丘遠青

近年，在高三數(shù)學試卷中頻繁出現(xiàn)具有“數(shù)學文化”背景的試題，試題出現(xiàn)伊始確實給人耳目一新之感.但見得多了，我們就會發(fā)現(xiàn)，大部分此類試題的命制方式就是把一道數(shù)學題從古代搬到現(xiàn)代，這樣造成的一個結(jié)果是，學生對這種題僅停留在“就題解題”的層面，也許見到了“文化”，但很難領(lǐng)會到“數(shù)學文化”中蘊含的數(shù)學思維價值，甚至很多教師對數(shù)學文化的認識也比較淺薄.高質(zhì)量的數(shù)學文化試題應源于數(shù)學文化而高于數(shù)學文化，體現(xiàn)數(shù)學文化的過程性特點，考查數(shù)學文化背后所蘊含的數(shù)學思想和數(shù)學方法，將數(shù)學文化試題置于整個數(shù)學思維訓練的大局中，而不只是一種穿越到今天的數(shù)學題.

面對數(shù)學文化，究竟應該考什么？怎樣考？通過對近幾年大量的數(shù)學文化試題的研究，筆者認為高質(zhì)量、有價值的數(shù)學文化試題應有如下三個層次.

第一層次以數(shù)學文化為試題，滲透中國古代傳統(tǒng)文化

以數(shù)學文化為試題的特點是直接取材于數(shù)學名著或名題，借數(shù)學名著或名題中提出的數(shù)學問題，檢驗考生數(shù)學基本知識和基本技能掌握的情況.

例1（2015年新課標I卷.6）《九章算術(shù)>是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺.問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖1，米堆為一個圓錐的四分之一）米堆底部的弧度為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放斛的米約有

A. 14斛

B. 22斛 C. 36斛 D. 66斛

例2（2017年高考全國I卷·理2）如圖2所示，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖，正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱.在正方形內(nèi)隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是

A.1/4

B.π/8

C.1/2

D.π/4

評析例1源于中國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》卷第五《商功》之[二五]，例2圖中圓形區(qū)域為中國古代的“太極圖”，兩道試題均取材于中國傳統(tǒng)文化，又巧妙地將中國傳統(tǒng)文化與現(xiàn)代教育元素相結(jié)合，對培養(yǎng)學生認識中華傳統(tǒng)文化有著深刻的教育意義，如例2，“太極”是中國古代的哲學術(shù)語，意為派生萬物的本源，太極圖形象地表達了陰陽輪轉(zhuǎn)、相反相成是萬物生成變化的哲理，試題以此為情境，設(shè)計一個幾何概型以及幾何概率計算問題，貼近考生實際生活，通過問題的求解，使考生體會概率在生活中的應用，又傳播了中國傳統(tǒng)文化.

以數(shù)學史為試題情景材料，可以引導學生理解數(shù)學、培養(yǎng)學習數(shù)學的興趣，可以引導學生探究解決數(shù)學問題的過程，這樣設(shè)計的試題，可以考查學生的基礎(chǔ)知識和基本技能，既符合考生的認知水平，又可以引導考生關(guān)注中華傳統(tǒng)文化.

第二層次以數(shù)學文化為背景，滲透數(shù)學精神

以數(shù)學文化為背景的試題，其特點是滲透數(shù)學精神，考查學生應用數(shù)學文化中所蘊含的數(shù)學思想方法解決問題的遷移能力.

例3 如圖3，圓錐SO的軸截面ASAB是邊長為4的正三角形，M為母線SB的中點，過直線AM作平面β⊥面SAB，設(shè)β與圓錐側(cè)面的交線為橢圓C，則橢圓C的短半軸為____.

A.√2 B.√10/2 c.√3 D.2

分析歷史上，許多人從純幾何角度出發(fā)對“一個平面去截圓錐，得到的截口曲線是橢圓”這個問題進行過研究，其中數(shù)學家Germinal Dandelin的方法非常巧妙，本題的命制是以“Dandelin雙球探究圓錐曲線的生成”為背景，取材于人教A版數(shù)學選修2-1第二章圓錐曲線與方程的“探究與發(fā)現(xiàn)一為什么截口曲線是橢圓”的內(nèi)容，在這道試題中，通過設(shè)問將不同知識和方法有機整合，對知識的考查側(cè)重理解和運用，讓學生獨立思考，分析問題，研究問題，并最終解決問題，而采用“Dandelin雙球”實驗所蘊含的思想方法，無疑是最有效的.

解析 如圖4，作球O與圓錐側(cè)面及平面β相切，切點分別為C，F(xiàn)，則F為橢圓的一個焦點.

評析數(shù)學是學習、培養(yǎng)理性思維的一個主要途徑，數(shù)學精神就是重視理性認識活動，以尋找事物的本質(zhì)、規(guī)律及內(nèi)部聯(lián)系的精神，在試題中滲透數(shù)學精神，可以體現(xiàn)反思性、體現(xiàn)探究性、體現(xiàn)獨立思考、體現(xiàn)遷移能力等，該解法延續(xù)了“GerminalDandelin雙球”的解法，解法筒捷高效，使“GerminalDandelin雙球”這一數(shù)學文化又重現(xiàn)生機，發(fā)揮了巨大威力，不禁令人拍案叫絕.

第三層次 以數(shù)學文化為載體，滲透數(shù)學應用

以數(shù)學文化為載體的試題，其特點是在試題中滲透數(shù)學應用，通過設(shè)計適合的試題情境，要求學生能夠利用所蘊含的數(shù)學文化知識分析、解決實際問題，考查考生分析問題、解決問題的能力.

分析 對該題的解答多數(shù)考生，甚至教師都是采用特殊法解決，這無疑背離了該題命制的意圖和考查目的，本題在試題呈現(xiàn)上似乎與數(shù)學文化無關(guān)，而實質(zhì)上是以著名的“阿波羅尼斯圓”為背景（在人教A版教材上與其相關(guān)的題目也有兩處）.如果沒有阿波羅尼斯圓的知識，你可能發(fā)現(xiàn)不了題中的圓0就是阿波羅尼斯圓這是一個巧妙的隱含條件，這樣就會給問題的解決帶來困難，甚至無法理解問題的數(shù)學本質(zhì).

解析 根據(jù)阿波羅尼斯圓的定義可知，題中的點M，N都在阿波羅尼斯圓上，如圖6，設(shè)圓0與y軸的兩個交點分別為P，Q，則P（O，1），Q（0，-1）.

例5（人教A版必修五第104頁B組第6題）兩次購買同一種物品，可以用兩種不同的策略，第一種是不考慮物品價格的升降，每次購買這種物品的數(shù)量一定;第二種是不考慮物品價格的升降，每次購買這種物品所花的錢數(shù)一定，哪種購物方式比較經(jīng)濟？能把所得結(jié)論作一些推廣嗎？

分析 本題以兩個實際購物方案為背景，引導學生應用不等式有關(guān)知識分析兩種購物方式的相互關(guān)系，試題的設(shè)計源于社會實際，體現(xiàn)了數(shù)學與我們社會生活的密切相關(guān)性.

評析 本題以兩個實際購物方案為背景，設(shè)計實際問題，考查學生處理數(shù)據(jù)及運用不等式知識（調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)、算術(shù)平均數(shù)以及平方和平均數(shù)）解決問題的能力，試題貼近生活，具有現(xiàn)實意義，在提高學生學習數(shù)學的興趣，培養(yǎng)學生的應用意識，提升學生解決實際問題的能力等方面有著很好的引導作用.

數(shù)學文化是數(shù)學學科的一個有機組成部分，數(shù)學試題在滲透數(shù)學文化時，應當注意與數(shù)學知識有機結(jié)合，注重體現(xiàn)其理性思維的本質(zhì)內(nèi)涵;數(shù)學試題在滲透數(shù)學文化時，可以通過創(chuàng)設(shè)新的情境、改變設(shè)問方式，選取適合的知識內(nèi)容等多種方法滲透數(shù)學文化，滲透現(xiàn)代數(shù)學思想和方法，增加基礎(chǔ)性、綜合性、應用性、創(chuàng)新性的要求;高考試題滲透數(shù)學文化的重要意義在于能充分發(fā)揮高考命題的育人功能，可以適當引導中學數(shù)學的教學，使得更多的教師關(guān)注數(shù)學文化，研究數(shù)學文化，將數(shù)學的本質(zhì)教授給學生，而學生通過數(shù)學文化的熏陶，可以形成和踐行社會主義核心價值觀，這就是數(shù)學文化試題應具有的三個層次.

高質(zhì)量、有價值的數(shù)學文化試題，一定是將數(shù)學文化、數(shù)學知識、思想方法融為一體，一定是滲透中國古代傳統(tǒng)優(yōu)秀文化，一定是源于數(shù)學文化而高于數(shù)學文化.

參考文獻

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