劉 宇，司學(xué)遷，路永樂(lè)，邸 克，向高軍，李俊林

（重慶郵電大學(xué) 光電信息感測(cè)與傳輸技術(shù)重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400065）

陀螺儀是慣性導(dǎo)航技術(shù)中的關(guān)鍵部件，被廣泛地應(yīng)用于航天、軍事、航海等領(lǐng)域[1]。陀螺儀的性能是影響慣導(dǎo)系統(tǒng)性能的關(guān)鍵因素之一，因此提高陀螺儀的性能具有非常重要的意義,其中零偏穩(wěn)定性是陀螺儀的一項(xiàng)重要性能指標(biāo)[2]。

振動(dòng)陀螺儀信號(hào)包含噪聲的主要原因有以下幾點(diǎn)：陀螺儀自身存在漂移誤差；硬件采集信號(hào)時(shí)產(chǎn)生的誤差；系統(tǒng)中各個(gè)電子元器的之間的干擾；系統(tǒng)中電源與板卡之間的相互電磁作用。其中，陀螺儀自身漂移產(chǎn)生的噪聲是原始采集信號(hào)噪聲的最主要組成部分，環(huán)境溫度是影響陀螺儀自身漂移的重要因素，本算法主要用于抑制不同溫度下陀螺自身漂移誤差。

由于噪聲一般由頻率1000 Hz以上的高頻信號(hào)構(gòu)成，而姿態(tài)角的更新頻率一般在1000 Hz以下，因此很多去噪研究是根據(jù)傅里葉變換來(lái)展開(kāi)的。但是由于陀螺儀的噪聲信號(hào)中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)突變和奇異信號(hào)，這會(huì)大大加大傅氏變換的計(jì)算難度。為解決上述問(wèn)題，小波變換被廣泛應(yīng)用于此類(lèi)信號(hào)處理中。但是小波變換在對(duì)高頻信號(hào)做閾值處理時(shí)，如果采用軟閾值處理，會(huì)導(dǎo)致濾波效果不佳[3]；如果采用硬閾值處理，則會(huì)導(dǎo)致部分有用信號(hào)被舍棄[4]。針對(duì)噪聲特性的不確定性，很多研究者也引入了最小二乘法對(duì)其進(jìn)行擬合估計(jì)[5]。但是直接使用最小二乘法進(jìn)行擬合會(huì)受到原始信號(hào)中噪聲的影響，使得擬合效果不盡如人意。

綜上所述，本文首先應(yīng)用小波分析法對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行分解，并對(duì)分解后的信號(hào)進(jìn)行軟閾值處理，其次將處理后的信號(hào)合成，得到粗糙去噪信號(hào)；然后采用遺忘因子的遞推最小二乘，對(duì)于粗糙去噪信號(hào)采用推廣遞推最小二乘進(jìn)行最優(yōu)估計(jì)，最終得到較理想去噪信號(hào)。在常溫25℃、高溫80℃、低溫-40℃下，利用本實(shí)驗(yàn)室自主研發(fā)的高精度三軸振動(dòng)陀螺實(shí)驗(yàn)表明：經(jīng)本融合算法處理后，振動(dòng)陀螺三個(gè)軸向的零偏穩(wěn)定性均有顯著提高。

1 小波降噪原理

小波變換可用于彌補(bǔ)傅里葉變換時(shí)域局部化特征差、不適用于突變信號(hào)的處理等。由于小波變換具有母函數(shù)類(lèi)型豐富、緊支性等優(yōu)勢(shì)，近年來(lái)被廣泛應(yīng)用于具有突變和奇異情況的非平穩(wěn)信號(hào)的研究中[6-9]。本文基于小波分析理論，結(jié)合采集的陀螺儀信息特點(diǎn)，采用軟閾值小波變換閾值法對(duì)測(cè)量的陀螺儀信息進(jìn)行觀測(cè)。

于是有：

2 含遺忘因子的推廣遞推最小二乘法擬合

在陀螺儀實(shí)際工作中，噪聲信號(hào)具有不確定性，并且常見(jiàn)突變和奇異信號(hào)，卡爾曼濾波使用在此場(chǎng)景下，常常會(huì)失去優(yōu)越性。經(jīng)過(guò)推導(dǎo)[11]，含遺忘因子的遞推最小二乘法數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

其中，λ為遺忘因子，其取值范圍為（0,1]；λ取值的大小負(fù)相關(guān)于參數(shù)變化的快慢，當(dāng)λ=1時(shí)，即為基本遞推最小二乘法。λ的取值對(duì)于擬合情況很關(guān)鍵，可由自適應(yīng)算法得到。

3 小波分析和推廣遞推最小二乘的融合去噪算法設(shè)計(jì)

3.1 小波濾波在陀螺儀中的應(yīng)用

假設(shè)陀螺儀原始測(cè)量信號(hào)的數(shù)學(xué)模型如下：

其中，s(k)是陀螺儀原始測(cè)量信號(hào)，f(k)是無(wú)偏信號(hào)，ε是噪聲系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差，e(k)是噪聲。

針對(duì)陀螺儀零偏測(cè)量值，噪聲一般集中于高頻信號(hào)中，而在低頻信號(hào)中幾乎不存在。對(duì)原始測(cè)量信號(hào)s（k）進(jìn)行多尺度分解，小波分解在陀螺儀信號(hào)處理應(yīng)用中的優(yōu)劣取決于小波母函數(shù)的選取和閾值函數(shù)的選擇，常見(jiàn)的閾值函數(shù)有硬閾值處理和軟閾值處理，其數(shù)學(xué)表達(dá)式分別如下：

硬閾值處理：

閾值處理：

本文根據(jù)陀螺儀數(shù)據(jù)特征對(duì)低頻分量進(jìn)行保留處理，對(duì)高頻信號(hào)進(jìn)行軟閾值處理，然后利用離散小波逆變換對(duì)處理后的分量進(jìn)行重構(gòu)，得到s1(k)，從而達(dá)到粗濾波效果。

3.2 小波分析和推廣遞推最小二乘的融合去噪算法

基于小波分析和推廣遞推最小二乘的融合算法的思想是：對(duì)原始測(cè)量信號(hào) s(k)k∈z進(jìn)行離散小波變換，經(jīng)過(guò)m層小波分解得到高頻分量H1、H2、…和低頻分量L1、L2、…，對(duì)各分量進(jìn)行軟閾值處理，再通過(guò)離散小波逆變換得到重構(gòu)信號(hào) s1(k)k∈z，該信號(hào)為粗濾波效果，將其作為遞推最小二乘法的初始值，即

融合去噪算法流程圖如圖1所示。

圖1 融合去噪算法流程圖Fig.1 Flow chart of fusion denoising algorithm

根據(jù)陀螺儀數(shù)據(jù)具有良好連續(xù)性的特性，本研究中選擇了具有緊支性和良好連續(xù)性和對(duì)稱(chēng)性的 Sym8小波作為母函數(shù)ψ(t)。小波分解的過(guò)程實(shí)則為不同尺度因子 a和不同縮放因子 b下計(jì)算最大相關(guān)因子的過(guò)程，其中

首先使小波函數(shù)與陀螺儀原始測(cè)量數(shù)據(jù)最前端數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，計(jì)算相關(guān)因子Ca,b(1,1)；再令小波函數(shù)平移2j個(gè)單位長(zhǎng)度，其中 j為正整數(shù)，遍歷整個(gè)信號(hào)數(shù)據(jù)進(jìn)而計(jì)算出[Ca,b(1,1),Ca,b(1,2),…,Ca,b(1,k)…]；然后將小波函數(shù)以2j倍進(jìn)行縮放，其中j為正整數(shù)且1jm＜≤，平移縮放后的小波函數(shù)遍歷整個(gè)過(guò)程，同理可得即可得相關(guān)因子矩陣：

本研究中融合算法的最小二乘目標(biāo)函數(shù)為：

其中，s1是觀察值，x為擬合值，即優(yōu)化目標(biāo)為最小化 s1和x之間的距離平方和。此時(shí)，可將目標(biāo)函數(shù)劃歸為矩陣求解問(wèn)題，然后求導(dǎo)后值為 0，從而得到極值，求解公式可抽象為公式(9)(10)：

4 實(shí)驗(yàn)分析

由以上理論分析可知，本融合算法能夠得到較好的濾波效果。為了驗(yàn)證本算法的可行性，使用本實(shí)驗(yàn)室自主研發(fā)的三軸振動(dòng)陀螺儀對(duì)本融合算法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，振動(dòng)陀螺所使用的數(shù)字處理器為DSP C6000系列處理器，其主頻可達(dá) 456 MHz，姿態(tài)角算法周期為0.5 ms。測(cè)試平臺(tái)如圖2所示，本測(cè)試平臺(tái)由雙軸測(cè)試轉(zhuǎn)臺(tái)機(jī)械臺(tái)體、測(cè)控系統(tǒng)和高低溫箱構(gòu)成，雙軸測(cè)試轉(zhuǎn)臺(tái)速率精度及平穩(wěn)性可達(dá)10-4(360°平均)；高低溫箱精度可達(dá)溫度波動(dòng)度小于±0.5℃；實(shí)驗(yàn)室自主研發(fā)的三軸振動(dòng)陀螺儀分辨率為0.005 (°)/s，測(cè)量范圍為300 (°)/s，工作溫度為?50℃～+125℃。

圖2 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)與實(shí)驗(yàn)流程示意圖Fig.2 Experimental platform and experimental flow diagram

實(shí)驗(yàn)中將陀螺儀置于常溫25℃、高溫85℃、低溫?40℃采樣環(huán)境中，持續(xù)放置1 h后通電采樣。在轉(zhuǎn)臺(tái)未使能狀態(tài)下，持續(xù)采集陀螺儀靜態(tài)數(shù)據(jù)30 min，將數(shù)據(jù)以每10 s為基準(zhǔn)得到基本取樣點(diǎn)，30 min內(nèi)可得到180個(gè)取樣點(diǎn)，作為原始信號(hào)數(shù)據(jù)。本研究實(shí)驗(yàn)中將原始信號(hào)數(shù)據(jù)、經(jīng)過(guò)傳統(tǒng)小波粗濾波數(shù)據(jù)和經(jīng)過(guò)本研究融合算法濾波后數(shù)據(jù)使用Matlab繪制成圖，實(shí)驗(yàn)中三類(lèi)數(shù)據(jù)為50次測(cè)量值的平均值。圖3～5依次表示為陀螺儀常溫25℃、高溫85℃和低溫?40℃工作狀態(tài)下的實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)信息圖。其中：圖(a)表示 X軸數(shù)據(jù)信息，圖(b)表示Y軸數(shù)據(jù)信息，圖(c)表示Z軸數(shù)據(jù)信息，綠線代表原始數(shù)據(jù)，紅線代表粗濾波數(shù)據(jù)，藍(lán)線代表本研究中融合算法數(shù)據(jù)；實(shí)驗(yàn)中取樣頻率為2000 Hz。

如圖3～5所示，可以明顯看出在不同溫度狀態(tài)下，陀螺儀原始數(shù)據(jù)波形均具有很多噪聲，粗濾波后的數(shù)據(jù)噪聲有所抑制但不夠顯著，而經(jīng)過(guò)本研究融合算法濾波后的數(shù)據(jù)趨于平緩，零偏穩(wěn)定性有了明顯改善。

圖3 陀螺儀在25℃工作狀態(tài)下實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)信息圖Fig.3 Real-time data information diagram of gyroscope working at 25℃

圖4 陀螺儀在85℃工作狀態(tài)下實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)信息圖Fig.4 Real-time data information diagram of gyroscope working at 85℃

圖5 陀螺儀在?40℃工作狀態(tài)下實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)信息圖Fig.5 Real-time data information diagram of gyroscope working at ?40℃

需要注意的是：不同溫度下，融合算法中小波分解的層數(shù)m不一定一致，當(dāng)m達(dá)到一定級(jí)別后，m+1層分解與m層分解數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差基本相等，此時(shí)便不需要再增加m的值。

不同工作狀態(tài)下，陀螺儀三個(gè)軸向三組數(shù)據(jù)零偏穩(wěn)定性數(shù)據(jù)對(duì)比如表1所示。

表1 陀螺儀三個(gè)軸向三組數(shù)據(jù)零偏穩(wěn)定性數(shù)據(jù)Tab.1 Three sets of triaxial data zero offset stability of the gyroscope (°/s)

從以上圖表中可以明顯看出，經(jīng)本研究融合算法處理后的陀螺儀三個(gè)軸向數(shù)據(jù)的零偏穩(wěn)定性相較于原始數(shù)據(jù)和經(jīng)傳統(tǒng)小波濾波處理后數(shù)據(jù)均有提高，為了定量地表示本設(shè)計(jì)對(duì)陀螺儀零偏穩(wěn)定性的提高程度，本文定義性能提高度（S）：

其中，std0代表原始數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)值，stdm表示經(jīng)過(guò)處理后數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差值。

傳統(tǒng)小波濾波和本研究融合算法性能提高度數(shù)據(jù)對(duì)比如表2所示。

表2 傳統(tǒng)小波濾波和本研究融合算法性能提高度Tab.2 Comparison on performance improvements between traditional wavelet filter and the proposed fusion algorithm

通過(guò)表2數(shù)據(jù)可知，針對(duì)本實(shí)驗(yàn)室獨(dú)立研發(fā)的陀螺儀，基于傳統(tǒng)小波濾波后的數(shù)據(jù)性能提高度為20%左右，而基于小波分析和推廣遞推最小二乘擬合融合算法處理后的數(shù)據(jù)性能提高度在常溫 25℃下可達(dá)到了40%以上，在高溫85℃下可達(dá)35%左右，在低溫下可到 37%以上；不同工作環(huán)境中，本融合對(duì)于 x軸的零偏性能影響最大，性能提高度均達(dá)到了 50%以上。由此可知本研究中的融合算法可以顯著提高陀螺儀零偏穩(wěn)定性。

5 結(jié) 論

零偏穩(wěn)定性是衡量陀螺儀優(yōu)劣的重要指標(biāo)。小波分析和推廣遞推最小二乘融合算法是將原始陀螺儀零偏數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)多層次小波分解后，然后進(jìn)行軟閾值處理，緊接著進(jìn)行小波重構(gòu)得到粗濾波數(shù)據(jù)信息，再通過(guò)推廣遞推最小二乘法對(duì)粗濾波數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，最終得到較理想的陀螺儀零偏信息。通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證可得，在常溫25℃、高溫85℃、低溫-40℃不同工作條件下，經(jīng)過(guò)小波分析和推廣遞推最小二乘擬合融合算法處理后的三個(gè)軸向數(shù)據(jù)相比于原始數(shù)據(jù)穩(wěn)定性提高了40%左右，相較于傳統(tǒng)小波分析所得數(shù)據(jù)穩(wěn)定性提高了 20%左右。由實(shí)驗(yàn)分析可得，本研究算法濾波效果較為明顯。