，則在的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為( )。

A.第6項(xiàng) B.第7項(xiàng)

C.第11項(xiàng) D.第6項(xiàng)和第7項(xiàng)

解析：因?yàn)樗砸筍 能被9整除，則a-2≥9，即a≥11。又 因 為a≥3，所 以n =11，從 而的展開式中系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)只有符號差異，又中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，中間兩項(xiàng)為第6項(xiàng)和第7項(xiàng)，且第6項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)，所以第7項(xiàng)的系數(shù)最大。

正確答案為B。

創(chuàng)新三：縱向延伸型

1.三項(xiàng)式的展開式

特征與題根：形如(a+b+c)n(n∈N*)的式子稱為三項(xiàng)式。一般地，解答三項(xiàng)式展開式問題有三個(gè)視角：一是化三項(xiàng)式為二項(xiàng)式；二是二項(xiàng)式定理的展開式的通項(xiàng)公式兩次疊乘運(yùn)用；三是運(yùn)用組合數(shù)知識。

例3在的展開式中，x2的系數(shù)為( )。

A.10 B.30 C.45 D.120

解 析 1：因 為只出現(xiàn)在(1+x)10的展開式中，所以含x2的項(xiàng)為，即展開式中含x2的系數(shù)為

正確答案為C。

解析2其展開式的通項(xiàng)公式為因?yàn)閞=0，1，2，…，10；t=0，1，2，…，10-r，所以t=2，r=0，所以x2的系數(shù)為=45。

正確答案為C。

解析3：可以看作是10的因式乘積，其展開式的每一項(xiàng)的系數(shù)是從每個(gè)因式或x 或中僅提取一個(gè)的組合數(shù)，即從10個(gè)中 提 取2 個(gè)x個(gè)1，所以。

正確答案為C。

2.二項(xiàng)式積的展開式

特征與題根：形如(a+b)m(c+d)n(m∈N*，n∈N*)的式子稱為二項(xiàng)式積，事實(shí)上，此類問題是二項(xiàng)式定理展開式與乘法分配律的結(jié)合運(yùn)用。

例4的展開式的常數(shù)項(xiàng)是( )。

A.94 B.34 C.-34 D.-42

解析：因?yàn)榈耐?xiàng)為Tr+1=所以3x2與展開式中的含x-2的項(xiàng)的乘積為常數(shù)，即得r =1；-2 與展開式中的常數(shù)項(xiàng)的乘積為常數(shù)項(xiàng)，即得r=5。所以的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為(-2)5×(-2)=34。

正確答案為B。

創(chuàng)新四：外知融合型

特征與題根：該題型是將二項(xiàng)式定理與其他知識有機(jī)地結(jié)合在一起，在知識間對接，在思維處融合。解題需剖析二項(xiàng)式定理與其他知識間的內(nèi)在聯(lián)系、主次關(guān)系、層次脈絡(luò)，從而探求解題的突破口。

例5已知(x+2)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9，則(a1+3a3+5a5+7a7+9a9)2-(2a2+4a4+6a6+8a8)2的值為( )。

A.39B.310C.311D.312

解析：對比所求中的a1+3a3+5a5+7a7+9a9，2a2+4a4+6a6+8a8與已知條件中的a0+a1x+a2x2+…+a9x9，不難想到，對(x+2)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9兩邊同時(shí)求導(dǎo)，即9(x+2)8=a1+2a2x+3a3x2+…+9a9x8，令x=1，得a1+2a2+3a3+…+9a9=310，令x=-1，得a1-2a2+3a3-…+9a9=32。所以(a1+3a3+5a5+7a7+9a9)2-(2a2+4a4+6a6+8a8)2=(a1+2a2+…+9a9)(a1-2a2+…+9a9)=312。

正確答案為D。

由于二項(xiàng)式定理具有優(yōu)美的結(jié)構(gòu)、豐富的內(nèi)容、親和的情懷等特征，它才有了深廣的創(chuàng)造點(diǎn)和開發(fā)面。然而，無論如何創(chuàng)新，只要抓住一個(gè)題根——二項(xiàng)式定理展開式，以及二大法寶——數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想，解答每一個(gè)二項(xiàng)式定理問題，均能打開一扇思維的門，沿通暢的思路到達(dá)終極目標(biāo)。