李凌

田忌賽馬的故事廣為流傳。戰(zhàn)國(guó)時(shí)期齊威王與大將田忌賽馬，二者各有三匹好馬：上馬，中馬與下馬。比賽分三次進(jìn)行，由于兩者的馬力相差無(wú)幾，而齊威王的馬分別比田忌的相應(yīng)等級(jí)的馬要好，所以一般人都以為田忌必輸無(wú)疑。但是田忌采納了門(mén)客孫臏的意見(jiàn)，分別用自己的下馬、上馬、中馬，對(duì)齊威王的上馬、中馬、下馬，結(jié)果田忌以2比1勝齊威王。這是我國(guó)古代運(yùn)用對(duì)策論思想解決問(wèn)題的一個(gè)范例。這則故事敘事簡(jiǎn)潔，寓意深刻，學(xué)生從中能很容易領(lǐng)悟到的是：遇事不能蠻干，要善于思考，不同的策略可能會(huì)導(dǎo)致截然相反的結(jié)果！

“雞兔同籠”是我國(guó)古代著名趣題之一。大約在1500年前，《孫子算經(jīng)》就記載了這個(gè)有趣的問(wèn)題：今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問(wèn)雞兔各幾何？

解答思路是這樣的：一、假如雞和兔同有四條腿，則應(yīng)有140條腿，相比94多了46條腿，每2條腿對(duì)應(yīng)一只雞，則雞的數(shù)量為23，兔為22。二、反過(guò)來(lái)假設(shè)兔同雞一樣為2條腿，則腿總數(shù)為70，相比94少了24條腿，每2條腿對(duì)應(yīng)一只兔，則兔的數(shù)量為22，雞為23。三、假如砍去每只雞、兔一半的腳，則每只雞就變成了“獨(dú)角雞”，每只兔就變成了“雙腳兔”。這樣雞和兔的腳的總數(shù)就由94只變成了47只，而此時(shí)籠子里每多一只兔子，則腳的總數(shù)就比頭的總數(shù)多1。因此，腳的總數(shù)47與頭的總數(shù)35的差，就是兔子的只數(shù)22，雞的只數(shù)為23。這一“砍足法”思維方法叫化歸法?；瘹w法就是在解決問(wèn)題時(shí)，先不對(duì)問(wèn)題采取直接的分析，而是將題中的條件或問(wèn)題進(jìn)行變形，使之轉(zhuǎn)化，直到最終把它歸成某個(gè)已經(jīng)解決的問(wèn)題。

數(shù)學(xué)中的悖論有趣而發(fā)人深省。如著名的“理發(fā)師悖論”：某理發(fā)師約定只為不自己刮臉的人刮臉，不為自己刮臉的人刮臉。乍一看清晰明了，沒(méi)啥問(wèn)題，但當(dāng)?shù)诙煲辉缋戆l(fā)師自己為自己刮臉時(shí)問(wèn)題來(lái)了：他若為自己刮臉，那他是個(gè)“自己刮臉的人”，按照約定他不應(yīng)當(dāng)為這類(lèi)人刮臉；他若不為自己刮臉，那他是個(gè)“不自己刮臉的人”，按照約定他應(yīng)當(dāng)為這類(lèi)人刮臉。結(jié)果是他刮不刮臉都違反了自己的約定。

古希臘的學(xué)者曾經(jīng)提出一個(gè)著名的“龜兔賽跑悖論”：烏龜先爬了一段在A(yíng)1點(diǎn)，兔子在起點(diǎn)B點(diǎn)。兔子想要追上烏龜，就必須到達(dá)烏龜開(kāi)始所在的點(diǎn)A1。但當(dāng)兔子到達(dá)A1點(diǎn)時(shí)，烏龜又爬了一段到達(dá)A2點(diǎn)（它們之間的相對(duì)距離減小了）。然后兔子又必須追趕到達(dá)A2點(diǎn)，可是此時(shí)烏龜又到達(dá)A3點(diǎn)（它們之間相對(duì)距離繼續(xù)縮?。Ｍ米酉胱飞蠟觚敱仨毜竭_(dá)A3點(diǎn)，可是烏龜已經(jīng)爬到A4點(diǎn)……這樣下去，兔子和烏龜之間的距離會(huì)越來(lái)越小，一直跑下去，兔子和烏龜之間的距離會(huì)達(dá)到無(wú)窮小，但兔子無(wú)論如何也追不上烏龜----但這明顯違背生活常識(shí)。數(shù)學(xué)史上把貝克萊的問(wèn)題稱(chēng)之為“貝克萊悖論”，這一“龜兔賽跑悖論”實(shí)際上屬于“貝克萊悖論”的不同表述形式。籠統(tǒng)地說(shuō)，貝克萊悖論可以表述為“無(wú)窮小量究竟是否為0”的問(wèn)題：就無(wú)窮小量在當(dāng)時(shí)實(shí)際應(yīng)用而言，它必須既是0，又不是0。但從形式邏輯而言，這無(wú)疑是一個(gè)矛盾。有趣的悖論能有效引發(fā)學(xué)生思考問(wèn)題，提高學(xué)習(xí)效率。

（作者單位：無(wú)錫機(jī)電高等職業(yè)技術(shù)學(xué)校）