李博峰，章浙濤

同濟(jì)大學(xué)測(cè)繪與地理信息學(xué)院，上海 200092

在現(xiàn)代大地測(cè)量動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)處理中，只要觀測(cè)值數(shù)量大于未知參數(shù)個(gè)數(shù)，即可建立數(shù)學(xué)模型并采用逐點(diǎn)單歷元的平差方法求得所需的動(dòng)態(tài)解[1-2]。數(shù)學(xué)模型包括函數(shù)模型和隨機(jī)模型兩部分，前者表征的是觀測(cè)值和未知參數(shù)之間的關(guān)系，而后者描述的是觀測(cè)值的精度以及相互之間的關(guān)系，兩者同等重要且缺一不可[3-4]。

通常，可以認(rèn)為觀測(cè)誤差為高斯白噪聲，即假設(shè)觀測(cè)值之間不存在時(shí)間相關(guān)性。然而在實(shí)際觀測(cè)數(shù)據(jù)中，由于非模型化誤差的存在[5-6]，導(dǎo)致觀測(cè)值中往往包含具有時(shí)間相關(guān)性的有色噪聲，從而影響了已建立數(shù)學(xué)模型的正確性[7-10]。事實(shí)上，在實(shí)際應(yīng)用中如忽略觀測(cè)值時(shí)間相關(guān)性往往會(huì)得到不可靠的參數(shù)解及其精度[11-13]。文獻(xiàn)[14]詳細(xì)分析了忽略觀測(cè)值時(shí)間相關(guān)性得到的參數(shù)解精度往往過(guò)于樂(lè)觀且不符合實(shí)際。文獻(xiàn)[15]指出觀測(cè)值時(shí)間相關(guān)性將引起GPS長(zhǎng)基線定位結(jié)果差異達(dá)2 cm，在高精度定位領(lǐng)域如變形監(jiān)測(cè)中不可忽略。文獻(xiàn)[16]研究了顧及時(shí)間相關(guān)性可以獲得符合實(shí)際的最小可探測(cè)粗差，從而幫助用戶在質(zhì)量控制應(yīng)用中得到更正確的結(jié)果。此外，在GNSS應(yīng)用中，文獻(xiàn)[17]證明了當(dāng)考慮觀測(cè)值時(shí)間相關(guān)性時(shí)，可以提高模糊度固定的成功率，在單頻觀測(cè)值中尤其明顯。

然而，在動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)處理中，顧及觀測(cè)值時(shí)間相關(guān)性的平差方法雖然得到了一定程度的研究[1,18-19]，尤其是在GNSS導(dǎo)航領(lǐng)域[20-22]，但在統(tǒng)一性和實(shí)用性兩個(gè)問(wèn)題上尚未完全解決。首先，當(dāng)前應(yīng)用最為普遍的是通過(guò)時(shí)間差分變換方式，將原始相關(guān)觀測(cè)值變換為獨(dú)立觀測(cè)值，從而達(dá)到消除觀測(cè)值時(shí)間相關(guān)性的目的[18,20,23]。事實(shí)上，類似的還有去相關(guān)變換法，如利用LDLT分解對(duì)觀測(cè)值的方差-協(xié)方差陣進(jìn)行變換[15]。遺憾的是，這些方法的特點(diǎn)以及相互之間的關(guān)系目前并沒(méi)有得到詳細(xì)論證，因此容易讓人產(chǎn)生困惑，造成混亂。其次，由于時(shí)間相關(guān)觀測(cè)的動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)處理中的方差-協(xié)方差矩陣不再是一個(gè)分塊對(duì)角矩陣，單歷元或者法方程疊加的方法不再適用，直接求逆又會(huì)引起巨大的計(jì)算量[24]，有色噪聲模型往往又很難實(shí)時(shí)準(zhǔn)確地獲取[25-27]，因此在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，需要有簡(jiǎn)化的方法在能夠保證解算效率的同時(shí)又能有效顧及時(shí)間相關(guān)性。

因此，本文將深入研究幾種時(shí)間相關(guān)觀測(cè)的動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)處理方法。首先，對(duì)時(shí)間相關(guān)觀測(cè)的動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)處理方法進(jìn)行了擴(kuò)展和統(tǒng)一。利用極大驗(yàn)后(MAP)估計(jì)原理，提出了顧及觀測(cè)值時(shí)間相關(guān)性動(dòng)態(tài)解的第3種思路，并針對(duì)無(wú)歷元公用參數(shù)和有歷元公用參數(shù)兩類應(yīng)用情景，詳細(xì)推導(dǎo)了去相關(guān)變換法、差分變換法和MAP估計(jì)法這3種顧及時(shí)間相關(guān)性的動(dòng)態(tài)解的解析公式，并重點(diǎn)探討了它們的適用范圍以及等價(jià)性。其次，導(dǎo)出了一種實(shí)用的時(shí)間相關(guān)觀測(cè)的動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)處理方法，即針對(duì)嚴(yán)格考慮時(shí)間相關(guān)性會(huì)導(dǎo)致計(jì)算復(fù)雜且效率低的客觀問(wèn)題，采用自相關(guān)函數(shù)(ACF)實(shí)時(shí)估計(jì)時(shí)間相關(guān)性，從而發(fā)展了一種簡(jiǎn)化且能有效表征觀測(cè)值時(shí)間相關(guān)性影響的退化形式。最后，采用雙頻GPS試驗(yàn)數(shù)據(jù)，對(duì)本文理論進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 無(wú)歷元公用參數(shù)的時(shí)間相關(guān)觀測(cè)模型

首先探討無(wú)歷元公用參數(shù)的時(shí)間相關(guān)觀測(cè)模型，例如采用GNSS偽距或者模糊度固定后的載波相位進(jìn)行動(dòng)態(tài)定位。設(shè)連續(xù)K個(gè)歷元觀測(cè)值時(shí)間相關(guān)，對(duì)應(yīng)的觀測(cè)方程及其方差-協(xié)方差陣為

y=Ax+ε

(1a)

(1b)

1.1 去相關(guān)變換法

利用LDLT分解法對(duì)方差-協(xié)方差陣Qyy進(jìn)行變換，令分解形式為Qyy=UDUT，其中，U為單位下三角矩陣，對(duì)應(yīng)的遞歸公式為[28]

(2)

式中，Uij表示單位下三角矩陣的第i行第j列子矩陣；D=blkdiag(D1,D2,…,DK)為分塊對(duì)角矩陣。令LQyyLT=D，則

(3)

去相關(guān)變換法的基本思想是，通過(guò)對(duì)相關(guān)觀測(cè)值改造，得到一組新的獨(dú)立觀測(cè)量。具體的，對(duì)觀測(cè)方程式(1a)左乘矩陣L，得到新的觀測(cè)方程

(4a)

(4b)

(5)

(6)

(7)

1.2 差分變換法

將觀測(cè)方程式(1a)按前i-1個(gè)歷元和第i個(gè)歷元分塊表達(dá)，則前i-1個(gè)歷元的觀測(cè)方程為

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

1.3 極大驗(yàn)后估計(jì)法

(15)

(16)

(17a)

(17b)

(18)

(19)

(20)

(21)

將式(20)和式(21)代入式(18)得式(14)，即證明了MAP法與差分變換法的動(dòng)態(tài)解是等價(jià)的。類似的，MAP估計(jì)法不需要前后歷元的觀測(cè)值類型和維數(shù)相同，而差分變換法則需要。

2 有歷元公用參數(shù)的時(shí)間相關(guān)觀測(cè)模型

在某些應(yīng)用場(chǎng)景下，歷元間往往存在公用參數(shù)，例如，在GNSS長(zhǎng)基線精密定位中，除了隨歷元變化的位置參數(shù)外，還含有未固定的模糊度參數(shù)和天頂對(duì)流層參數(shù)。此時(shí)，即使歷元間觀測(cè)值相互獨(dú)立時(shí)，也不能再用單歷元觀測(cè)值單獨(dú)平差的方法，而需要多個(gè)歷元聯(lián)合進(jìn)行平差。但傳統(tǒng)的多歷元平差方法因其需要不同歷元的觀測(cè)值，容易引起解算效率低的問(wèn)題。因此，為了能夠保證解算結(jié)果不變的情況下，盡最大可能地提高解算效率，本節(jié)將探討有歷元公用參數(shù)的時(shí)間相關(guān)觀測(cè)模型的動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)處理方法。設(shè)連續(xù)K個(gè)歷元的觀測(cè)值存在時(shí)間相關(guān)，除了隨歷元變化的參數(shù)x外，歷元間還存在公用參數(shù)ξ，則K個(gè)歷元的觀測(cè)方程為

y=Ax+Cξ+ε

(22)

對(duì)觀測(cè)方程式(22)左乘矩陣L，得到類似于式(4a)的去相關(guān)后的觀測(cè)方程

(23)

(24)

(25)

式中，將式(25)與式(24)的第2個(gè)方程進(jìn)行最小二乘準(zhǔn)則下融合，得法方程

(26)

采用最小二乘法方程約化且根據(jù)矩陣反演公式，推導(dǎo)得到第i個(gè)歷元的參數(shù)最小二乘估值為

(27)

3 基于ACF的退化形式

雖然上述解算公式嚴(yán)密準(zhǔn)確，但涉及大量的矩陣運(yùn)算，計(jì)算復(fù)雜且效率低。折中的方法是采用盡量簡(jiǎn)潔且能有效刻畫(huà)時(shí)間相關(guān)性的協(xié)方差函數(shù)，從而在滿足計(jì)算效率的同時(shí)能符合實(shí)際時(shí)間相關(guān)誤差特征。假設(shè)各歷元觀測(cè)值的方差-協(xié)方差陣相同，利用ACF估計(jì)該時(shí)間相關(guān)系數(shù)，且相鄰歷元的時(shí)間相關(guān)系數(shù)為ρ，則原始方差-協(xié)方差陣為

(28)

(29)

4 算例與分析

為驗(yàn)證上述理論公式推導(dǎo)的正確性和實(shí)用性，選取了同一測(cè)區(qū)同一時(shí)間段內(nèi)的兩條基線長(zhǎng)度分別為11.4和42.5 km的雙頻相位GPS數(shù)據(jù)，分別命名為No.1和No.2。采樣間隔為1 s，時(shí)間長(zhǎng)度為1 h，模糊度已事先固定。首先利用傳統(tǒng)的單歷元單獨(dú)平差方法，獲得定位結(jié)果，并采用ACF計(jì)算觀測(cè)值殘差的時(shí)間相關(guān)性，通過(guò)得到的時(shí)間相關(guān)系數(shù)可以判斷相應(yīng)觀測(cè)值是否存在時(shí)間相關(guān)性。圖1是兩條基線的雙頻相位觀測(cè)值時(shí)間相關(guān)系數(shù)，其中每條曲線代表一個(gè)雙差衛(wèi)星對(duì)。顯然，對(duì)于這兩條基線，時(shí)間相關(guān)性在一段時(shí)間內(nèi)都是顯著存在的。因此，采用顧及觀測(cè)值時(shí)間相關(guān)性的動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)處理方法是必要的。

圖1 GPS觀測(cè)值時(shí)間相關(guān)系數(shù)Fig.1 Time correlation coefficients of GPS observations

為分析觀測(cè)值時(shí)間相關(guān)性的影響因素，統(tǒng)計(jì)了這兩條基線所有雙頻相位觀測(cè)值時(shí)間相關(guān)性小于0.3以及接近0時(shí)的平均時(shí)間間隔，這里0.3和0分別認(rèn)為時(shí)間相關(guān)性不顯著以及不存在。計(jì)算可得，當(dāng)基線長(zhǎng)度為11.4 km時(shí)，觀測(cè)值時(shí)間相關(guān)性不顯著以及不存在的時(shí)間間隔平均為86和181 s；而當(dāng)基線長(zhǎng)度變?yōu)?2.5 km時(shí)，相應(yīng)時(shí)間間隔平均為220和396 s。即在200～400 s之后，觀測(cè)值時(shí)間相關(guān)性才可以完全忽略。事實(shí)上，之所以不同基線長(zhǎng)度的觀測(cè)值可以忽略時(shí)間相關(guān)性的時(shí)間間隔不同，是由于上述時(shí)間相關(guān)性主要是因?yàn)橛^測(cè)值中存在一些難以通過(guò)經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ透恼皡?shù)化吸收等的非模型化誤差所引起的[5-6,30]。顯然，當(dāng)基線長(zhǎng)度越長(zhǎng)，所受到的大氣誤差越嚴(yán)重，因而非模型化誤差也越嚴(yán)重，即造成了觀測(cè)值時(shí)間相關(guān)性也越強(qiáng)的現(xiàn)象。

接著，采用上述時(shí)間相關(guān)觀測(cè)模型中的3種方法分別進(jìn)行計(jì)算，即A、B和C分別表示去相關(guān)變換法、差分變換法和MAP估計(jì)法。統(tǒng)計(jì)了利用這些方法對(duì)No.1和No.2這兩條基線進(jìn)行解算后的定位誤差的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，可以發(fā)現(xiàn)這3種方法的定位誤差都在厘米級(jí)，且他們的定位結(jié)果等價(jià)，具體統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表1所示。因此，驗(yàn)證了本文公式推導(dǎo)的正確性及3種方法等價(jià)性的論斷。

表1 兩組數(shù)據(jù)的定位統(tǒng)計(jì)結(jié)果

下面將以GNSS模糊度固定為例來(lái)研究考慮時(shí)間相關(guān)性的作用?；贚AMBDA方法，分別采用L1、L2和L1+L2進(jìn)行單歷元模糊度固定，并與真值比較分析模糊度固定成功率。以No.1為例，表2顯示的是不顧及和顧及時(shí)間相關(guān)性的模糊度固定成功率。當(dāng)考慮時(shí)間相關(guān)性時(shí)，模糊度固定的成功率顯著提高，平均提高約7%。其原因是考慮時(shí)間相關(guān)性的方差-協(xié)方差陣更加符合實(shí)際觀測(cè)數(shù)據(jù)情況，導(dǎo)致模糊度搜索空間與浮點(diǎn)解相容[17]。

圖2 No.1數(shù)據(jù)U方向上不顧及和顧及時(shí)間相關(guān)性的定位精度比較Fig.2 Positioning precisions of ignoring and considering time correlations in U direction of dataset No.1

表2No.1數(shù)據(jù)不顧及和顧及時(shí)間相關(guān)性的模糊度固定成功率

Tab.2AmbiguityresolutionsuccessratesofignoringandconsideringtimecorrelationsofdatasetNo.1(%)

5 結(jié) 論

本文圍繞解決現(xiàn)代大地測(cè)量數(shù)據(jù)處理中觀測(cè)值時(shí)間相關(guān)的問(wèn)題，深入研究并提出了幾種時(shí)間相關(guān)觀測(cè)的動(dòng)態(tài)解法，包括無(wú)歷元公用參數(shù)和有歷元公用參數(shù)兩類模型下3種方法的推導(dǎo)，即去相關(guān)變換法、差分變換法和MAP估計(jì)法，同時(shí)結(jié)合ACF，導(dǎo)出了它們的等價(jià)退化形式，得出以下結(jié)論：

(1) 推導(dǎo)出的3種顧及觀測(cè)值時(shí)間相關(guān)性的動(dòng)態(tài)解的結(jié)果是等價(jià)的且各有特點(diǎn)，因此在實(shí)際使用中可選擇任意一種易于實(shí)現(xiàn)的方法。

(2) 導(dǎo)出的等價(jià)退化形式理論上簡(jiǎn)化了歷元之間的關(guān)系，且有效提高了計(jì)算效率，可以應(yīng)用于實(shí)時(shí)觀測(cè)數(shù)據(jù)，便于編程計(jì)算。

(3) 算例表明，實(shí)際觀測(cè)值中往往存在時(shí)間相關(guān)性，利用顧及觀測(cè)值時(shí)間相關(guān)性的動(dòng)態(tài)解能得到更為可靠和準(zhǔn)確的計(jì)算結(jié)果，如可以提高模糊度固定成功率。