黃小平，鄭梅生

(南京林業(yè)大學(xué) 機(jī)械電子工程學(xué)院，江蘇 南京 210037)

0 引言

為了滿足實(shí)際應(yīng)用的某些特定要求和具備優(yōu)良性能，同時(shí)考慮到便于加工和檢測(cè)、提高制造和測(cè)量的精度、減少成本、避免依賴高檔高精度加工設(shè)備等方面，工程中廣泛采用一類廓線形狀簡單的平面盤形凸輪(以下簡稱為簡單廓線凸輪)，其廓線是圓弧、直線、漸開線、橢圓、阿基米德螺線、對(duì)數(shù)螺旋等曲線或它們的組合[1～11]。其中，圓盤凸輪(又稱單圓弧盤形凸輪[12])的廓線是圓，形狀最簡單，制造和測(cè)量最容易。充分研究簡單廓線凸輪機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)和動(dòng)力特性，確定其適用場(chǎng)合，促進(jìn)其更多應(yīng)用，具有顯著的學(xué)術(shù)意義和經(jīng)濟(jì)價(jià)值。

眾所周知，從動(dòng)件的運(yùn)動(dòng)規(guī)律與凸輪的理論廓線(以下簡稱為凸輪廓線)相對(duì)應(yīng)。凸輪廓線種類不同，則從動(dòng)件運(yùn)動(dòng)規(guī)律種類不同，從動(dòng)件的速度最值、加速度最值、躍度最值和作用于凸輪上的阻力矩最值等隨之不同，從而凸輪機(jī)構(gòu)的工作性能不同。這些最值若以無量綱形式表示，即為從動(dòng)件運(yùn)動(dòng)規(guī)律的特性值[13-14](以下簡稱為特性值)。這些特性值從不同角度反映從動(dòng)件運(yùn)動(dòng)規(guī)律(凸輪廓線種類)對(duì)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)性能的影響，和壓力角、機(jī)械效率一起，構(gòu)成機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)性能的多種評(píng)價(jià)指標(biāo)，其數(shù)值大小是確定各種運(yùn)動(dòng)規(guī)律(凸輪廓線)適用于什么工作場(chǎng)合(低、中、高速度，輕、中、重載荷)的主要依據(jù)[13-15]。文獻(xiàn)[13-15]給出了常用運(yùn)動(dòng)規(guī)律，例如等速、等加速、等減速、簡諧等運(yùn)動(dòng)規(guī)律的特性值。而簡單廓線凸輪的特性值研究，經(jīng)國內(nèi)外資料檢索，幾乎還未開展，僅見有文獻(xiàn)[12]針對(duì)對(duì)心直動(dòng)從動(dòng)件圓盤凸輪的涉及從動(dòng)件位移1、2階導(dǎo)數(shù)的近似分析和近似數(shù)據(jù)，因而這一大類凸輪機(jī)構(gòu)還沒像人們所熟知的采用各種常用運(yùn)動(dòng)規(guī)律的一大類凸輪機(jī)構(gòu)那樣，能從特性值方面進(jìn)行動(dòng)力學(xué)性能的評(píng)判，而確定其最適用場(chǎng)合。此外在現(xiàn)有文獻(xiàn)中，有關(guān)圓盤凸輪機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)方法的內(nèi)容也很少見到，這將影響該種機(jī)構(gòu)的良好設(shè)計(jì)和應(yīng)用。

作為改變此現(xiàn)狀的初步探索，本文研究尖底(或滾子)擺動(dòng)從動(dòng)件圓盤凸輪的運(yùn)動(dòng)學(xué)、壓力角、上述4個(gè)主要特性值以及設(shè)計(jì)方法，為豐富其設(shè)計(jì)校核和性能評(píng)價(jià)提供理論依據(jù)。

將滾子從動(dòng)件的滾子中心視為尖底從動(dòng)件的尖底，則滾子從動(dòng)件的凸輪機(jī)構(gòu)即成為尖底從動(dòng)件的凸輪機(jī)構(gòu)，因此文中僅研究后者。

1 機(jī)構(gòu)的構(gòu)形、坐標(biāo)系及參數(shù)定義

將不同的圓盤凸輪轉(zhuǎn)向(順時(shí)針或反時(shí)針方向)與尖底擺動(dòng)從動(dòng)件相對(duì)于圓盤凸輪的不同初始位置進(jìn)行組合，可形成該機(jī)構(gòu)的多種情況。通過將機(jī)構(gòu)整體在其所在平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)某一角度、繞水平軸或豎直軸作180翻轉(zhuǎn)等變換，總可歸結(jié)為凸輪順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)且從動(dòng)件初始位置A0B0在機(jī)架OA0的上方(圖1(a))或下方(圖1(b))這兩種情形。

圖1 尖底擺動(dòng)從動(dòng)件圓盤凸輪

圖1中建立固聯(lián)于圓盤凸輪的右手直角坐標(biāo)系Oxy，取原點(diǎn)O在凸輪軸心處，坐標(biāo)軸x通過點(diǎn)O和凸輪圓心C，點(diǎn)C到O的方向?yàn)檩Sx的正向，軸x繞點(diǎn)O反時(shí)針轉(zhuǎn)過90得坐標(biāo)軸y。

設(shè)凸輪是原動(dòng)件，順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)角為φ，推程開始時(shí)φ= 0，角速度ω為常數(shù)，其廓線半徑、偏心距(點(diǎn)C和O的距離)為r、b，廓線的最小向徑(即基圓半徑)、最大向徑為r0、rΦ，推程運(yùn)動(dòng)角、回程運(yùn)動(dòng)角為Φ、Φ'，廓線上的任意點(diǎn)B的直角坐標(biāo)為(x, y)。

設(shè)從動(dòng)件的長度、轉(zhuǎn)角、初位角、角行程為c、ψ、ψ0、ψx(即ψ的最大值ψmax)，角速度、角加速度、角躍度、角跳度為γ、λ、σ、β。

設(shè)機(jī)架的長度、初位角為a、φ0。

采用反轉(zhuǎn)法研究機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)，即給整個(gè)機(jī)構(gòu)一個(gè)繞點(diǎn)O且角速度為(-ω)的反轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，于是凸輪固定不動(dòng)，從動(dòng)件AB在跟隨機(jī)架OA反轉(zhuǎn)(這時(shí)機(jī)架相對(duì)凸輪轉(zhuǎn)過的角度即為原來凸輪相對(duì)機(jī)架轉(zhuǎn)過的角度φ)的同時(shí)，還相對(duì)機(jī)架以原來運(yùn)動(dòng)規(guī)律ψ= ψ(φ)運(yùn)動(dòng)。

簡記角φ的三角函數(shù)sinφ、cosφ為sφ、cφ(其他角的三角函數(shù)也這樣簡記)，反三角函數(shù)arccos、arctan為c-1、t-1。

對(duì)φ的1、2、3、4階導(dǎo)數(shù)d/dφ、d2/dφ2、d3/dφ3、d4/dφ4簡記為上標(biāo)9、、、。

2 尺寸常數(shù)

由圖1的△OA0B0、△OAΦBΦ和余弦定理有：

(1)

其中：b>0，a>0，c>0，r>0。

眾所周知，機(jī)構(gòu)各構(gòu)件轉(zhuǎn)角之間關(guān)系只取決于各構(gòu)件相對(duì)長度。引入長度比例系數(shù)mb(稱為凸輪偏心率)、ma和mc：

(2)

則：

(3)

其中：mb>0，ma>0，mc>0。

顯然，機(jī)構(gòu)全部尺寸常數(shù)中4個(gè)獨(dú)立(例如r、b、a、c)，已知任意4個(gè)尺寸常數(shù)，可由式(1)-式(3)求出其他尺寸常數(shù)。

3 凸輪廓線方程

記φ= φ-φ0(圖1(a))，φ=φ+φ0(圖1(b))，ψ= ψ+ ψ0(圖1)，則：

φ=φ?φ0ψ=ψ+ψ0φ′=1ψ′=ψ′(ψ?φ)′=ψ′?1

(4)

式(4)中的第1和第5式的“?”號(hào)，其上方符號(hào)對(duì)應(yīng)圖1(a)機(jī)構(gòu)、下方符號(hào)對(duì)應(yīng)圖1(b)機(jī)構(gòu)，下同，不再贅述，但特別指出的除外。

在圖1四邊形OABC中，矢量a、c與x軸正向的夾角為φ、φ-ψ(圖1(a))或φ+ψ(圖1(b))。將矢量OB= a- c在x、y軸上投影，有x= acφ- ccφ±ψ，y= asφ- csφ±ψ，注意到φ?ψ=?(ψ?φ)，得凸輪廓線方程：

(5)

4 行程速比系數(shù)和從動(dòng)件運(yùn)動(dòng)規(guī)律

顯然，圓盤凸輪機(jī)構(gòu)中從動(dòng)件運(yùn)動(dòng)為“升-降”型，無休止(停留)階段。

凸輪是原動(dòng)件，故機(jī)構(gòu)的行程速比系數(shù)K=從動(dòng)件慢行程凸輪運(yùn)動(dòng)角/從動(dòng)件快行程凸輪運(yùn)動(dòng)角。因Φ9= 2π- Φ，故若Φ<180，則從動(dòng)件的推程是快行程，回程是慢行程，K= Φ9 /Φ= 2π/Φ- 1；若Φ>180，則從動(dòng)件的推程是慢行程，回程是快行程，K=Φ/Φ9=1/(2π/Φ-1)。

將圖1的四邊形OABC中的矢量等式r= b+ a- c的兩邊作自身的點(diǎn)積(數(shù)量積)有：rr= bb+ aa+ cc+ 2(ba- bc- ac)，即r2= b2+ a2+ c2+ 2(bacφ- bccφ?ψ- accψ)，[(b2+ a2+ c2- r2)/ 2+ bacφ] /c= acψ+ bcψ?φ，

[(mb2+ ma2+ mc2- 1)/2+ mbmacφ]/mc= macψ+mbcψ?φ= macψ+ mb(cφcψsφsψ)

(a)

記：

(6)

則：

Dsψ+ Ecψ= F，

(7)

從文獻(xiàn)[13-14]知：

(8)

記P= sψ/mb，Q= sψ?φ/ma，R= sφ/mc，則：

P9= cψψ9/mb，P"= (cψψ- sψψ92)/mb，P= (cψψ- 3sψψ9ψ- cψψ93)/mb，

Q9= cψ?φ(ψ9?1)/ma，Q"= [cψ?φψ"- sψ?φ(ψ9?1)2]/ma，Q= [cψ?φψ- 3sψ?φ(ψ9?1)ψ- cψ?φ(ψ9?1)3]/ma，

R9= cφ/mc，R"= - sφ/mc，R= - cφ/mc。

由式(a)有cψ/mb+ cψ?φ/ma= [(mb2+ ma2+ mc2- 1)/(2mbma)+ cφ]/mc，對(duì)φ求導(dǎo)得sψψ9/mb+ sψ?φ(ψ9?1)/ma= sφ/mc。

即(sψ/mb+ sψ?φ/ma)ψ9=sψ?φ/ma+ sφ/mc，(P+ Q)ψ9=Q+ R，該式對(duì)φ求1、2、3階導(dǎo)數(shù)得：

其中：

- 2[cψψ9/mb+ cψ?φ(ψ9?1)/ma]ψ- (cψψ- sψψ92)ψ9/mb- [cψ?φψ- sψ?φ(ψ9?1)2](ψ9?1)/ma=

- (3cψψ- sψψ92)ψ9/mb- [3cψ?φψ- sψ?φ(ψ9?1)2](ψ9?1)/ma，

- 3[cψψ9/mb+ cψ?φ(ψ9?1)/ma]ψ- 3{(cψψ- sψψ92)/mb+ [cψ?φψ- sψ?φ(ψ9?1)2]/ma}ψ- (cψψ- 3sψψ9ψ- cψψ93)ψ9/mb-[cψ?φψ- 3sψ?φ(ψ9?1)ψ- cψ?φ(ψ9?1)3](ψ9?1)/ma=

- (4cψψ9ψ+ 3cψψ2- 6sψψ92ψ- cψψ94)/mb- [4cψ?φ(ψ9?1)ψ+ 3cψ?φψ2- 6sψ?φ(ψ9?1)2ψ- cψ?φ(ψ9?1)4]/ma

故得：

(9)

式(6)、式(7)、式(9)即為從動(dòng)件運(yùn)動(dòng)規(guī)律。另外簡記：

(10)

從式(2)-式(4)、式(6)、式(7)、式(9)、式(10)知ψ、ψ9、ψ、ψ、ψ、μ、μ9由常數(shù)mb、ma、mc和變量φ決定，都無量綱。

5 壓力角

壓力角是機(jī)構(gòu)傳動(dòng)質(zhì)量的重要指標(biāo)，在設(shè)計(jì)中必不可少，下面研究圖1機(jī)構(gòu)的壓力角α。

5.1 壓力角計(jì)算式

(11)

5.2 壓力角最大值及出現(xiàn)位置

由式(11)第2式知，α的最大值αmax=max{90- δmin，δmax- 90}，其中δmin、δmax是δ的最小值、最大值。若簡記

α1=δmax-90° α2=90°-δminφ1=±φ0φ2=180°±φ0

(12)

則：

αmax=max{α1，α2}

(13)

由式(4)第1式、式(11)、式(12)、以及圖1的△OA1B1、△OA2B2知，當(dāng)φ為φ1、φ2時(shí)，φ為0、180，δ為δmax、δmin，α為α1、α2，注意到式(13)即知φ1、φ2是αmax可能出現(xiàn)位置。

由式(12)、式(11)有：

(14)

φ1、φ2由式(12)第3、4式和式(12)第1式確定，α1、α2由式(14)確定。

5.3 壓力角約束

保證機(jī)構(gòu)良好傳動(dòng)需滿足的條件為：

αmax≤[α]

(15)

其中[α]是許用壓力角。δmax、δmin的最大可取值區(qū)間是[0,180]，由式(12)前2式知α1、α2的最大可取值區(qū)間是[-90,90]，由式(13)、式(15)有

sαmax=max{sα1，sα2}≤s[α]，即sα1≤s[α]和sα2≤s[α]

(16)

式(14)第1式代入sα1≤s[α]有(ma+ mb)2≤mc2+ 2mcs[α]+ 1；式(14)第2式代入sα2≤s[α]有(ma- mb)2≥mc2- 2mcs[α]+ 1。于是得：

(ma+ mb)2- (mc+ s[α])2≤c[α]2≤(ma- mb)2- (mc- s[α])2

(17)

式(17)即是圖1機(jī)構(gòu)壓力角約束的表達(dá)式。

6 特性值

文獻(xiàn)[13-14]指出：直動(dòng)從動(dòng)件凸輪機(jī)構(gòu)在一個(gè)行程(推程或回程)中的無量綱速度、無量綱加速度、無量綱躍度、無量綱轉(zhuǎn)矩的計(jì)算式依次為s9Θ /h、sΘ2/h、sΘ3/h、s9sΘ3/h2，這里的s9、s、s為從動(dòng)件的類速度、類加速度、類躍度，Θ、h為凸輪運(yùn)動(dòng)角、從動(dòng)件行程；這4個(gè)無量綱物理量分別正比于從動(dòng)件系統(tǒng)的動(dòng)量、慣性力、慣性力的變化率、凸輪上平衡從動(dòng)件系統(tǒng)的慣性力所需輸入轉(zhuǎn)矩；稱這些物理量各自的最小值和最大值，以及各自絕對(duì)值的最大值(分別稱為最大無量綱速度、最大無量綱加速度、最大無量綱躍度、最大無量綱轉(zhuǎn)矩)為特性值；特性值是評(píng)價(jià)從動(dòng)件運(yùn)動(dòng)規(guī)律的優(yōu)劣和適用場(chǎng)合的動(dòng)力學(xué)特性指標(biāo)，其絕對(duì)值都越小越好。對(duì)擺動(dòng)從動(dòng)件，上面的線量要換成角量。

圓盤凸輪機(jī)構(gòu)的一個(gè)運(yùn)動(dòng)循環(huán)由首尾相接的一個(gè)推程和一個(gè)回程所組成。在圖1所示機(jī)構(gòu)的推程和回程，從動(dòng)件角行程ψx相等但凸輪運(yùn)動(dòng)角不等(Φ≠Φ9)，故其無量綱角速度Γ、無量綱角加速度Λ、無量綱角躍度Σ、無量綱轉(zhuǎn)矩T的公式要按推程和回程分別寫出，為:

(18)

由節(jié)2和節(jié)4易知Γ、Λ、Σ、T由常量mb、ma、mc和變量φ決定。Φ、Φ9、ψx都為正值，而ψ9、ψ、ψ、μ在一個(gè)運(yùn)動(dòng)循環(huán)中都既有正值也有負(fù)值(參見圖2)，再從式(18)知Γ、Λ、Σ、T在一個(gè)運(yùn)動(dòng)循環(huán)中的最小值為負(fù)、最大值為正。

(19)

7 解析法設(shè)計(jì)計(jì)算流程

首先給定r、mb、Φ、ψx、[α]值，其次按以下公式和順序作設(shè)計(jì)計(jì)算：

1) 在滿足ma>0、mc>0、(ma+ mb)2- (mc+ s[α])2≤c[α]2≤(ma- mb)2-(mc- s[α])2等約束下，聯(lián)立式(3)的4個(gè)等式即

(例如，設(shè)mb= 0.3，Φ= 175，ψx= 15，[α]= 40，利用軟件Excel的規(guī)劃求解功能，可這樣求得ma= 2.508，mc= 2.194，φ0= 56.0，ψ0= 15.3。

2) 計(jì)算b= mbr，a= mar，c= mcr。以φ為自變量，按式(6)和式(7)計(jì)算D、E、F、ψ，按式(5)計(jì)算x、y，按式(9)和式(10)計(jì)算ψ9、ψ、ψ、ψ、μ、μ9，按式(11)計(jì)算δ、α，按節(jié)6末尾所述方法計(jì)算Γm、Λm、Σm、Tm等。

8 計(jì)算實(shí)例

為驗(yàn)證本文導(dǎo)出公式的正確性并獲得有設(shè)計(jì)指導(dǎo)意義的結(jié)論，取若干組mb和ma值，按節(jié)7的步驟做計(jì)算繪圖，得從動(dòng)件運(yùn)動(dòng)線圖(見圖2，其中ψ的單位為弧度，ψ9、ψ、ψ、ψ、μ、μ9均無量綱)以及圖1所示機(jī)構(gòu)的特性值(見表1，其中Γm、Λm、Σ：m、Tm均無量綱)。

圖2 從動(dòng)件運(yùn)動(dòng)線圖

長度比例系數(shù)特性值mbmamcΓmΛmΣmTm0.11.51.21.585.5217.24.300.21.51.21.626.1621.44.960.31.51.21.686.7328.15.960.13.02.41.605.5417.24.120.23.02.41.636.2418.74.420.33.02.41.637.0829.35.15

9 結(jié)論分析

1) 與采用各種常用運(yùn)動(dòng)規(guī)律的凸輪機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)不同，尖底擺動(dòng)從動(dòng)件圓盤凸輪機(jī)構(gòu)的一些未知參數(shù)需要在滿足尺寸參數(shù)和壓力角的約束下通過求解非線性方程組來確定(見節(jié)7的步驟1))。

2) αmax、Γm、Λm、Σm、Tm等這些表征機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)性能的指標(biāo)，僅由機(jī)構(gòu)長度尺寸的相對(duì)值(本文中為mb、ma、mc)決定(節(jié)5.2和節(jié)6)。

3) 凸輪偏心率mb越大，則ψ、ψ、ψ、μ的最大絕對(duì)值越大(圖2和表1)，γ、λ、σ、β的最大絕對(duì)值越大(式(8)和式(18))，Γm、Λm、Σm、Tm的值越大(式(19))，從而機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)性能越差。因此mb值不宜過大。

4) 在相同尺寸情況下，圖1(a)、圖1(b)兩機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)線圖之間具有對(duì)稱性(見圖2(c)和圖2(d))：ψ對(duì)φ的偶數(shù)階導(dǎo)數(shù)ψ、ψ、ψ曲線以及μ曲線都對(duì)稱于豎直線φ=180，奇數(shù)階導(dǎo)數(shù)ψ、ψ曲線以及μ曲線都對(duì)稱于φ軸上的點(diǎn)φ=180。利用這些對(duì)稱性，若已知其中一機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)線圖，極易得到另一機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)線圖。

5) 由于圓盤凸輪的廓線是完整的單一圓周，故從動(dòng)件轉(zhuǎn)角ψ對(duì)凸輪轉(zhuǎn)角φ的任意階導(dǎo)數(shù)的曲線均連續(xù)且光滑(參見圖2)，即機(jī)構(gòu)無任意階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)而發(fā)生的沖擊，性能上必優(yōu)于大多數(shù)的從動(dòng)件常用運(yùn)動(dòng)規(guī)律，例如等加速等減速、負(fù)等躍度、正等躍度、擺線等運(yùn)動(dòng)規(guī)律(因從動(dòng)件位移對(duì)凸輪位移的某低階或高階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)而存在沖擊)。再由圓盤凸輪的廓線極易制造和檢測(cè)的特點(diǎn)即知，在從動(dòng)件運(yùn)動(dòng)是“升-降”型、對(duì)從動(dòng)件運(yùn)動(dòng)規(guī)律無特別要求、考慮制造和動(dòng)力學(xué)兩方面的綜合表現(xiàn)的情況下，圓盤凸輪機(jī)構(gòu)是最好的凸輪機(jī)構(gòu)，可用于高速場(chǎng)合，值得重視和盡量采用。

10 結(jié)語

相對(duì)現(xiàn)有文獻(xiàn)，本文的主要特點(diǎn)是：1) 首次研究了偏置直動(dòng)從動(dòng)件圓盤凸輪的特性值問題，為其他簡單廓線凸輪機(jī)構(gòu)的特性值研究提供了借鑒；2) 運(yùn)用恰當(dāng)?shù)姆椒ê捅磉_(dá)技巧，推導(dǎo)出該機(jī)構(gòu)從動(dòng)件位移的0-4階導(dǎo)數(shù)的精確且簡潔的公式，解決了確定該凸輪機(jī)構(gòu)特性值需要從動(dòng)件位移的3、4階高階導(dǎo)數(shù)公式的關(guān)鍵難題；3) 給出該機(jī)構(gòu)4個(gè)主要特性值的公式。據(jù)其數(shù)值計(jì)算結(jié)果，可判斷該機(jī)構(gòu)與特性值有關(guān)的動(dòng)力學(xué)性能的優(yōu)劣和適用場(chǎng)合；4) 得出該機(jī)構(gòu)特性值只和各構(gòu)件的相對(duì)長度有關(guān)，以及該機(jī)構(gòu)可用于高速的結(jié)論；5) 詳細(xì)研究了機(jī)構(gòu)壓力角，給出在滿足壓力角和尺寸的約束下通過求解非線性方程組來確定機(jī)構(gòu)尺寸的一種方法和實(shí)例。