欒恩杰

（國(guó)家國(guó)防科技工業(yè)局，北京 100048 ）

我在有關(guān)的文章中曾經(jīng)提過(guò)將深空探測(cè)的動(dòng)力系統(tǒng)作為一個(gè)獨(dú)立分支進(jìn)行研究的意見(jiàn)。此文在討論有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，將采用國(guó)際宇航科學(xué)院（International Academy of Astronautics，IAA）的“星際科學(xué)先導(dǎo)任務(wù)項(xiàng)目（Interstellar Precursor Mission，IPM）”[1]的有關(guān)內(nèi)容。因?yàn)槲矣X(jué)得“IPM”所涉及的概念相當(dāng)豐富，對(duì)我們的深空探測(cè)活動(dòng)具有很重要的啟示。

1 深遠(yuǎn)空探測(cè)任務(wù)的推進(jìn)動(dòng)力應(yīng)作為空間動(dòng)力的一個(gè)獨(dú)立的門(mén)類(lèi)

在確定“深遠(yuǎn)空”（Very Far，VF，或者稱其為遠(yuǎn)深空）天界時(shí)，最近有一些報(bào)道將太陽(yáng)風(fēng)層頂（100 AU）以外的空間環(huán)境作為星際太空的起端（Heliopause）。并以此表述為飛出太陽(yáng)系的邊緣。我認(rèn)為在確立太陽(yáng)系的邊緣處時(shí)，可以延續(xù)在太陽(yáng)系中太陽(yáng)—地球、地球—月球間及行星間影響球的概念，比如在地球表面的物體受到地球的引力比太陽(yáng)對(duì)其的引力要大1 600多倍，實(shí)際上在距離10倍地球半徑時(shí)，其引力只有地球表面的1%。也即處于影響球之內(nèi)時(shí)，只考慮一個(gè)主天體的作用，不會(huì)影響我們的分析和判斷。按這個(gè)意見(jiàn)，我們太陽(yáng)系與比鄰星系則是兩個(gè)相距約2.7×105AU的主天體，在研究我們太陽(yáng)系的行星運(yùn)動(dòng)時(shí)，并不必要加入比鄰星的作用，從這個(gè)意義上說(shuō)是否可以按影響球概念定義太陽(yáng)系的天界。簡(jiǎn)單而言之，如果比鄰星的質(zhì)量與太陽(yáng)系相同，，其影響球處于2.7×105AU，其一半的距離也在10萬(wàn)AU，所以有學(xué)者認(rèn)為太陽(yáng)系的邊緣在10萬(wàn)AU以上，即使有50 km/s的飛船，飛到這個(gè)距離也要1 200多年（），如果我們以這個(gè)目標(biāo)作為現(xiàn)在的人類(lèi)要實(shí)現(xiàn)的目標(biāo)的話，由于其距離太過(guò)遙遠(yuǎn)，所需行進(jìn)時(shí)間太過(guò)漫長(zhǎng)，將使我們望而卻步，起不到任何激勵(lì)作用，在太陽(yáng)系遠(yuǎn)深距離（very far space destination）的定義中將科學(xué)目標(biāo)和技術(shù)目標(biāo)綜合考慮，將技術(shù)型任務(wù)和科學(xué)型任務(wù)結(jié)合起來(lái)判斷。IAA的IPM將太陽(yáng)系的邊界設(shè)定在80～100 AU處，也是有一定道理的。在未來(lái)先進(jìn)的深空動(dòng)力系統(tǒng)得以實(shí)現(xiàn)突破，使飛行器飛行速度達(dá)到100 km/s以上時(shí)，實(shí)現(xiàn)500 AU距離的任務(wù)也是具有實(shí)踐推動(dòng)性和未來(lái)挑戰(zhàn)性的。

在深遠(yuǎn)空的行動(dòng)中，人類(lèi)將面臨諸多從未遇到過(guò)的，或者說(shuō)很少思索的問(wèn)題。

首當(dāng)其沖是深遠(yuǎn)空推進(jìn)動(dòng)力問(wèn)題，它和超遠(yuǎn)的飛行距離緊密相關(guān)?；瘜W(xué)推進(jìn)劑的極限能量是mc2，所以單位質(zhì)量的極限能量為(3×105×103m/s)2=9×1016J/kg，目前可能達(dá)到的單位質(zhì)量提供的能量在(0.8～1.25)×107J/kg水平，它的噴射速度ve在4～5 km/s左右。這對(duì)超遠(yuǎn)距離飛行任務(wù)所需的時(shí)間而言，將是難以承受的，若在三級(jí)Mp/M0=0.9的條件下，其終速u(mài)τ=3×5×ln(1/0.1)，即34.5 km/s，以這個(gè)速度漫游到太陽(yáng)風(fēng)層頂（100 AU）處也需13.8年，若要到太陽(yáng)引力透鏡焦點(diǎn)（500 AU ）則需70年。到達(dá)奧爾特云104AU處則要1 380年。如果想在20年內(nèi)達(dá)到500 AU，那航天器飛行速度要達(dá)到120 km/s。

若在近地軌道處逃離地球引力，其速度增量是第二宇宙速度與第一宇宙速度之差（VII-VI），即12～8 km/s，?V=4 km/s。它是化學(xué)推進(jìn)劑的噴射速度能夠達(dá)到的。

怎樣才能既加快飛行速度，且能消耗更少的質(zhì)量呢？顯然不能利用火箭的短時(shí)間加速（有的書(shū)稱為脈沖加速）、以霍曼軌道方式奔向目標(biāo)，所以IAA的IPM所重點(diǎn)關(guān)注的是采用穩(wěn)定、長(zhǎng)時(shí)間工作的高比沖推力系統(tǒng)，使其達(dá)到足夠大的速度增量，以便使任務(wù)在可以接受的時(shí)間內(nèi)完成。這種穩(wěn)定、長(zhǎng)時(shí)間工作的高比沖推力系統(tǒng)，即是我們要重視開(kāi)發(fā)的深空遠(yuǎn)程的推力系統(tǒng)。

從目前掌握的技術(shù)來(lái)看，有兩種推進(jìn)系統(tǒng)得到了廣泛重點(diǎn)關(guān)注。一個(gè)是通過(guò)太陽(yáng)輻射直接驅(qū)動(dòng)的太陽(yáng)帆推進(jìn)，這是一種利用航天器所處位置的太空資源，稱為原位資源（Insitu Resource）。這類(lèi)資源中的主恒星輻射因其與距離的平方呈衰減而變小，但在更遠(yuǎn)的將來(lái)能否實(shí)現(xiàn)星際沖壓噴氣發(fā)動(dòng)機(jī)（Interstellar Ramjet），以就地獲取星際質(zhì)子（H+），目前仍是一種科幻。另一個(gè)是電推進(jìn)（Electric Thrusters，ET），以采集主恒星光能的光伏電池或航天器自帶的核電反應(yīng)堆（Nuclear Electric Propulsion，NEP）作為推力的動(dòng)力，電推進(jìn)的比沖比化學(xué)推進(jìn)要高得多，目前我們已經(jīng)做到高于液體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)（LRE）的10倍以上，其噴射速度（vc）達(dá)到40 km/s。

在IAA的“IPM”一書(shū)中第4章提到用電力實(shí)現(xiàn)太空旅行的概念可能是由施圖林格在二戰(zhàn)期間提出來(lái)的（Possibly the first suggestion to apply electric power to space travel was by Stuhlinger during WWⅡ.）。在書(shū)中的參考文獻(xiàn)中，只引用了一篇施圖林格（Stuhlinger）的文章，是1964年的《太空飛行的離子推進(jìn)》[2]他所以提出電推力主要原因是這種推力系統(tǒng)可以獲得比化學(xué)能高得多的比沖，他認(rèn)為核電可以為其提供動(dòng)力源。

如果說(shuō)愛(ài)因斯坦的質(zhì)—能關(guān)系表示小質(zhì)量轉(zhuǎn)化成巨能量，那么利用電推進(jìn)就是以高噴射速度得到小質(zhì)量下的大比沖。

2 施圖林格解的解析

施圖林格給出了一個(gè)連續(xù)常值推力的方法，也即飛行器所受到的推力不是常規(guī)化學(xué)推進(jìn)劑的短時(shí)間加速過(guò)程，關(guān)機(jī)后它將按圓錐曲線軌道運(yùn)行。用我們習(xí)慣的說(shuō)法，深遠(yuǎn)空常值推進(jìn)系統(tǒng)是長(zhǎng)時(shí)間處于主動(dòng)段飛行的飛行器。正是在這個(gè)設(shè)定下，施圖林格開(kāi)發(fā)了加速度（速度增量）為常值條件下的方法。有關(guān)加速度為常值情況的全面分析，還有待進(jìn)一步研究，所以它只是一個(gè)原始的方法。

IAA的IPM給出了這個(gè)解的結(jié)論。我這里的主要內(nèi)容是將書(shū)中沒(méi)有表征的過(guò)程和推演過(guò)程中涉及的一些概念和方法做一個(gè)解析，解析過(guò)程中是否存在不準(zhǔn)確之處，還請(qǐng)有關(guān)學(xué)者指正。

2.1 施圖林格方法的原始出發(fā)點(diǎn)是齊奧爾科夫斯基定律。

式中的符號(hào)采用IPM文章的寫(xiě)法：uτ為時(shí)間τ時(shí)的航天器速度，v為航天器推進(jìn)系統(tǒng)的排氣速度，M0為航天器總質(zhì)量，也即

若令M0=Mρ+Mw+ML， 其中Mρ為推進(jìn)劑質(zhì)量，Mw為推進(jìn)系統(tǒng)的干重（不計(jì)推進(jìn)劑系統(tǒng)質(zhì)量），ML為有效載荷質(zhì)量（是任務(wù)需要的有效部分），

有Mρ=M0-(Mw+ML)，

代入式（1）則

施圖林格解表征的是任務(wù)的“有效載荷”比ML/M0，所以我們要將Mw表征為與M0有關(guān)的方式。為此定義了推力系統(tǒng)的“功率密度”概念。α為功率密度。

令α≡(功率P)/Mw，

理想狀態(tài)下，推進(jìn)系統(tǒng)的噴出速度v等于其比沖（Isp），比沖單位為“推力/單位時(shí)間消耗推進(jìn)劑的質(zhì)量”，m/s。

在α的定義中，功率P應(yīng)是推進(jìn)系統(tǒng)在恒定加速度下所貢獻(xiàn)的能量。如果我們是在τ時(shí)間內(nèi)穩(wěn)定地以v速噴出Mρ的推進(jìn)劑，則其功率P為

所以，α的定義表達(dá)式為

將式（3）代入Mρ=M0-(Mw+ML)式中

將其代入式（1），有

有

此式即稱為施圖林格解（Stuhlinger's Salution）。

下面討論一下這個(gè)解：

1）施圖格林解給出的是有效載荷比ML/M0與最終速度uτ、噴出速度v及推進(jìn)劑工作時(shí)間τ和推進(jìn)系統(tǒng)功率密度α這四個(gè)參數(shù)的關(guān)系。

2）它的分析基礎(chǔ)是齊奧爾科夫斯基定律，從此定律出發(fā)，可以推演出我們工程所需的各參數(shù)之間的關(guān)系與規(guī)律。這個(gè)解的核心思路是獨(dú)立出一個(gè)“功率密度α”的參數(shù)。

3）在下面的解析里，將根據(jù)不同的需要形成ML/M0，uτ，τ，及功率P之間的關(guān)系表達(dá)式。

2.2 距離增量Sτ的精確表達(dá)式

在IPM任務(wù)中，有關(guān)內(nèi)容反映在4.4節(jié)，題目是通用“精確”解（General ‘Exact'Solution）。這里將從前面導(dǎo)出的施圖林格解出發(fā)，由速度增量?uτ，導(dǎo)出距離增量Sτ。

仍然假定推進(jìn)劑噴射速度v是平穩(wěn)的常值（也即比沖不變），且推進(jìn)劑的秒耗量也是平穩(wěn)的。那么推進(jìn)劑在t時(shí)刻的消耗量為

將它代入式（1），有

即

此處的目的是求解Sτ和ML/M0的關(guān)系，則應(yīng)將Sτ的表達(dá)式中Mρ/M0轉(zhuǎn)化成ML/M0。為此仍需用到施圖林格解的參數(shù)定義。將式（4）代入式（6）有

有

2.2.1 小 結(jié)

2）功率密度α值隨不同的推進(jìn)系統(tǒng)而有很大的變化，施圖林格主要是針對(duì)核電推進(jìn)作為背景，對(duì)核電推進(jìn)而言，它可能達(dá)到（MW/kg）級(jí)，如果在一年的任務(wù)中2ατ可以達(dá)到1013量級(jí)，即

vc達(dá) 到107m/s量級(jí)。

在這樣的vc下 ，除非v（比沖Isp）與其相近，否則式（5）的第二項(xiàng)是可以忽略的，也即式（5）變成

式（8）即為所有化學(xué)推進(jìn)系統(tǒng)的情況，也即式（8）是式（5）的收斂值。

實(shí)際上，在α值的定義中，只是推進(jìn)系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)質(zhì)量Mw比值，如果將所有非有效載荷部分的質(zhì)量一并考慮在Mw里時(shí)α值還是較小的。據(jù)IPM任務(wù)描述，核電推進(jìn)系統(tǒng)α值的保守估計(jì)約為0.01～0.02 kw/kg（即為10～20 m2/s3）。美國(guó)國(guó)家航空航天局（NASA）使用太陽(yáng)能電池板驅(qū)動(dòng)的太陽(yáng)能技術(shù)的驗(yàn)證試用發(fā)動(dòng)機(jī)（NSTAR）的α=0.17～0.25 m2/s3。

3）對(duì)式（5）進(jìn)行歸一化處理，并將uτ和作為參數(shù)。表達(dá)ML/M0與比沖的關(guān)系:

2.3 施圖林格解的應(yīng)用

在IPM任務(wù)中，將有效載荷比ML/M0、最終速度uτ、比沖v（Isp）、推進(jìn)系統(tǒng)任務(wù)時(shí)間τ、發(fā)動(dòng)機(jī)特征速度vc、功率P及功率密度、深遠(yuǎn)空目標(biāo)距離Sτ作為研究分析的關(guān)鍵參數(shù)，并分析其相應(yīng)的規(guī)律，我認(rèn)為弄清楚這些概念是非常重要的。在這個(gè)領(lǐng)域，美、蘇（俄）自1950年代以來(lái)，積累了大量的研究成果。而弄清楚這些參數(shù)之間的關(guān)系，則是這些知識(shí)的重要部分。

在上述七個(gè)參數(shù)之中，特征速度vc與α和τ相關(guān)，而α又與P相關(guān)。所以在f(ML/M0)=0的“精確”解里，只含有Sτ，v，τ，α及ML/M0這5個(gè)物理量。為描述其中2個(gè)量之間的關(guān)系，必須將其它的3個(gè)變量作為參數(shù)（Parameter），在這3個(gè)參數(shù)取值的條件下，得到所需研究的其它兩個(gè)變量之關(guān)系。

在IPM任務(wù)中，將Sτ=73 AU 及520 AU ；α=0.1及0.4；τ=5～28年；作為參數(shù)，求出ML/M0與v(Isp)之間的變化規(guī)律。

f(ML/M0)=0是非線性的方程，可通過(guò)迭代方式求解，我將這一過(guò)程中的概念說(shuō)明如下：

首先，將(Sτ-vτ)從方程中移出，然后用vτ除兩邊得到

這是任務(wù)距離、任務(wù)時(shí)間及發(fā)動(dòng)機(jī)比沖的邊際條件，如果出現(xiàn)vτ≤Sτ，則表明發(fā)動(dòng)機(jī)以v的比沖在任務(wù)要求的時(shí)間τ內(nèi)到達(dá)不了Sτ的距離，也即其載荷比已經(jīng)不可能存在。從表達(dá)式中也可看出，是不會(huì)小于零的，只有對(duì)數(shù)項(xiàng)內(nèi)為1時(shí)，也即時(shí)才有的情況。據(jù)此，我們可以稱（）為任務(wù)能力被截止的極點(diǎn)（定義為截比J）。而定義為特征值。

例如：求在Sτ=73 AU ，τ=8年的任務(wù)要求時(shí)，設(shè)α=0.1 kw/kg，比沖v=100 km/s的載荷比ML/M0。

首先計(jì)算截比值

有了截比J=0.565，則可以迭代求解

式中

則

代入上式

經(jīng)迭代有ML/M0=0.22時(shí)左式值為0.564，誤差值在0.001位上可以接受這個(gè)結(jié)果。

1）當(dāng)比沖為150 km/s時(shí)

說(shuō)明從v=100 km/s提高到v=150 km/s時(shí)，ML/M0是上升的。

說(shuō)明從v=150 km/s到v=250 km/s ，ML/M0沒(méi)有提升。在此段比沖的影響不大。

3）再取v=300 km/s時(shí)

說(shuō)明從v=250 km/s 到v=300 km/s ，ML/M0是下降的。

它表明在v=150 km/s到v=250 km/s之間有一個(gè)ML/M0的極值點(diǎn)。

4）如果我們?nèi)=200 km/s時(shí)

可以從這個(gè)例子中看到在8年左右的旅行時(shí)間情況下，確實(shí)存在一個(gè)比沖值，使達(dá)到最大。

動(dòng)力飛行時(shí)間τ和比沖v是特征值的關(guān)鍵參數(shù)，在τ比較小（比如幾年）時(shí)，α值比較重要，也即發(fā)動(dòng)機(jī)的功率密度影響比較大。如果τ比較大（比如20年），則α值的重要性就低得多。我們可以通過(guò)兩個(gè)例子說(shuō)明這個(gè)結(jié)果。

若令τ=8年、Sτ=73 AU 、v=500 km/s， α1=0.1和α2=0.2兩個(gè)值時(shí)的ML/M0來(lái)比較。

此時(shí)的特征值

可以看出在τ=8年，時(shí)間比較短的條件下，從0.1變化到0.2時(shí)，ML/M0從0.035變化到0.43達(dá)到12倍。影響是很大的，α對(duì)載荷比的作用很大。

若令τ=20年、Sτ仍為73 AU 、v=500 km/s，α1=0.1和α2=0.2時(shí)的兩個(gè)值時(shí)的ML/M0來(lái)比較，此時(shí)的特征值為

看出在τ = 20年時(shí)，α從0.1變化到0.2時(shí)，ML/M0從0.8變化到0.865，只變化約8%左右。

所以α的作用在任務(wù)時(shí)間長(zhǎng)的時(shí)候，其重要性降低。

2.4 關(guān)于任務(wù)時(shí)間

對(duì)于深遠(yuǎn)距離的任務(wù)，只有采用新型的推進(jìn)系統(tǒng)，否則難以在可以接受的時(shí)間內(nèi)完成任務(wù)。這個(gè)可接受的時(shí)間“IPM任務(wù)”中稱為“人的平均工作年限”（Mean Human Job Time，MHJT）。這個(gè)可接受是指一個(gè)人，而不是一個(gè)團(tuán)隊(duì)，從確定任務(wù)到完成任務(wù)（接收到第一批數(shù)據(jù)）的時(shí)間超出了領(lǐng)導(dǎo)這個(gè)項(xiàng)目主要專家的工作年齡，認(rèn)為是不可接受的，一般可以按20～30年以內(nèi)為好。

下面分析任務(wù)時(shí)間與α值和v的關(guān)系對(duì)深遠(yuǎn)空任務(wù)的影響，我們以Sτ為73 AU 到730 AU作為例子來(lái)研究。

在有載人的深遠(yuǎn)空任務(wù)中，必須要有較大的載荷比，為此目的，必須有比沖更高的推進(jìn)系統(tǒng)。

以Sτ=73 AU、v=50 km/s為例，分析任務(wù)時(shí)間τ與功率密度α的關(guān)系。

此時(shí)施圖林格解表達(dá)式為

令上式的ML/M0為任務(wù)需求，作為參數(shù)確定并取0.1值來(lái)分析。

將ML/M0=0.1代入上式式中只含α和τ兩個(gè)量，以為變量（量綱為kw/kg）迭代求解

在v=50 km/s時(shí)，因其比沖比較小，所以特征值L也比較小，為

從α=1～α=104，其L從。

而τ往往是10年左右，則L值在4×10-3～4×10-7，所以，在α＞1時(shí)L趨于極小量時(shí)特征表達(dá)式取飽和值E

即當(dāng)ML/M0=0.1時(shí)，其E的飽和值為0.255 8。

由J=E，知亦近似為常值，

τ的單位是“s”，的單位為“km”，則（年）vτ

ML/M0=0.1，v=50 km/s，α從1～104的范圍內(nèi)Sτ與τ的對(duì)應(yīng)關(guān)系，是將E=0.255 8代入，（年），也即Sτ與τ是線性關(guān)系，這就是因?yàn)榇藭r(shí)特征值L趨于極小。

相應(yīng)有

即在v=50 km/s，Sτ、ML/M0確定的情況下工作時(shí)間τ與α的相關(guān)性減弱，幾乎是一條直線。的相關(guān)性極大。

這是在v=50 km/s下的情況，如果比沖增加到350km/s時(shí)，情況是不一樣的，我們來(lái)討論這個(gè)情況。

當(dāng)v=350 km/s時(shí)，令ML/M0仍為0.1，Sτ仍為參數(shù)，設(shè)Sτ為730 AU （其規(guī)律與73 AU時(shí)相同），求任務(wù)時(shí)間τ與功率密度α的關(guān)系。α量綱為kw/kg。

此時(shí)截比

特征值

施圖林格解表達(dá)式為

令ML/M0的任務(wù)需求為0.1時(shí)，上式為

式中只含α和τ兩個(gè)量，以α為變量迭代求解τ。

表明當(dāng)α從0.1變化到1時(shí)，τ從29.3年降到16.44年。

當(dāng)α=10時(shí)，迭代有τ=13.73年，

當(dāng)α=100時(shí)，經(jīng)迭代得τ=13.346年

也即τ=13.35年。即是我們前面得到的結(jié)果，當(dāng)L≈0時(shí)，E為飽和值0.255 8。

所以其曲線是飽和的，但這個(gè)飽和值是在α＞100時(shí)。

上述解析過(guò)程說(shuō)明，當(dāng)比沖Isp較小時(shí)（如 50 km/s），任務(wù)時(shí)間τ與功率密度α的關(guān)系不大，幾乎是飽和的水平線。它與有效載荷比及任務(wù)距離相關(guān)。當(dāng)比沖Isp比較大時(shí)（如350 km/s），在α＜1的情況下，τ隨著α的增加而下降；在α＞1的情況下，τ與α的提高無(wú)甚大影響，也是一個(gè)飽和線。

2.5 關(guān)于推力系統(tǒng)的功率與比沖

從式（6）出發(fā)

在實(shí)際的系統(tǒng)中，ML/M0＜1是必然的，前面已經(jīng)交待過(guò)，且，即，這也是必然的。

在研究功率P與比沖v的關(guān)系時(shí)，將初始質(zhì)量M0作為參數(shù)，因功率，

代入式（6）中，

（可稱Q為特征參數(shù)，無(wú)量綱）

由J=E可以迭代求出Q，而特征參數(shù)Q里包含有功率P和比沖v，也即在τ和M0為參數(shù)條件下可以得到功率P與比沖v(Isp)的關(guān)系。

以Sτ=73 AU、τ=20年、M0=10 kg的任務(wù)作為一個(gè)例子來(lái)求解功率P與比沖v的關(guān)系。

首先求截比

（v的單位為km/s）

以v=500、300、150、50四點(diǎn)為變量求解其相應(yīng)的功率值

則當(dāng)M0=10 kg，τ=20年時(shí)有

將

代入，且以m/s為單位。則

v(500 km)2=(500)2×106m/s

有

當(dāng)M0變化時(shí)，因各參數(shù)皆沒(méi)變化，所以功率P與M0成正比增加。

若Sτ仍為73 AU， τ為8年時(shí)，

其截比

（v以km/s為單位）

仍將M0作為參數(shù)，計(jì)算P與v的關(guān)系。

令M0值為10 kg時(shí)

截比J=

將v=500、300、150及50 km/s代入，有

表1Table 1 The relationship between the intercept ratio J and the specific impulse v

表1Table 1 The relationship between the intercept ratio J and the specific impulse v

?vJ 項(xiàng)目0.59 01 0 3 10.38 05 0 5 2數(shù)據(jù)0.17 51 0 0 30.1 530 1 1

由式（11）

（此處v以m/s 為單位：計(jì)算P時(shí)v以m/s單位計(jì)算，即為(v×103)2=v2×106，所以P的單位是（w））

同樣由于P與M0成正比關(guān)系，所以隨M0的增加，P呈等比上升的趨勢(shì)。

下面討論一下Sτ為540 AU 、τ為24年時(shí)的情況（M0仍為10 kg）：

在τ=24年的任務(wù)要求時(shí)

說(shuō)明在比沖小于107 km/s，是無(wú)法到達(dá)任務(wù)距離的。所以在小于100 km/s以下，不應(yīng)有數(shù)據(jù)，也即這樣的條件下在24年內(nèi)是達(dá)不到的。

我們以τ=24年，M0=10 kg為參數(shù)，v仍取500、300、150及50 km/s為變量，此時(shí)的截比

（此處v以km/s為單位）

則有

出現(xiàn)J50＜0，不在任務(wù)可行范疇（截比小于0，任務(wù)被截止）。

（此處v以m/s為 單位，即v2表示為(v×103)2=v2×106）

有

同理它隨M0的增加量比例提高。

2.6 關(guān)于最終速度uτ與比沖的關(guān)系。

由式（5）可得

可知

這里面含有v、ML/M0、α、τ和uτ這5個(gè)變量，此處要求的是uτ與v之間的關(guān)系。

為此我們將α、τ作為參數(shù)，而將其Sτ、α、τ條件下的ML/M0作為中間待求量，則可得到在這些約束下的最終速度uτ與比沖v(Isp)的關(guān)系。

在這個(gè)例子中，特征值為

在Sτ任務(wù)距離要求下，由式（9）可以求出對(duì)應(yīng)的ML/M0。

當(dāng)v=150 km/s時(shí)

由式（9）對(duì)應(yīng)的ML/M0=0.31，代入式（14），得uτ=-150[ln(0.446 4+0.31)-ln(1+0.446 4)]=97.2 km/s，同樣的過(guò)程可得表2數(shù)據(jù)。

表2 式(14)中的UτTable 2 Uτ in formula (14)

由v=150 km/s到v=500 km/s比沖下的Sτ=73 AU、τ=8年、α=0.1 kw/kg約束的最終速度uτ曲線可參考文獻(xiàn)[1]中的圖4-3。我們從看到，當(dāng)v從50 km/s到100 km/s增加時(shí)，J從0.131變到0.566，變化幅度為0.44左右，但從200 km/s增加到500 km/s時(shí)，J從0.782變到0.913，其變化幅值僅為0.13，所以u(píng)τ在大于200 km/s之后變化幅值較慢，幾乎是一條直線。

再以τ=28年為例，Sτ仍為73 AU、 α仍為0.1 kw/kg，這時(shí)的特征值

當(dāng)v=50 km/s時(shí)

由式（9）對(duì)應(yīng)的ML/M0=0.58，代入式（14），

得uτ=-50[ln(0.014 17+0.58)-ln(1+0.014 17)]=26.73 km/s，按同樣的過(guò)程得到表3。

表3 式(14)中UτTable 3 Uτ in formula (14)

這個(gè)從50 km/s到500 km/s比沖下的Sτ=73 AU、τ=28年、α=0.1 kw/kg約束的最終速度uτ與v(Isp)的關(guān)系即為參考文獻(xiàn)1中的圖4-3的τ=28年的曲線。

這個(gè)最終速度的求解問(wèn)題在齊奧爾科夫斯基公式中已經(jīng)完整表達(dá)，這里只是經(jīng)過(guò)施圖林格對(duì)其中推進(jìn)系統(tǒng)裝置的功率密度定義后將變形為關(guān)于有效載荷比的施圖林格解的形式。

2.7 有關(guān)有效載荷比的歸一化解

為了繪制一個(gè)統(tǒng)一的圖，將uτ和v都用特征速度進(jìn)行歸一化處理，即，這種歸一化處理，并不改變ML/M0的值。

以v?為橫坐標(biāo)、以u(píng)?為參數(shù)、以載荷比ML/M0為縱坐標(biāo)，得到歸一化的表達(dá)式。

選取v?為0.01、0.02、0.05、0.2、1和10這6個(gè)點(diǎn)及u?=0.01、0.02、0.05、0.1的值求解ML/M0：

可以看出當(dāng)v?=1時(shí)ML/M0比和v?=0.2都要大，也即當(dāng)比沖v?接近特征速度時(shí)，其載荷比近為極大值。

按同樣的過(guò)程，求得u?=0.02的載荷比的變化情況，見(jiàn)表4。

表4 式(15)中ML/M0Table 4 ML/M0 in formula (15)

也表明v?1時(shí)ML/M0出現(xiàn)極大值。

下面討論當(dāng)ML/M0趨于極小情況下的u?、v?關(guān)系。

因ML/M0取值在（1，0）之間，即不可能沒(méi)有有效載荷，也不可能全部都是有效載荷，即0＜ML/M0＜1。

為了繪制ML/M0與v?的關(guān)系圖，我們可以將小于0.04作為ML/M0的最小邊值來(lái)考慮。

當(dāng)u?=0.05，v?=0.015時(shí)

同樣可求u?為各值下v?值見(jiàn)表5。

在v?＞1時(shí)，其ML/M0取下降趨勢(shì)，在這一段ML/M0＜0.04時(shí)的u?、v?的對(duì)應(yīng)關(guān)系計(jì)算如下當(dāng)u?=0.1，v?=9.9時(shí)

同樣可得到v?＞1情況下的相應(yīng)u?見(jiàn)表6。

表6 式(15)，ML/M0 ＜ 0.04、u＊ ＞ 1時(shí)，u＊與v＊關(guān)系Table 6 The relationship between u＊ and v＊， when ML/M0 ＜0.04, u＊ ＞ 1 in formula (15)

我們這樣一個(gè)點(diǎn)一個(gè)點(diǎn)的求取，就是為了說(shuō)明ML/M0存在一個(gè)極值點(diǎn)，在v?=1的兩旁有兩個(gè)使ML/M0近似趨向于零的v?值。

對(duì)于ML/M0在每個(gè)u條件下都有一個(gè)v使其達(dá)到最大值，而這個(gè)v近似等于發(fā)動(dòng)機(jī)的特征速度也即當(dāng)比沖vvc時(shí)其載荷比為最大值。這在上述的演算中得到了說(shuō)明。

在u?（uτ/vc）較大時(shí)，其極值表現(xiàn)得較為突出，即兩側(cè)的ML/M0與(ML/M0)max的差異比較明顯。在u?＞0.05之后，任務(wù)選擇時(shí)，對(duì)uτ和vc的組合值要慎重設(shè)計(jì)，否則會(huì)因u?越大而ML/M0變小，浪費(fèi)質(zhì)量。

此處，vc=Isp（近似值）取極大值是在上述具體數(shù)據(jù)下明顯反映出來(lái)的，但我們沒(méi)有給出解析式說(shuō)明，據(jù)“IPM”介紹，這個(gè)研究結(jié)果出現(xiàn)得比較早，但經(jīng)常被人們遺忘（this result is old and offen forgotten）。

2.8 關(guān)于ML=0時(shí)的極限速度

在最終速度u的表達(dá)式（14）中，其比沖是關(guān)鍵的參數(shù)，可以得到它的極值解析式=0。

將其結(jié)果推演如下，由式（14）可得

其中

將第二項(xiàng)移到等式另一端則有

此式即為u達(dá)到極值的條件，這個(gè)結(jié)果是Stuhlinger得到的。

將式（16）再代回到式（14），即將式（14）中

用式（16）的右端表達(dá)式表示，得到其umax的表達(dá)式為

umax是在α和τ作為參數(shù)，而不是作為變量的條件下求得的。

將ML/M0從式（17）中重整有

即

以上表述的就是在最終速度達(dá)到umax的時(shí)候，發(fā)動(dòng)機(jī)參數(shù)α、比沖v和工作時(shí)間τ下的ML/M0的值，即任務(wù)的載荷比能力。

對(duì)于極端情況，當(dāng)有效載荷為零的時(shí)候，它的最終速度將是個(gè)什么情況，也即最極限的狀態(tài)下，ML=0。

這時(shí)由式（5）

我們?nèi)詫?duì)其求導(dǎo)得到極值速度uτmax，

如果umax用表示時(shí)（也即比沖是特征速度的0.505倍，使u達(dá)到極值時(shí)的速度）。

所以u(píng)τmax=1.60v是載荷比為0時(shí)的極限速度。

上述討論的是當(dāng)ML→0時(shí)的情況，由M0=Mw+ML+Mρ，當(dāng)ML→0時(shí)M0=Mw+Mρ。

這個(gè)狀態(tài)的物理描述，就是有效載荷ML已經(jīng)不單獨(dú)存在于Mw和Mρ之外。而是納入到之中，也可以說(shuō)ML不再與Mw分離，它成為動(dòng)力系統(tǒng)的一部分，它的質(zhì)量已納入到Mw之中，并反映在發(fā)動(dòng)機(jī)的功率密度α參數(shù)表達(dá)里。

這個(gè)解釋，用質(zhì)量定義的表達(dá)里就是

至此得到了如下關(guān)系：

當(dāng)ML→0時(shí)，有Me=Mw，此時(shí)的終速最大值uτmax=1.60v（1.6倍比沖）。

將u=1.60v代入有

上述質(zhì)量關(guān)系是從ML→0時(shí)取得的，但其結(jié)果是極具價(jià)值的，反過(guò)來(lái)討論，也即在Mρ=0.8M0，或推進(jìn)劑是干重的4倍左右時(shí)火箭的最終速度取極值，其速度可到1.60倍比沖，而此時(shí)的比沖值為0.505倍的特征速度。

在uτmax=1.60v中，v是表達(dá)在之中的，

其Mρ/MW已經(jīng)上面的運(yùn)算得到近似為

而在前面式（18）中

將ML→0代入

這兩種方法得到的解中，以1.131 3為精確解，因式（18）是在時(shí)得到的，所以1.33則為近似解，相差近17%。

上述結(jié)論是圖林格施在1964年給出去的，我感覺(jué)他不但給出了結(jié)論，而且貢獻(xiàn)了方法。這點(diǎn)對(duì)我們的啟發(fā)則更大，這也是我們“工程方法”論研究值得關(guān)注的地方。

當(dāng)將ML的質(zhì)量納入總干重里時(shí)，如果任務(wù)要求的ML已經(jīng)確定下來(lái)，則要在其它的干重質(zhì)量上減重，如果發(fā)動(dòng)機(jī)的MW項(xiàng)或火箭其它的質(zhì)量降不下來(lái)，則ML就難以實(shí)現(xiàn)了。這是在工程權(quán)衡中值得重視的地方。

在齊奧爾科夫斯基公式或施圖林格的變形表達(dá)式中，其最終速度uτ只與推進(jìn)系統(tǒng)的質(zhì)量相關(guān)，所以其它一切概念的引入實(shí)質(zhì)上都是質(zhì)量關(guān)系的變形。

也即(V?)2的物理定義是推進(jìn)系統(tǒng)干重與推進(jìn)劑質(zhì)量之比的物理量。

當(dāng)v?增加時(shí)，表明的相對(duì)量在增加，而推進(jìn)劑Mρ的量相對(duì)在減少，所以在獲得一定的速度uτ下其載荷比要下降。這點(diǎn)在前面分析的趨勢(shì)中v?＞1之后的下降段可以明確地看到。

一個(gè)發(fā)動(dòng)機(jī)的α值和τ是相關(guān)的，也即它與任務(wù)時(shí)間要求相關(guān)，這點(diǎn)我們要進(jìn)一步討論。

我們驗(yàn)證一下ν?=1、u?=0.2時(shí)的載荷比ML/M0為0.637（參見(jiàn)式（15））。因?yàn)槲覀兯v的v?為，則通過(guò)施圖林格的解得到的和通過(guò)齊氏公式得到的結(jié)果必然是一致的。

∴u?=0.2

這兩者的結(jié)果是相同的。

3 深空探測(cè)的軌道轉(zhuǎn)移方式

行星際飛行的基本條件是飛出地球，然后才能討論飛往其它行星。所謂飛出地球，從動(dòng)力學(xué)而言，就是地球的引力勢(shì)已經(jīng)近乎為零。

當(dāng)飛行器的主動(dòng)力工作結(jié)束，它只受空間某個(gè)主星體作用時(shí)，其“推引比ρ”為零，ρ≡a(t)/g(R(t))。

其中，a(t)表示非引力作用引起的加速度，在光帆作為推力器時(shí)它就是光壓產(chǎn)生的加速度，此時(shí)也稱ρ為“壓引比”（Lightness Number），在IPM任務(wù)的中譯本中稱為“明度”。

g(R(t))是空間中存在的星體對(duì)飛行器產(chǎn)生的引力加速度。

所以我將其形象地稱為推力和引力之比。在只有g(shù)(R(t))的作用下，它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律完全附合我們?cè)诘厍蛞?chǎng)中所研究的結(jié)果：

式中ri、 θ為軌道極坐標(biāo)參數(shù)的矢徑和近點(diǎn)角；μ為主星的引力常數(shù)；rp、e是軌道的形狀、近拱點(diǎn)和偏心率；h為角動(dòng)量（E為“比機(jī)械能”，即單位質(zhì)量具有的能量）。

因能量是守恒的，在軌道動(dòng)力學(xué)分析時(shí)，往往選擇特征點(diǎn)（如rp、ra兩點(diǎn)）來(lái)分析是方便的。

這個(gè)表達(dá)式對(duì)任何主星情況下都是適用的，只是改變其引力常數(shù)μ。

當(dāng)e=1時(shí)，能量E=0

ri、Vi都隨著θ角的變化而改變著，而（1+ecosθ）項(xiàng)將從“2”變?yōu)椤?”，其r將趨于無(wú)窮，軌道是隨著θ的增加而越來(lái)越遠(yuǎn)的拋物線。

由E=0有

這個(gè)近地點(diǎn)的速度Vp就是r可以趨于無(wú)窮的軌道速度，在深空探測(cè)中它可以完成向遠(yuǎn)程空間輸送航天器脫離主星引力的基本任務(wù)。但由于此時(shí)的能量已經(jīng)為零，所以它沒(méi)有剩余能量飛向深遠(yuǎn)太空，我們稱這個(gè)速度為逃逸速度。對(duì)深遠(yuǎn)太空而言它可以完成逃逸任務(wù)。

在e＞1時(shí)，能量E＞0

所以，不會(huì)出現(xiàn)θ=180°的狀態(tài)，這是一條開(kāi)放的雙曲線。在直角坐標(biāo)系描述下，此點(diǎn)是以縱軸為對(duì)稱的一實(shí)一虛兩條對(duì)稱曲線，其中一條是不實(shí)現(xiàn)的，只是實(shí)軌道的一個(gè)影像。但在計(jì)算雙曲線的半長(zhǎng)軸時(shí)，我們還要用到這個(gè)概念（虛的遠(yuǎn)地點(diǎn)）。講到這里我想加一句文外之話，在軌道動(dòng)力學(xué)的研究中，其軌道的幾何特征表現(xiàn)得很充分且有神來(lái)之意，所以我曾講過(guò)，我們應(yīng)當(dāng)有一章專門(mén)講講“軌道的幾何學(xué)”。

雙曲線的奇點(diǎn)出現(xiàn)在(1+ecosθ)=0處，這時(shí)的θ=arccos(-1/e)，記作θ∞，它是在r→∞時(shí)的近點(diǎn)角。

由于θ是在0°～180°之間，所以有在雙曲線幾何里稱θ∞為漸近線近點(diǎn)角，也稱δ=2θ∞-180°為兩漸近線的轉(zhuǎn)向角。

因E＞0，航天器的總能量大于主星引力勢(shì)且有剩余能量，靠其剩余能量可以飛向更深遠(yuǎn)的空間，但前提是g(R(t))不對(duì)其影響，而對(duì)于太陽(yáng)系行星際飛行，其太陽(yáng)的g(R(t))是存在的。

雙曲線軌道下的總能量

我們?nèi)匝赜胷a、rp這兩個(gè)特殊點(diǎn)來(lái)計(jì)算其能量，

雙曲線幾何學(xué)的半長(zhǎng)軸a有

即

當(dāng)r→∞時(shí)

v∞稱為雙曲線軌道下的剩余速度，v∞表示E，

將E和V逃逸代入（20）式，有

即

這個(gè)關(guān)系是雙曲線軌道下任何一點(diǎn)都滿足的，是一個(gè)比能量的關(guān)系（消去了質(zhì)量項(xiàng)）。它表明雙曲線軌道的總能量包括兩部分：一個(gè)是超出主星中心引力逃逸所需的能量v逃逸2及超出這個(gè)逃逸能量的剩余部分。對(duì)于每個(gè)任務(wù)的不同，形成的雙曲線的形狀不同（即半長(zhǎng)軸a），v∞是不同的。稱v∞2為特征能量，它只與主星的引力常數(shù)μ和軌道半長(zhǎng)軸有關(guān)，記為C3（）。

因?yàn)镃3是逃逸后剩余的能量，所以要由深空探測(cè)任務(wù)給出特征值C3的需求，并在工程實(shí)踐中要有充分的運(yùn)載能力來(lái)保證，C3(運(yùn)載)＞C3(任務(wù))。

C3的形成是運(yùn)載火箭所賦予的，從工程角度說(shuō)它是任務(wù)所需求的。式（21）表明C3的大小可以從軌道的幾何表達(dá)里唯一確定（即半長(zhǎng)軸a）。

在當(dāng)今的深空探測(cè)工程中，仍然是以化學(xué)推進(jìn)系統(tǒng)產(chǎn)生巨大的推力將航天器送入逃逸軌道（對(duì)地球而言就是雙曲線軌道），然后由航天器上的動(dòng)力系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)星體的速度增量。如果我們有足夠推力的運(yùn)載火箭，可以實(shí)現(xiàn)C3(火箭)≥C3(任務(wù)需求)的條件下，則可以大大減少航天器本身的推力系統(tǒng)的壓力。

以火星探測(cè)軌道需求，火箭提供給航天器的能量應(yīng)滿足

例如，對(duì)某一次具體的任務(wù)，若入軌時(shí)火箭提供的速度為11.473 km/s，

即運(yùn)載火箭能夠給探火星航天器的特征能量是

但對(duì)于深遠(yuǎn)空探測(cè)任務(wù)而言，只利用大推力火箭實(shí)現(xiàn)需求速度往往是難以辦到的，因?yàn)樗谋葲_難以得到足夠的大。而施圖林格的連續(xù)推力系統(tǒng)是加速度積分的機(jī)理，它是在任務(wù)時(shí)間（MHJT）內(nèi)完成目標(biāo)的較為有希望的方案。

從已經(jīng)實(shí)現(xiàn)的人類(lèi)探測(cè)太陽(yáng)系行星的工程來(lái)看，還沒(méi)有實(shí)現(xiàn)在MHJT的理想時(shí)間內(nèi)完成所關(guān)心的深遠(yuǎn)目標(biāo)星的探測(cè)期望，飛行器還是需要幾十年的巡航時(shí)間過(guò)程。

以我們現(xiàn)在的火箭能力，如果在日地影響球邊緣處（距地92 500 km）使航天器具備C3，那它按這個(gè)速度奔向火星的話，它要在太陽(yáng)的引力勢(shì)內(nèi)飛行，所以C3仍然是進(jìn)入環(huán)繞太陽(yáng)的大橢圓路徑；如果火箭在日地影響球邊緣處使航天器具有逃逸太陽(yáng)的能量，則這時(shí)的剩余能量則可以直奔太陽(yáng)系邊緣而去，而不受太陽(yáng)引力勢(shì)的作用，那么這個(gè)速度應(yīng)當(dāng)是多少呢？

我們先計(jì)算在地面脫離地球的能量

在地表處地球自轉(zhuǎn)的牽連速度

要想脫離地球引力勢(shì)，其速度一定要大于（11.18～0.465）k m/s。在日地影響球半徑（rSOI=9.25×105km）時(shí)，地球引力勢(shì)和太陽(yáng)引力勢(shì)分別為

可見(jiàn)此時(shí)太陽(yáng)的作用是地球的2 000倍，所以此時(shí)只考慮太陽(yáng)的作用是合理的。

怎樣實(shí)現(xiàn)從原軌道向目標(biāo)星軌道的大橢圓轉(zhuǎn)移呢？

如果設(shè)定這個(gè)轉(zhuǎn)移時(shí)刻是準(zhǔn)確的，則在航天器飛行到目標(biāo)星的預(yù)測(cè)點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)星也正好到達(dá)該點(diǎn)，兩者交會(huì)。太陽(yáng)系內(nèi)各行星的運(yùn)動(dòng)規(guī)律我們已經(jīng)充分掌握，所以這個(gè)假定在工程上是可以實(shí)現(xiàn)的。但深空探測(cè)對(duì)空間飛行體的跟蹤與觀測(cè)要求要比近地空間活動(dòng)更高，在下面討論的轉(zhuǎn)移軌道問(wèn)題中，精確的外測(cè)保證是十分重要的條件。

當(dāng)航天器已經(jīng)脫離了地球的引力勢(shì)，我們的分析就只是太陽(yáng)和航天器的兩體問(wèn)題。若此時(shí)航天器的位置是A，目標(biāo)星的期望到達(dá)點(diǎn)是B。（也即是兩者交會(huì)點(diǎn)的期望值。）

我們的任務(wù)就是要構(gòu)建一個(gè)大橢圓軌道，使其成為霍曼軌道上的兩個(gè)點(diǎn)，且目標(biāo)星位置正是近點(diǎn)角為π的遠(yuǎn)地點(diǎn)B。（見(jiàn)圖1）

圖1 新構(gòu)建的大橢圓軌道Fig.1 The large elliptical transfer orbit

將新構(gòu)建的軌道參數(shù)寫(xiě)作rn、θn、hn、en，其拱線為目標(biāo)星的期望點(diǎn)B與主星中心的連線，已知的參數(shù)是θnA，rA、rB以及主星的引力常數(shù)μ。

從軌道方程

其中hn和en是兩個(gè)待求量

得到

將en代入rB式，有

得到en和hn就得到了這個(gè)新構(gòu)建的從A點(diǎn)到B點(diǎn)的一個(gè)大橢圓軌道。

這是從軌道的幾何關(guān)系里求得的，但這個(gè)軌道能否實(shí)現(xiàn)，要看工程上能不能使值達(dá)到這個(gè)能量需求。

A點(diǎn)的能量需要也即軌道的需求速度，A點(diǎn)的速度VA可以分解為對(duì)矢徑的徑向和垂向兩部分組成，

其中垂向

徑向Vnr是矢徑rn方向的速度，也即

則所需的速度矢量與航天器和主星中心的連線的夾角（稱為飛行路徑角）γ的正切值tanγ=Vr/V⊥，則

以上討論的就是在太陽(yáng)系的行星際探測(cè)中大橢圓轉(zhuǎn)移的方式。不論其初始軌道時(shí)的狀態(tài)為何，最終都要滿足我們分析的狀態(tài)。

工程實(shí)踐上就要在測(cè)控系統(tǒng)的支持下完成V⊥,Vr及飛行路徑角γ的實(shí)現(xiàn)。

針對(duì)連續(xù)推力的施圖林格方案，在g(R(t))的作用相對(duì)a(t)已經(jīng)很小時(shí)，比如在太陽(yáng)帆方案時(shí)，太陽(yáng)帆飛行器的質(zhì)量比較輕。

下面我們就連續(xù)推力的太陽(yáng)帆的有關(guān)問(wèn)題作為例子來(lái)討論。

太陽(yáng)光直射太陽(yáng)傘反射面時(shí)，它的平面功率密度為1368 w/m2（地表面處）

功率是力與速度之積，而光速是已知的，所以其地表處的太陽(yáng)光壓P可以表示為

其中：SO為太陽(yáng)輻射功率（1 368 w/m2）；c為光速（以3×105km/s計(jì)）。則地球表面的太陽(yáng)光壓為

我們講的“壓引比”，則是太陽(yáng)帆上的太陽(yáng)輻射壓力與太陽(yáng)帆所受太陽(yáng)引力的比值（The lightness number，which is the radio of solar radiation pressure force on the sail to solar gravilation force on the sail）。這個(gè)定義與“推力引力比”的概念是一樣的，如果不是太陽(yáng)帆，而是其它的推力系統(tǒng)，則這個(gè)比值則可統(tǒng)稱為“推引比”，即ρ=ac(t)/g(R(t))，其中ac=P/m，如果都以太陽(yáng)帆面積A作為衡量的基準(zhǔn)，則P是單位面積上分?jǐn)偟膭?dòng)力（P/A，單位是N/m2），而m則是單位面積的質(zhì)量，即有

其中：σsail為太陽(yáng)帆的面質(zhì)量密度；mPL為航天器有效載荷質(zhì)量；A為太陽(yáng)帆的面積。

在實(shí)際工程上還要考慮太陽(yáng)帆的反射率、為控制合理溫度而增加的太陽(yáng)帆結(jié)構(gòu)涂層的發(fā)射率等，還有太陽(yáng)光入射方向與太陽(yáng)帆法線的太陽(yáng)光壓角等因素要在q⊥上得到反映，即形成有效光壓Peff。在垂直入射時(shí)，

若Peff按2×4.56μN(yùn)/m2計(jì)算，

A為100 m2，σsail=10 g/m2，mPL=10 kg

則在地球附近可獲得的加速度為

如果仍保持太陽(yáng)帆的總質(zhì)量不變，而將σsail從10g/m2降到1g/m2。則因太陽(yáng)帆總質(zhì)量不變，所以其帆的面積將擴(kuò)大10倍；相應(yīng)的mPL/A將縮小10倍，其加速度將為

所以σsail是極其重要的技術(shù)參數(shù)。

在G.L.Matiloff的“Deep-Space Probes，2nded，中給出了另一種表達(dá)式[3]

其中：ρsail為太陽(yáng)帆對(duì)日光的發(fā)射率；S為單位時(shí)間照射到太陽(yáng)帆單位面積的太陽(yáng)能S=SO/r2，r為太陽(yáng)距地球表面距離r0與航天器距太陽(yáng)距離r之比，以AU為單位；c為光速；σs/c為壓引比。

在這個(gè)表達(dá)式中，光壓為(1+ρsail)S/c·r2，我們把加速度AS/C整理為兩部分

第一部分是自然參數(shù)，太陽(yáng)輻照S，光速c和距太陽(yáng)之距r；

第二部分是與太陽(yáng)帆航天器相關(guān)的物理參數(shù)，帆的反射率ρsail和航天器的帆面積的分?jǐn)傎|(zhì)量σs/c。

定義ηs/c(1+ρsail)/σs/c為“壓引比”，

（1+ρsail）項(xiàng)表示太陽(yáng)帆具有的光壓，而σs/c則表示是受到引力作用的質(zhì)量項(xiàng)。是光壓與引力之比，這也是將其稱為壓引比的原因。

如果我們將“外太陽(yáng)系”理解為仍在太陽(yáng)引力范疇，這里的行星體仍以太陽(yáng)為主星，環(huán)繞太陽(yáng)運(yùn)行。而不是指“太陽(yáng)系外”的其他星系。這就把“Outersolar System”和“Outer Space”分開(kāi)了。（但這點(diǎn)只供參考）

在20～30年的“MHJT”可承受時(shí)間內(nèi)要求到達(dá)200 AU處。則航天器的平均飛行速度不能小于7 AU/年，

逃逸太陽(yáng)的速度

因地球的公轉(zhuǎn)速度是可以利用的。

速度增量

對(duì)于一個(gè)脫離太陽(yáng)引力的航天器，首先要具備逃逸地球的能力，所以從地球出發(fā)的航天器應(yīng)具有的能力應(yīng)為

這就是從地球表面出發(fā)脫離太陽(yáng)引力的第三宇宙速度。

這對(duì)目前的火箭能力而言是難以實(shí)現(xiàn)的。

美國(guó)新地平線實(shí)現(xiàn)的C3?160 km2/s2，它要奔赴100 AU處需37年以上。

即使我們采用太陽(yáng)帆或利用太陽(yáng)能的電推進(jìn)系統(tǒng)，都會(huì)因?yàn)殡S著飛離太陽(yáng)的距離增加而衰減。這也給航天器攜帶高比沖的連續(xù)推力系統(tǒng)方案加了權(quán)。還有一個(gè)問(wèn)題是，如果有對(duì)目標(biāo)星體的環(huán)繞探測(cè)或駐留特殊點(diǎn)的探測(cè)要求時(shí)，一定要具備航天器的制動(dòng)能力。我們?cè)谇懊嬗嘘P(guān)連續(xù)推力過(guò)程中沒(méi)有涉及制動(dòng)階段（Braking Stage）的問(wèn)題。

在太陽(yáng)帆技術(shù)的研制方面，我認(rèn)為材料的研制是關(guān)鍵，特別是帆載荷σ，這是個(gè)關(guān)鍵參數(shù)。

以石墨烯的應(yīng)用為例，其面質(zhì)量密度是有希望達(dá)到1 g/m2的。碳原子間距約為0.14 nm ，所以在1m2的面積內(nèi)，可布有51×1018個(gè)碳原子（1m2/(0.14×10-9)2m2）；

原子質(zhì)量單位1u?1.66×10-27kg=1.66×10-24g

碳原子為12個(gè)原子質(zhì)量單位，則1 m2的質(zhì)量為51×1018×12×1.66×10-24g/m21mg/m2，如果能采用這個(gè)輕質(zhì)材料的資源，根據(jù)太陽(yáng)帆工作狀態(tài)下的熱量、剛度、展開(kāi)強(qiáng)度等工程要求而增加其它的聚合物，是可以在1g/m2的指標(biāo)下，有所作為的。

NASA在1999年提出的星際探測(cè)方案中，質(zhì)量只有幾百千克，其中有效載荷25 kg，太陽(yáng)帆直徑400 m。初始橢圓軌道近日點(diǎn)0.25～0.3 AU，航天器在此處展開(kāi)太陽(yáng)帆，借助近太陽(yáng)的輻射壓，此處是地球（1 AU）處的16～11倍。報(bào)告稱，它可以讓航天器在大約20年內(nèi)到達(dá)太陽(yáng)風(fēng)層頂（200 AU處）。

以上說(shuō)明的是連續(xù)推力系統(tǒng)的深空探測(cè)問(wèn)題。還有一種方案是選擇相應(yīng)的機(jī)會(huì)，利用空間天體的g(R(t))做動(dòng)力，這種方式被稱為行星際探測(cè)的借力飛行問(wèn)題。

就其深空探測(cè)的軌道實(shí)現(xiàn)而言大致包括3種可采用的方式：連續(xù)推力系統(tǒng)，脈沖推力的大橢圓轉(zhuǎn)移和空間的借力飛行。

關(guān)于連續(xù)推力系統(tǒng)中受到重視的是太陽(yáng)帆離子推子和核動(dòng)力，有關(guān)這些方面的技術(shù)研究要引起關(guān)注。

后 記

施圖林格提出實(shí)現(xiàn)太空船的電力推動(dòng)問(wèn)題可能是在二戰(zhàn)期間，但他在《離子推進(jìn)的空間飛行》一書(shū)中所引用的文章《Possibilities of Electrical Space Ship Propulsion》是在1954年發(fā)表，不知他是否還有更早時(shí)間發(fā)表的文章中談及電力推進(jìn)的概念。

我得到IPM（Interstellar Precursor Mission）是在2013年IAA會(huì)議上，由中國(guó)宇航出版社出版，主編是（美）Claudio Bruno及（美）Gregory Mattoff，中譯本譯者是陳杰、殷前根先生。

看過(guò)之后，啟發(fā)諸多，總想把其中的幾個(gè)重要的概念性東西（比如施圖林格精確解的推導(dǎo)；精確解中應(yīng)當(dāng)單獨(dú)提出來(lái)的幾個(gè)概念；太陽(yáng)帆的壓引比及最終速度uτ的分析等）解析一下，今天算初步做了一點(diǎn)討論。

為了能得到施圖林格的原著《Ion Propulsion for Space Flight》全文，我請(qǐng)國(guó)家國(guó)防科工局科技與質(zhì)量司及中國(guó)航天科技集團(tuán)有限公司系統(tǒng)研究院的同志幫忙，他們費(fèi)了不少功夫，總算找到，并復(fù)印給我。據(jù)說(shuō)原本已經(jīng)很陳舊，共373頁(yè)，署名ERNST STUHLINGER（George C.Marshall Space Flight Center National Aeronalics and Space Administration）。在這里感謝同志們的幫助，使我看到了原著，也讓我思考了不少東西。特別是施圖林格從齊奧爾科夫斯基公式中提出“功率密度”，并展開(kāi)一系列推演的思路，是具有科技方法論意義的。

我希望在研究深空探測(cè)的推力系統(tǒng)和工程的實(shí)施方案時(shí)能關(guān)注施圖林格的方法和成果，并能有所創(chuàng)新和發(fā)展。

附錄：

在施圖林格的原著和IPM的任務(wù)中有若干圖表，這些圖表的形成我用“計(jì)算任務(wù)書(shū)”的形式表達(dá)如下，供有興趣者參考。

（任務(wù)書(shū)1）：求有效載荷比與比沖的關(guān)系

以ML/M0為縱軸（最小值0，最大值1.0，分格間隔0.2），logv?為橫軸（v最小值0.01、最大值為10，分格按步長(zhǎng)0.01），以u(píng)τ?為參數(shù)，計(jì)算=或=(1+v?)e-uτ?/v?-v?2。

uτ?分別為0.01，0.02，0.05，0.1，0.2，0.3，0.5，0.6，0.7，0.8，0.81時(shí),v?=0.01～10，步長(zhǎng)0.01，計(jì)算ML/M0并對(duì)每個(gè)uτ?下的數(shù)據(jù)連成曲線。（得到文獻(xiàn)1之圖4-1）

（任務(wù)書(shū)2）：

任務(wù)距離Sτ=73 AU

以ML/M0為縱軸（最大值為1.0，分格間隔0.1），為橫軸（最小值50 km/s，最大值500 km/s，分格間隔50 km/s），

以α=0.1×10-3km2/s3為固定參數(shù)，24×0.315×108s ，28×0.315×108s 條件下，變量v由50～100km/s，步長(zhǎng)50 km/s的，J=1-，

求解：

得到ML/M0，按每一τ值下的ML/M0連成一條曲線。

（得到文獻(xiàn)1之圖4-2）。

（任務(wù)書(shū)3）：

任務(wù)距離Sτ=73 AU

以ML/M0為縱軸（最小值0.3，最大值為1.0，分格間隔0.1），v為橫軸（最小值50 km/s，最大值500 km/s，分格間隔50 km/s），

與任務(wù)書(shū)2相同，將τ=20×0.315×108s作為固定參數(shù)，在α分別為0.1 kw/kg （0.1×10-3km2/s2）、0.2 kw/kg 、0.3 kw/kg 、0.4 kw/kg作為參數(shù)條件下，以v為變量，v從50～500 km/s、步長(zhǎng)50 km/s，

求解：

得到ML/M0，按每一α值下的ML/M0連成一條曲線。

（得到文獻(xiàn)1之圖4-5）。

（任務(wù)書(shū)4）：

任務(wù)距離Sτ=540 AU

以ML/M0為縱軸（最小值0，最大值為0.3，分格間隔0.05），v為橫軸（最小值50 km/s，最大值500 km/s，分格間隔50 km/s），

以α=0.1×10-3km2/s3為固定參數(shù)，

在τ=22×0.315×108s 、24×0.315×108s 、28×0.315×108s情況下，以v為變量，v從50～500 km/s、步長(zhǎng)50 km/s，計(jì)算施圖林格通用精確解，

求解：

解出相應(yīng)ML/M0，按每一τ值下的ML/M0連成一條曲線。

（得到文獻(xiàn)1之圖4-6）。

（任務(wù)書(shū)5）：

任務(wù)距離Sτ=540 AU

以ML/M0為縱軸（最小值0，最大值為0.6，分格間隔0.1），v為橫軸（最小值50 km/s，最大值500 km/s，分格間隔50 km/s），

以τ=24×0.315×108s 為固定參數(shù)，在α=0.1×10-3km2/s2、、0.2×10-3km2/s2、0.3×10-3km2/s2、0.4×10-3km2/s2情況下，以v為變量，v從50～500 km/s、步長(zhǎng)50 km/s，求解施圖林格通用精確解：

解出相應(yīng)ML/M0，按每一α值下的ML/M0連成一條曲線。

（得到文獻(xiàn)1之圖4-7）。

（任務(wù)書(shū)6）：任務(wù)時(shí)間τ（年）與功率密度α的關(guān)系

Sτ分別為73、100、540、730 AU，

τ以年計(jì)，v以km/s計(jì)，時(shí)

計(jì)算施圖林格通用精確解：

求解L，因J、L中含有ML/M0、α、τ、v、Sτ五個(gè)參數(shù)，此題可以按4種組合分別計(jì)算。

1）v=50 km/s，ML/M0=0.1，

Sτ分別取73、100、540、730 AU，

求τ與α的關(guān)系。

施圖林格解：

令α依次取0.1、1、10、100、1 000、10 000，可得到相應(yīng)的τ。

以τ為縱坐標(biāo)（最小值0，最大值為100，分格間隔20），以log?=為橫坐標(biāo)作圖（最小值0.1，最大值為10 000，分格間隔log?=1，即從-1～4）。

變換Sτ則得到另一條關(guān)系線。

此圖有對(duì)應(yīng)Sτ的4條關(guān)系線。

該圖即為文獻(xiàn)1之圖4-8。

2）v=50 km/s，ML/M0=0.6，

其余過(guò)程同1。

作圖：其縱軸τ最小值為0，最大值為320，分格間隔40；α最小值為0.1，最大值為10 000，分格間隔log?=1。

得到的關(guān)系即為文獻(xiàn)1之圖4-9。

3）v=350 km/s，ML/M0=0.1，

其余過(guò)程同1。

作圖：縱軸最小值0，最大值40，分格間隔10；橫軸最小值0.1，最大值為10 000，分格間隔

log?=1。

得到的關(guān)系即為文獻(xiàn)1之圖4-10。

4）v=350 km/s，ML/M0=0.6，

其余過(guò)程同1。

作圖：τ縱軸最小值為0，最大值為70，分格間隔10；α橫軸最小值為0.1，最大值為10 000，

分格間隔log?=1。

得到的關(guān)系即為文獻(xiàn)1之圖4-11。

（任務(wù)書(shū)7）：求解功率P與比沖v的關(guān)系

求解步驟如下：

1）首先求截比J

在τ=20年、Sτ=73 AU任務(wù)條件下，

令vi=50 km/s～500 km/s、步長(zhǎng)50 km/s，

則J是一個(gè)簡(jiǎn)單的計(jì)算，可得下表：

求解Qi

3）由

4）以M0分別為10、100、1 000、10 000及100 000 kg計(jì)算相應(yīng)的Pi，（M0，vi，Qi已取值）

5）以logP為縱軸，以v為橫軸，畫(huà)出P與v的關(guān)系

作圖：縱軸logP的最小值為1，最大值為7，（即1.E+0.1～1.E+0.7），橫軸v最小值50km/s，

最大值500 km/s，步長(zhǎng)50 km/s），

則得到文獻(xiàn)1之圖4-12。

6）以Sτ=73 AU、τ=8年任務(wù)條件下重復(fù)上述（1～5）

步驟，作圖的各坐標(biāo)標(biāo)度與上面相同。

得到文獻(xiàn)1之圖4-13。

7）以Sτ=540 AU 、τ=24年任務(wù)條件下重復(fù)上述（1～5）

步驟，作圖的各坐標(biāo)標(biāo)度與上面相同。

得到文獻(xiàn)1之圖4-14。