夏秀云 田 浩 田時宇

（1.湖南信息學院公共課部 長沙 410005）（2.湖南信息學院電信學院 長沙 410005）

1 引言

粗糙集理論［1］是1982年波蘭數學家Pawlak首次提出來的，它是集合理論的一種延伸。該理論是用來處理模糊以及不確定性的知識，已經廣泛用于人工智能、模式識別、數據庫的知識發(fā)現和專家系統(tǒng)等方面［2～4］。粗糙集模型由于是基于確定性知識庫的，忽略了可利用信息的不確定性，有學者將概率測度引入粗糙集理論形成了概率粗糙集［5］，近年來其得到了廣泛的應用和發(fā)展［6～7，9，11］。目前概率粗糙集模型的研究方向主要有兩個方面，一方面是從關系方面進行拓展，將論域上的二元等價關系推廣到相似關系、一般的二元關系和模糊關系等進行研究；另一方面是將概率測度推廣到其他測度的粗糙集模型。例如，劉耀輝［8］于2010年提出了基于模糊測度和模糊積的粗糙集模型；覆蓋［12～15］作為劃分的一種推廣，可以為粗糙集處理更復雜的數據形式提供方便。例如，孫秉珍［16］等學者通過設定參數α在置信區(qū)間，建立了變精度概率粗糙集模型；王美云［17］通過限定α，變兩個參數為一個參數來研究基于覆蓋的概率粗糙集模型；然后單雪紅等［18］學者從另外的角度出發(fā)，借助偏序關系來研究覆蓋粗糙集模型的特殊性質；接著，劉敏等［19］學者則從一個論域推廣到兩個論域上來研究覆蓋變精度粗糙集模型；而薛占熬［20］等學者從覆蓋的角度提出了基于Sugeno測度的粗糙集模型，又為粗糙集模型的推廣研究指明了一個方向；劉財輝等［21］學者結合條件概率并利用元素的最小描述并集，研究了多粒度覆蓋粗糙集模型。當然，關于覆蓋粗糙集模型的進一步研究還有很多［22～29］，比如有借助鄰域的［22］，有與直覺模糊集結合的［23］，有研究兩個論域的［24］，有通過精度與程度或的［25］，有借助正負域討論的［26］等。但對于基于模糊測度來研究廣義的覆蓋粗糙集模型還很少，故基于此，本文提出了基于測度的廣義覆蓋粗糙集模型。文中首先提出基于模糊測度的覆蓋粗糙集的基本知識，然后構造了一種基于測度的變精度覆蓋粗糙集模型以及證明其相關代數性質，緊接著討論該模型的粗糙逼近問題，最后討論了其近似精度和粗糙度，在一定程度上促進概率覆蓋粗糙集模型應用范圍，故本文的研究工作還是具有一定意義的。

2 預備知識

定義1［1，12］設U 為非空有限集合，稱為論域。π是U的一個集類，如果π中的子集非空且∪π=U，則稱π是U的一個覆蓋，稱有序對(U，π)為覆蓋近似空間。

定義3［1］設U是有限非空的論域，稱P∶2U→[0，1]為概率測度，如果

定義4［2］設非空有限論域U，論域U中的覆蓋π，概率測度P建立在U的子集構成的σ代數上，md(x)為 x∈U 的最小描述，記ω=(U，π，P)為覆蓋概率近似空間，限定 12＜α≤1，?X?U，分別稱

為X關于ω=(U，π，P)依參數α的上、下近似。

定義5［10］設 X是一非空集合，ψ是由 X的子集組成的非空類，Δ是定義在ψ上的非負實值集函數。稱Δ滿足（在ψ上）ν-r律當且僅當存在r∈（-supΔ-1，∞）∪{0}，使得下式成立。

其中，{Fm}是ψ中的集合構成的任意不交序列，且這些集合的并仍然在ψ中。

定義6［10］設h是 X上的子集組成的 ν代數。稱Δ為h上的Sugeno模糊測度，當且僅當Δ滿足ν-r律，且Δ（X)=1，簡記為dr測度。

證明 參考文獻［10］，略。

定義7［8，20］設U 是有限對象構成的論域，R是U上的等價關系，其構成的等價類為U/R={X1，X2，…，Xm}，仍記 x 所在等價類為 [x]R，令 dr為定義在U的子集類構成的ν代數上的Sugeno測度，三元組Tr=(U，π，dr)稱為Sugeno近似空間，U中的每個子集稱為概念，代表了一個隨機事件。設0≤β＜α≤1，對 于 任意 X?U ，定 義 X 關 于Tr=(U，π，dr)依參數 γ，α，β 的Sugeno（I）型下近似 -dIα(X)和上近似 -dIβ(X)如下：

X 關于 Tr依參數 r，α，β 的Sugeno（I）型正域、負域和邊界域分別為

3 基于模糊測度廣義覆蓋粗糙集近似

定義8設U是有限對象構成的論域，π是U上的一個覆蓋，令dr為定義在U的子集類構成的ν代數上的模糊測度，md(x)為x∈U的最小描述，三元組Tr=(U，π，dr)稱為覆蓋模糊近似空間，U中的每個子集稱為概念，代表了一個隨機事件。設＜α≤1，對于任意 X?U，定義 X關于模糊近似空間Tπr=(U，π，dr)依參-數r，α 的廣義覆蓋粗糙下近似 -dπα(X)和上近似 dπα(X)如下：

X關于Tπr依參數r，α的廣義覆蓋粗糙集正域、負域和邊界域分別為

在以上的定義中，即U是非空論域，R是等價關系，則U的劃分U∕R=｛［x］R|x∈R｝為U的一個覆蓋，即∩md（x）=［x］R，對于任意X 包含于U：

定理2設模糊近似空間T=(U，π，d)，＜πrrα≤1，則 X關于Tπr依參數α的下近似和上近似滿足以下性質：

證明 由定理2 6），易證，略。

推論2設T=(U，π，d)，?X，Y?U，＜α≤1，πrr則X關于模糊近似空間Tπr依參數α的正域、負域和邊界域滿足下列性質：

注 當 X=U，由定理1和推論2可知，POSπ(X，α，r)=U， NEGπ(X，α，r)=? 和BNDπ(X，α，r)=? ；當 X=?， POSπ(X，α，r)=?，NEGπ(X，α，r)=U ；BNDπ(X，α，r)=? 。故對于Tπr=(U，π，dr)，其對應的正域 POSπ(X，α，r)、對應得 負 域 NEGπ(X，α，r) 以 及 對 應 的 邊 界 域BNDπ(X，α，r)構成U 上的劃分。

4 廣義覆蓋粗糙集上下近似的粗糙逼近

5 廣義覆蓋粗糙集的近似精度和粗糙度

0≤η（X，α，r）≤1，0≤μ（X，α，r）≤1

若X是依參數r，α是可定義的，當且僅當粗糙度 μ（X，α，r）=0，近似精度 η（X，α，r）=1。

設 Tπr=(U，π，dr)為覆蓋模糊近似空間，對?X?U，0.5＜α，α1，α2≤1，有

由上面的性質可知，廣義覆蓋粗糙集的近似精度關于參數α是單調減少的，其粗糙度關于參數α是單調減少的。

定理6 設Tπr=(U，π，dr)為覆蓋模糊近似空間，{αn}∞n=1是一個數列，且 αn∈(0.5，1]。對于任意X?U。

1）若{αn}∞n=1單調增加，則

由 η(X，αn，r)和 μ(X，αn，r)的關系可得

同理可證結論2）。

推論3 設Tπr=(U，π，dr)為覆蓋模糊近似空間。{αn}∞n=1是一個數列，且αn∈(0.5，1] 。 對 于 任 意 X?U ，令βn=1-αn∈[0，0.5)。

1）若{αn}∞n=1單調增加，則

6 結語

對論域進行分類時，一般得到的論域是一個覆蓋，本文在結合目前已有覆蓋粗糙集、變精度粗糙集、概率粗糙集和Sugeno測度粗糙集模型研究的基礎上，提出了基于模糊測度的廣義覆蓋粗糙集模型，討論了其性質和定理，從而能夠充分利用模糊近似空間中盡可能多的有用信息，比較客觀、準確地反映了被認識對象的本質屬性以及數據之間的相關性，進而使近似決策的精確性更高。