盛元

【摘要】幾何證明題作為數(shù)學(xué)試題中區(qū)分度較高，且難度較大的題目，一直以來都是決定學(xué)生分?jǐn)?shù)高低的關(guān)鍵所在.而一道恰到好處的幾何試題的命制，不僅取決于對學(xué)生知識水平的掌控，更取決于對《課標(biāo)》《考試說明》的深度挖掘以及對?？贾攸c(diǎn)知識、解題技能的把握和對重點(diǎn)模型、重要知識體系內(nèi)在聯(lián)系的有機(jī)結(jié)合.

【關(guān)鍵詞】幾何;原創(chuàng)題;探索能力;構(gòu)造模型;通法

本文筆者呈現(xiàn)了一道原創(chuàng)幾何證明題，并在近期考試中得以使用，題目的有效性得到了檢驗(yàn)，并從編制的意圖出發(fā)，結(jié)合學(xué)生考試中呈現(xiàn)出來的不用解法，進(jìn)行了深刻反思，感悟，得以升華，下面與讀者一起分享.

【原創(chuàng)試題】如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E，F(xiàn)在BC上，且CF=BE，過點(diǎn)F作FG⊥AB于點(diǎn)G，連接DE交FG于點(diǎn)P.

1.命題意圖闡述

基于初三數(shù)學(xué)階段性復(fù)習(xí)的考查，立意明確，考點(diǎn)突出，以平行四邊形為載體，依托三角形全等考查幾何能力.

2.從《課標(biāo)》要求分析

（1）《課標(biāo)》的知識技能要求：探索并掌握相交線、平行線、三角形、四邊形的基本性質(zhì)與判定，掌握基本的證明方法和基本的作圖技能.數(shù)學(xué)思維方面，體會通過合情推理探索數(shù)學(xué)結(jié)論，運(yùn)用演繹推理加以證明的過程，在多種形式的數(shù)學(xué)活動(dòng)中，發(fā)展合情推理與演繹推理的能力.能力方面，能獨(dú)立思考，體會數(shù)學(xué)的基本思想和思維方式，體會模型思想.問題解決方面，經(jīng)歷從不同角度尋求分析問題和解決問題的方法的過程，體驗(yàn)解決問題方法的多樣性，掌握分析問題和解決問題的一些基本方法.情感態(tài)度方面，感受成功的快樂，體驗(yàn)獨(dú)自克服困難、解決數(shù)學(xué)問題的過程，有克服困難的勇氣，具備學(xué)好數(shù)學(xué)的信心.在運(yùn)用數(shù)學(xué)表述和解決問題的過程中，認(rèn)識數(shù)學(xué)具有抽象、嚴(yán)謹(jǐn)和應(yīng)用廣泛的特點(diǎn)，體會數(shù)學(xué)的價(jià)值.敢于發(fā)表自己的想法、勇于質(zhì)疑，養(yǎng)成認(rèn)真勤奮、獨(dú)立思考、合作交流等學(xué)習(xí)習(xí)慣，形成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度.

（2）此題目所體現(xiàn)的《課標(biāo)》核心考查內(nèi)容包括：平行線與內(nèi)錯(cuò)角，補(bǔ)角和余角，等腰三角形性質(zhì)及判定，平行四邊形對邊平行且相等，對角相等的性質(zhì)及銳角三角函數(shù)相關(guān)，過已知點(diǎn)作線段的垂線等核心知識.

（3）考查的學(xué)科能力有：讀題能力，知識的整合能力，綜合推理能力，問題的探究能力，幾何的推理能力，甚至問題的遷移能力，及從多個(gè)角度解決問題的能力，計(jì)算方面比較常規(guī).

（4）突出考查了數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)：此題目考查的學(xué)科素養(yǎng)包括了數(shù)學(xué)抽象思維，二次全等的證明體現(xiàn)了合情推理與邏輯演繹過程，構(gòu)造輔助線涉及數(shù)學(xué)建模（等腰直角三角形模型），平行四邊形面積的求法首先求它的高，貫穿數(shù)學(xué)想象以及數(shù)學(xué)運(yùn)算.

3.試題命制的多維度分析

（1）命題者角度

幾何證明常以四邊形為背景，綜合三角形知識體系考查學(xué)生的幾何能力，要求學(xué)生對基本的幾何知識，幾何方法，幾何語言，符號意識，幾何直觀，問題探究能力有較好的把握，題目屬于中檔偏難的水平.

（2）從學(xué)生的角度分析

第一問大部分學(xué)生能夠做對得分，屬于中檔難度，基礎(chǔ)不好的同學(xué)顯得力不從心.第二問因考查的能力要求較高，影響解題速度，拉開分差或差距，少數(shù)部分能力較強(qiáng)的同學(xué)能夠解決，獲得較強(qiáng)的成就感.

4.從近幾年重慶中考數(shù)學(xué)的趨勢分析

（1）重慶中考數(shù)學(xué)幾何證明題屬于綜合題型，第一問涉及簡單計(jì)算，屬于簡單到中檔的水平，而第二問，考查線段相關(guān)的和差倍的關(guān)系，屬于較難水平，強(qiáng)調(diào)區(qū)分度，一般需要涉及輔助線，有時(shí)候需要兩條輔助線，通過證明三角形二次全等達(dá)到目的.原創(chuàng)題考點(diǎn)非常明確，貫徹平面幾何知識以四邊形為背景，考查三角形問題，堅(jiān)持相對穩(wěn)定的考查方式，以繼承和發(fā)展學(xué)生幾何思維能力為指引.

（2）從難度（區(qū)分度）的角度來說，此題學(xué)生解答有一定的難度，得分率不高，有較好的區(qū)分度，著眼于創(chuàng)新能力的考查，特別是第二問綜合證明的困難較大，對能力要求較高.

（3）從最終要達(dá)到的目的來說，此題作為選拔優(yōu)生起到了很好的篩選作用，當(dāng)然，對數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)較好的同學(xué)，起到了引領(lǐng)示范作用.

5.評價(jià)與反思

（1）此題較好地體現(xiàn)了《課標(biāo)》要求的對能力目標(biāo)的考查，從基礎(chǔ)的線段計(jì)算，到求面積為指向，轉(zhuǎn)化邊長，到提出較高的輔助線做法，全等三角形的構(gòu)造，覆蓋面廣，對學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、能力要求提出了挑戰(zhàn).

（2）此原創(chuàng)題關(guān)注到了學(xué)生個(gè)體差異，兼顧區(qū)分度，解法的多樣性成為師生之間對話交流的重要載體.

（3）比較符合《新課標(biāo)》的理念，面向全體學(xué)生，促進(jìn)學(xué)生提高學(xué)科素質(zhì)，指引學(xué)生復(fù)習(xí)方向，關(guān)注到每名學(xué)生的知識掌握差異，促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)地發(fā)展，尊重教育規(guī)律和學(xué)生身心發(fā)展規(guī)律，力求為每名學(xué)生提供合適的考查平臺.

（4）著重考查了平面幾何基礎(chǔ)知識，以及基本技能，基本方法，考查學(xué)生的思維發(fā)散能力和知識遷移能力，大體上適合各個(gè)層次的學(xué)生發(fā)展區(qū)分的需要.

6.總結(jié)反饋與升華

此原創(chuàng)題目考查意圖非常明確，研究探討至問題的解答通性和通法，啟發(fā)和引領(lǐng)學(xué)生、培養(yǎng)學(xué)生掌握解題的通法，這也是筆者命制試題的努力方向，也是今后總結(jié)反思提升的目標(biāo)與追求.筆者所追求的目的是引領(lǐng)一種思想，講求解題共性，通法，促進(jìn)教學(xué)一線的教師、學(xué)生能夠主動(dòng)地探究，積極地總結(jié)、掌握舉一反三的解題方法，以期觸類旁通為要旨，從題海中解放出來，亦講求事半功倍的教學(xué)、學(xué)習(xí)效果，對今后的教育教學(xué)有積極的推動(dòng)作用，甚至以求促進(jìn)教學(xué)改革或者促進(jìn)師生的自我超越，讓更多的學(xué)生在解題中、在探究中、在學(xué)習(xí)中獲得成就感，力求激發(fā)興趣為指引，獲得終身學(xué)習(xí)的能力和成就感.