王新寬， 蔣 媛， 熊召新

(陜西理工大學(xué) 物理與電信工程學(xué)院， 陜西 漢中 723000)

稀疏陣列是指從一個周期陣列中去除掉某些單元后得到的陣列。與滿陣相比，稀疏陣列不但可以減小質(zhì)量和成本，而且能夠獲得更低的旁瓣電平卻不會引起波束寬度的明顯展寬。除此之外，稀疏陣列也為緩解緊密排列的T/R組件的散熱問題帶來有效的解決方案。因此，針對稀疏陣列的方向圖綜合一直是學(xué)者關(guān)注的問題。到目前為止，該領(lǐng)域典型的研究工作包括：Haupt[1]首次把遺傳算法應(yīng)用于稀疏陣綜合，獲得了具有更低旁瓣電平的陣列；Quevedo-Teruel等分別采用螞蟻算法[2]、二進(jìn)制粒子群算法[3]、一種改進(jìn)的遺傳算法[4]來實(shí)現(xiàn)低副瓣稀疏陣的方向圖綜合；何學(xué)輝等[5]提出了一種整數(shù)編碼遺傳算法并結(jié)合凸優(yōu)化方法來優(yōu)化稀疏陣列的權(quán)值，從而顯著提升了陣列方向圖的主副瓣比；何向翎等[6]提出了一種基于離網(wǎng)格并結(jié)合粒子群算法的方案來綜合稀布陣列的單元位置以使增益最大化，并能對掃描過程中產(chǎn)生的柵瓣進(jìn)行有效抑制。楊鵬等[7]把陣列天線的波束形成等效為求解稀疏信號向量的最優(yōu)化問題，并利用欠定系統(tǒng)局域算法(focal undetermined system solver，F(xiàn)OCUSS)對該問題進(jìn)行快速求解，從而能夠在保持給定方向圖基本不變的情況下，得到具有較大稀疏率的陣列。可以看出，以智能優(yōu)化為代表的各類算法在稀疏陣設(shè)計中得到了廣泛應(yīng)用。然而當(dāng)陣列單元數(shù)較多，尤其針對大型、超大型陣列，上述算法會面臨巨大的計算負(fù)擔(dān)。為此，Keizer[8-9]引入了一種稱為迭代傅里葉算法(iterative Fourier technique，IFT)的方案并把其應(yīng)用于直線陣和大型平面陣的方向圖綜合。研究結(jié)果表明，IFT算法能夠應(yīng)用于各種尺寸的稀疏陣列，并且具有快速收斂的特點(diǎn)。

綜上所述，用較小的代價實(shí)現(xiàn)更低副瓣的稀疏陣，始終是眾多學(xué)者追求的目標(biāo)和關(guān)注的焦點(diǎn)。然而，由于在稀疏陣的設(shè)計中，陣列單元大都采用均勻激勵的方式，這樣帶來的好處是饋電網(wǎng)絡(luò)簡單，但卻限制了陣列設(shè)計的自由度，造成很難獲得更低副瓣的陣列。因此，在超低副瓣陣列的設(shè)計中，大多采用單元非均勻饋電的方案，典型的如切比雪夫陣列、泰勒陣列等[10]。

時間調(diào)制陣列天線(time modulated antenna array，TMAA)的概念及其理論模型的提出始于20世紀(jì)50年代末期，H. E. Shanks等[11]首次把時間自由度作為一個設(shè)計參數(shù)，引入到陣列天線的設(shè)計中。TMAA的核心思想是采用一組周期性通斷的射頻開關(guān)來獨(dú)立控制陣列中不同單元的通斷狀態(tài)(這些被射頻開關(guān)控制的單元又被稱為“動態(tài)單元”，反之則被稱為靜態(tài)單元)，利用每個動態(tài)單元的“歸一化接通時長”來等效該單元的靜止激勵權(quán)重值，由此得到的輻射方向圖在一個接通周期內(nèi)的時間平均值和傳統(tǒng)靜止陣列的輻射方向圖等效。由于數(shù)字電路技術(shù)能夠?qū)崿F(xiàn)對單元工作時間的精確控制，使得在TMAA中，不同單元之間時間加權(quán)的比值可以任意大而不受傳統(tǒng)陣列中因靜止激勵幅度的動態(tài)范圍比過高帶來的影響，從而很容易實(shí)現(xiàn)低/超低副瓣，并能大幅降低饋電網(wǎng)絡(luò)的成本和復(fù)雜度。由此可見，時間調(diào)制技術(shù)提供了一種低成本的低/超低副瓣陣列設(shè)計方案。然而，這種技術(shù)面臨的最大缺陷是存在大量頻率為實(shí)際工作頻率整數(shù)倍的諧波電磁輻射，從而導(dǎo)致陣列主輻射方向圖(簡稱主方向圖)的能量損失以及方向性系數(shù)的下降?；诖耍诖罅酷槍MAA的研究文獻(xiàn)中[12-18]，除了獲取滿足目標(biāo)要求的主方向圖外，還需要采取各種不同策略和算法來抑制旁帶輻射。由于第一諧波的旁帶輻射最大，因此大多數(shù)文獻(xiàn)中均以降低第一諧波旁帶電平(sideband level，SBL)值為目標(biāo)來抑制諧波輻射。

為了在單元均勻激勵情況下獲取具有更低副瓣的稀疏陣列，本文提出了一種基于時間調(diào)制的稀疏陣設(shè)計方案。該方案旨在保持陣列方向性系數(shù)基本不變并且各單元均勻饋電的基礎(chǔ)上，選取少量單元作為動態(tài)單元，通過控制這些動態(tài)單元的接通狀態(tài)來實(shí)現(xiàn)對單元靜態(tài)激勵的非均勻加權(quán)，進(jìn)而達(dá)到低副瓣的目標(biāo)。為了實(shí)現(xiàn)該方案，本文首先采用IFT算法獲得一個高質(zhì)量的稀疏單元分布，該單元分布中會包含約10%的動態(tài)單元。在此基礎(chǔ)上，利用差分進(jìn)化(differential evolution， DE)算法對上述動態(tài)單元時間脈沖的長度和接通狀態(tài)進(jìn)行優(yōu)化來進(jìn)一步降低稀疏陣主方向圖的最大旁瓣電平(maximum sidelobe level， MSLL)并抑制旁帶電平值。最后，利用MATLAB進(jìn)行仿真并和已有文獻(xiàn)中的結(jié)果相對比來驗(yàn)證本文方案的有效性。

1 理論模型和算法步驟

1.1 理論模型

對于一個含有N個全向輻射單元且單元相位為零、間距為半波長的直線陣列，其方向圖可表示為

(1)

其中k為波數(shù)，d為單元間距，u=sinθ且θ代表輻射場方向和直線陣法向之間的夾角，An代表第n個單元的激勵，為了和時間調(diào)制情況下的動態(tài)激勵相區(qū)別，An又稱靜態(tài)激勵。所有靜態(tài)激勵組成的集合記為A={An|n=0，1，2，…，N-1}。采用時間調(diào)制技術(shù)以后，每個單元的工作狀態(tài)均由對應(yīng)的射頻開關(guān)來控制，從而第n個單元的靜止激勵A(yù)n變?yōu)锳nwn(t)，其中wn(t)代表第n個單元的動態(tài)加權(quán)值，并滿足[19]：

(2)

這里τnON、τnOFF分別代表第n個單元處于接通和斷開的時刻，T0為射頻開關(guān)的調(diào)制周期，對應(yīng)的調(diào)制頻率為f0=1/T0，其值遠(yuǎn)小于陣列的工作頻率以避免由于頻率接近產(chǎn)生的耦合效應(yīng)。由此可把TMAA的方向圖表示為

(3)

由于wn(t)以T0為周期，根據(jù)傅里葉級數(shù)理論有：

(4)

(5)

其中ω=2π/T0為調(diào)制角頻率。把(2)式代入(5)式可以得到：

(6)

這里τnon=τnON/T0，τnoff=τnOFF/T0。將式(6)和式(4)代入(3)式可得：

(7)

若令

(8)

(9)

則有

F(θ)=F0(u)+Fω0(u)，

(10)

上式表明，TMAA的方向圖可分為兩部分：第一部分F0(u)代表其工作頻率處的方向圖，即主方向圖。從式(8)可以看出，對一個確定結(jié)構(gòu)的TMAA來說，F(xiàn)0(u)僅取決于單元的接通時長，與單元的通斷時刻無關(guān)。第二部分Fω0(u)代表諧波方向圖，這些諧波的頻率是陣列工作頻率的整數(shù)倍，它們的存在會降低F0(u)的輻射功率和方向性系數(shù)。從式(9)可以看出，F(xiàn)ω0(u)不僅取決于單元的接通時長，還與其通斷時刻有關(guān)。在F0(u)確定情況下，只要合理調(diào)整不同單元在一個調(diào)制周期內(nèi)的通斷時刻，就可達(dá)到抑制諧波電平的目的。進(jìn)一步還可看出，靜態(tài)單元可看作動態(tài)單元當(dāng)τnon=0，τnoff=1時的特殊情形，當(dāng)所有動態(tài)單元均退化成靜態(tài)單元后，TMAA就轉(zhuǎn)化為常規(guī)陣列。

考慮一個N單元且單元均勻激勵的周期直線陣，則A={1|n=0，1，2，…，N-1}。當(dāng)單元數(shù)為M(M

Tc=100%·M/N，

(11)

這樣向量A中被稀疏掉的單元激勵就被看作零。為了在獲取更低副瓣的同時，盡可能保持原陣列的方向性系數(shù)沒有大的變化，我們首先按照IFT算法中對單元的選取規(guī)則，選擇迭代過程中振幅較小、數(shù)量約為M·10%的單元作為動態(tài)單元，通過對這些單元進(jìn)行時間調(diào)制所產(chǎn)生的動態(tài)加權(quán)來實(shí)現(xiàn)非均勻激勵，進(jìn)而達(dá)到降低稀疏陣主方向圖旁瓣電平的目的。在時間調(diào)制過程中，把單元的調(diào)制時長以相等概率隨機(jī)設(shè)定為0.3T0、0.5T0和0.8T0，這樣設(shè)置不但有利于減少旁帶輻射，還可降低前端控制電路的復(fù)雜度。當(dāng)采用IFT算法得到一個較優(yōu)解后，進(jìn)一步利用差分進(jìn)化算法，結(jié)合脈沖移位策略，以0.1T0為步長，對動態(tài)單元時間脈沖的時長和通斷狀態(tài)進(jìn)行優(yōu)化，以進(jìn)一步降低主方向圖的旁瓣電平及諧波電平。其中脈沖長度限定在0.3T0～0.8T0之間。

1.2 算法步驟

從1.1描述的理論模型可以看出，本算法可分為兩個階段，我們以一個含有N個單元位置的周期直線陣為例，對其詳細(xì)闡述如下。

第一階段：利用迭代傅里葉算法獲得一個較優(yōu)解，具體步驟如下：

(1)在[0.5，1)之間以相等概率隨機(jī)初始化各單元的激勵A(yù)n，把得到的激勵集合記為A，這樣做的好處是后面得到的動態(tài)單元的歸一化激勵值也位于[0.5，1)范圍內(nèi)，從而有利于降低諧波能量，提升主波束的方向性系數(shù)；

(2)對A施加K點(diǎn)IFFT(inverse fast Fourier transform)得到陣列方向圖F(u)，其中K>2N；

(3)在F(u)的旁瓣區(qū)域中，對電平高于目標(biāo)值的采樣點(diǎn)，將其值用一個低于目標(biāo)值的電平值代替；

(4)對更新后的F(u)，施加K點(diǎn)FFT(fast Fourier transform)得到新的集合{Al′|l=0， 1， 2,…，K}，記為A′；

(5)在集合A′的K個點(diǎn)中，保留和陣列結(jié)構(gòu)匹配的前N個采樣點(diǎn)，其余的值被截斷，從而得到新的激勵集合A；

(6)根據(jù)填充因子Tc的不同，保留A中具有較大絕對值的前M個值，其余值均置零；

(7)對上述M個值按照絕對值大小降序排列，把排序靠前的約M·90%個單元的激勵值置1，其余單元被設(shè)置為動態(tài)單元，它們的時間加權(quán)值被以相等概率，隨機(jī)地置為0.3T0、0.5T0和0.8T0；

(8)保留具有最低旁瓣電平的一組激勵值后，重復(fù)(2)以后的操作，直到滿足最大的迭代次數(shù)后，轉(zhuǎn)向(1)，開啟下一次試驗(yàn)。當(dāng)達(dá)到預(yù)設(shè)的試驗(yàn)次數(shù)后，輸出試驗(yàn)過程中的最優(yōu)解，本階段結(jié)束。

第二階段：針對上一階段得到的解，利用差分進(jìn)化算法并結(jié)合脈沖移位策略，以0.1T0為步長，對動態(tài)單元時間脈沖的長度和接通狀態(tài)進(jìn)行優(yōu)化，以期獲得具有更低旁瓣電平的主方向圖，并進(jìn)一步壓低諧波電平值。

2 算例仿真

為了說明上述算法的有效性，我們規(guī)定算法中IFT的試驗(yàn)次數(shù)為10 000次，DE的種群規(guī)模為20，雜交概率為0.9，縮放因子為0.7。設(shè)定N等于200，在Tc分別取77%、66%、69.5%和39%四種情況下，利用該算法綜合得出不同稀疏陣列的方向圖并和文獻(xiàn)[8]中的結(jié)果進(jìn)行對比分析。圖1、2分別給出了優(yōu)化前及優(yōu)化后，填充因子為77%、對應(yīng)靜態(tài)單元數(shù)為140、動態(tài)單元數(shù)為14時，一個對稱TMAA陣列的主方向圖分布及其第一旁帶輻射情況。圖1(a)所示陣列的主方向圖旁瓣電平為-24.19 dB，比文獻(xiàn)[8]中的結(jié)果低1.27 dB，但由于時間調(diào)制的原因，會產(chǎn)生如圖1(b)所示，最高電平值為-34.52 dB的諧波輻射，使得主方向圖產(chǎn)生了1.89%的功率損耗，方向性系數(shù)也從靜止激勵情況下的154，降低到148。

圖1 填充因子為77%、14單元調(diào)制的對稱陣列優(yōu)化前的結(jié)果

為了進(jìn)一步降低主方向圖的旁瓣電平并更好地抑制諧波電平，在算法的第二步，保持靜態(tài)單元位置不變，采用DE對前述動態(tài)單元的接通時長和通斷時刻進(jìn)行優(yōu)化，所得陣列主方向圖的旁瓣電平降低到-24.54 dB，而SBL也降低到-37.19 dB，其結(jié)果如圖2(a)和圖2(b)所示。此時主方向圖的功率損耗為2.14%，方向性系數(shù)變?yōu)?46?？梢钥闯?，與優(yōu)化前相比，陣列主方向圖的功耗增加，同時方向性系數(shù)有所下降。其原因在于優(yōu)化后，部分動態(tài)單元的接通時長變短(如圖2(c)所示)，從而導(dǎo)致諧波能量增加的緣故。進(jìn)一步對比圖1(c)和圖2(c)可發(fā)現(xiàn)，優(yōu)化后動態(tài)單元的時間脈沖不但發(fā)生了移位，部分動態(tài)單元的接通時長也發(fā)生了變化，并且處于對稱位置的動態(tài)單元的接通時長也不再相同。圖2(d)給出了采用DE優(yōu)化前后，一到九次諧波的旁帶電平對比圖?？梢钥闯?，優(yōu)化后各次諧波的旁帶電平均得到了明顯抑制。

圖2 填充因子為77%、14單元調(diào)制的對稱陣列優(yōu)化后的結(jié)果

類似地，圖3、4分別給出了填充因子為39%、對應(yīng)靜態(tài)單元數(shù)為70、動態(tài)單元數(shù)為8時，一個非對稱TMAA陣列，在優(yōu)化前后的主方向圖分布及其第一旁帶輻射情況?？梢钥闯觯瑑?yōu)化后陣列主方向圖的旁瓣電平為-18.98 dB，比優(yōu)化前的結(jié)果低0.23 dB，比文獻(xiàn)[8]中的結(jié)果低1.65 dB，而波束寬度只展寬了0.13度，同時一次諧波的旁帶電平也從-32.79 dB降至-34 dB。與靜止陣列相比，此陣列主方向圖的方向性系數(shù)僅從78下降到75.1。圖4(d)表明，優(yōu)化后并非所有的諧波電平都低于優(yōu)化前的值，通常情況下，只要最高的第一諧波電平值能夠降低，就可達(dá)到抑制諧波干擾的目的。進(jìn)一步，當(dāng)填充因子不變，動態(tài)單元數(shù)為3時，所得陣列的結(jié)果如圖5所示。該陣列主方向圖的旁瓣電平為-18.6 dB，比文獻(xiàn)[8]中的結(jié)果低1.27 dB，波束寬度卻只展寬了0.077度，而且SBL只有-41.23 dB。與靜止陣列相比，該陣列主方向圖只產(chǎn)生了約0.72%的功率損耗，方向性系數(shù)也僅下降了0.8。從圖5(c)可以看出，此陣列3個動態(tài)單元的接通時長分別為0.8T0、0.8T0和0.6T0，依照(6)式，當(dāng)諧波次數(shù)為5時，amn等于零，從而不會產(chǎn)生第5次諧波，該結(jié)論也反映在圖5(d)所示的曲線中。

圖3 填充因子為39%、8單元調(diào)制的非對稱陣列優(yōu)化前的結(jié)果

圖4 填充因子為39%、8單元調(diào)制的非對稱陣列優(yōu)化后的結(jié)果

圖5 填充因子為39%、3單元調(diào)制的非對稱陣列優(yōu)化后的結(jié)果

表1列出了針對不同稀疏陣列的仿真結(jié)果?？梢钥闯?，與文獻(xiàn)[8]中的結(jié)果相比，采用本文算法后，所得陣列的旁瓣電平值最低下降了1.09 dB，最高下降了1.65 dB，而且波束寬度沒有明顯的展寬，陣列主方向圖的方向性系數(shù)也沒有明顯的下降。由此可以看出，本文算法能夠行之有效地應(yīng)用于低副瓣稀疏陣的設(shè)計。

3 結(jié)束語

本文基于單元非均勻激勵的構(gòu)想來獲取低副瓣的稀疏陣列。為了實(shí)現(xiàn)該構(gòu)想，引入時間調(diào)制方案，以用部分動態(tài)單元的時間加權(quán)來獲得單元的非均勻激勵。在此基礎(chǔ)上，提出了采用IFT和DE的聯(lián)合算法來實(shí)現(xiàn)低副瓣稀疏陣列的方法。針對不同稀疏直線陣的仿真結(jié)果驗(yàn)證了本文構(gòu)想和算法的有效性。由于考慮到方向性系數(shù)的穩(wěn)定性，本文算法中只采用了很少量的動態(tài)單元，并且對動態(tài)單元的接通時長也有嚴(yán)格的規(guī)定，從而限制了副瓣進(jìn)一步降低的空間。可以預(yù)計，在對方向性系數(shù)要求不高的場合，可以采用更多的動態(tài)單元，并放寬接通時長的限制，從而獲取更低副瓣的稀疏陣。除此之外可以看出，只要稍加修改，本文算法就可推廣到平面陣情況，從而亦可為低副瓣稀疏平面陣的設(shè)計提供一定的參考價值。

表1 不同稀疏陣列的仿真結(jié)果