許銀伙

(福建省泉州外國(guó)語(yǔ)中學(xué) 362000)

問(wèn)題 (2018年浙江高考理科21)如圖，已知點(diǎn)P是y軸左側(cè)(不含y軸)一點(diǎn)，拋物線(xiàn)C：y2=4x上存在不同的兩點(diǎn)A，B滿(mǎn)足PA，PB的中點(diǎn)均在C上.

(1)設(shè)AB中點(diǎn)為M，證明：PM垂直于y軸；

入手一 設(shè)出直線(xiàn)AP，BP斜率k1,k2和P,A,B坐標(biāo)，然后利用中點(diǎn)公式，韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式，點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式，面積公式等知識(shí)解題.

設(shè)∠APM=α,∠BPM=β，

思路二 設(shè)直線(xiàn)AB的斜截式方程和P,A,B坐標(biāo)，然后利用中點(diǎn)公式，韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式，點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式，面積公式等知識(shí)解題.

方法二 (1)證明：設(shè)點(diǎn)P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2)，

①直線(xiàn)AB斜率存在時(shí)，設(shè)方程為：y=kx+b，代入y2=4x得：k2x2+2(kb-2)x+b2=0，

同理得：

所以x1,x2是方程k2x2+2[(y0+b)k-4]x+(y0+b)2-8x0=0的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，

②當(dāng)直線(xiàn)AB斜率不存在時(shí)，由拋物線(xiàn)性質(zhì)得PM垂直于y軸必成立.

思路三 利用直線(xiàn)AB斜率必不等于零，且允許斜率不存在，設(shè)直線(xiàn)AB的倒斜式方程和P,A,B坐標(biāo)，然后利用中點(diǎn)公式，韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式，點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式，面積公式等知識(shí)解題.

方法三 (1)證明：設(shè)點(diǎn)P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2)，由已知可設(shè)直線(xiàn)AB方程為：x=t+my，

代入y2=4x得：y2-4my-4t=0，判別式Δ=16(m2+t)>0，y1+y2=4m,y1y2=-4t.

又由韋達(dá)定理得：

∴yM=y0，則PM垂直于y軸成立.

思路四 利用點(diǎn)A,B在拋物線(xiàn)上和第一步要證明的結(jié)論，由縱坐標(biāo)設(shè)點(diǎn)A,B坐標(biāo)，然后利用中點(diǎn)公式，弦長(zhǎng)公式，面積公式等知識(shí)解題.

思路五 利用點(diǎn)A,B在拋物線(xiàn)上和第一步要證明的結(jié)論，由縱坐標(biāo)設(shè)點(diǎn)A,B坐標(biāo)，然后利用中點(diǎn)公式，韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式，面積公式等知識(shí)解題.

方法五 (1)證明：接方法四，由

整理得：

(2)解：

由(1)得：

△PAB面積

同方法一得：