謝曉東，趙三星

（武漢科技大學 機械自動化學院，湖北 武漢 430081）

1 引言

微滑接觸是指在摩擦接觸中，當接觸體受到法向力和切向力的作用，但是切向力不足以使接觸體發(fā)生宏觀的滑動時，在接觸面間會產(chǎn)生微滑區(qū)域和粘著區(qū)域。微滑區(qū)域表示接觸體在外加載荷的作用下發(fā)生相對微小滑移的區(qū)域；粘著區(qū)域則表示接觸體在外加載荷作用下沒有相對移動的區(qū)域。

文獻[1-2]最早建立了彈性微滑接觸的力學模型。他們假定在微滑區(qū)域的局部切向力大小等于最大靜摩擦力，通過彈性力學理論分析得到了微滑接觸的解析解。文獻[3]進一步總結了Cattaneo-Mindlin的線接觸微滑模型。文獻[4-5]又分析了粗糙表面對于微滑接觸的影響，但是所用的粗糙表面都是規(guī)則粗糙表面。

上述對于微滑接觸的研究都是僅限于同質(zhì)接觸，即兩個接觸體的材料相同。對同質(zhì)微滑接觸來說，切向應力的變化對彈性變形不會產(chǎn)生影響。而對于異質(zhì)微滑接觸，切向應力的變化會對彈性變形產(chǎn)生影響，此時微滑接觸就不符合Cattaneo-Mindlin接觸問題。文獻[6]最早用數(shù)值方法進行耦合求解異質(zhì)微滑接觸問題，得到了剛性平底壓頭接觸問題的數(shù)值解。文獻[7-8]又首次將共軛梯度法（CGM）用于同質(zhì)和異質(zhì)微滑接觸中的應力求解，加快了計算過程。主要分析粗糙表面對于接觸應力產(chǎn)生的影響，所以采用同質(zhì)接觸來簡化計算模型。

半解析法被用來求解這里的微滑接觸問題，即利用解析的方法求得影響系數(shù)，然后通過疊加原理，得到數(shù)值解。具體過程：通過格林函數(shù)推導出應力-應變的影響系數(shù)[12]。影響系數(shù)等于單位應力的作用下產(chǎn)生的應變，這樣只需在意計算區(qū)域的網(wǎng)格劃分，節(jié)省了計算時間。最后通過應力疊加得到應變。在計算過程中采用快速傅里葉變換方法（FFT）[9]和共軛梯度法（CGM）[10]，這可進一步加快計算過程，節(jié)省計算時間。

對于實際中的工程接觸問題大多數(shù)都是粗糙表面接觸，而粗糙表面多數(shù)符合非高斯分布。將非高斯表面疊加到微滑接觸中，使接觸問題更加的接近于實際。通過選取不同參數(shù)的粗糙表面，來分析非高斯粗糙表面對接觸應力的影響。

2 理論模型

采用的彈性微滑接觸模型，如圖1（a）所示。上面為一個彈性球體，彈性模量和泊松比分別為E1，V1，下面為半空間，彈性模量和泊松比分別為E2，V2。彈性球體受到三個方向的力：法向力W和切向力Fx，F(xiàn)y，在接觸面間分別產(chǎn)生法向壓力p和切向應力qx和qy。

圖1 三維接觸微滑模型和接觸變量Fig.1 3-D Contact Model and Variables Under Partial Slip Conditions

接觸表面間的接觸間隙滿足如下方程式：

式子：g—接觸表面間隙；h0—初始剛體間距；δz—接觸對在z方向

的兩個表面的剛體位移；uz—接觸對在z方向的彈性位移。

當受到法向力作用時，根據(jù)接觸力學[12]中的理論分析，接觸表面點（x，y）處的彈性位移uz可以表示為：

式中：M、N—離散化后 x，y 方向的網(wǎng)格數(shù)；（i，j）—離散化坐標；p—接觸面間的壓力；K—應力-應變影響系數(shù)，等于單位法向壓力作用下的表面變形，可以通過格林函數(shù)插值求解[12]。為了節(jié)省計算時間，采用快速傅里葉變換方法（FFT）[11]來計算彈性位移。

在接觸問題中接觸壓力和接觸間隙需要滿足如下邊界條件：

在接觸區(qū)域內(nèi)：

根據(jù)上述條件可以知道接觸問題實際上變成了線性補余問題，將式（1）寫成如下形式：

式中：hi—常數(shù)矩陣，而Kp—彈性變形。

通過變分原理將式（6）轉(zhuǎn)變?yōu)槎魏瘮?shù)的條件極值問題，即尋找函數(shù)：在約束條件式（4）和式（5）下的條件極值，然后就可以應用共軛梯度法來求解[13]。

文獻[12]總結了微滑接觸的理論模型，如下所示：

式中：ux，uy—接觸對在 x，y 方向的彈性位移；δx，δy—接觸對在 x，y方向兩個表面的剛體位移；Sx和Sy—接觸對沿x，y方向的相對滑移距離。以上的各個變量的實際意義已經(jīng)詳細表示在圖 1（b）中。

由于接觸面間的初始應力分布已經(jīng)從式（1）中的純法向接觸求解得到，所以上述微滑模型可以簡化為：

式（8）和式（9）中x，y方向的彈性位移可以根據(jù)

如下公式求解

式（10）中的 m 可以是 x或者 y，Kmx，Kmy，Kmz分別表示 x，y，z方向的單位切向應力和單位接觸壓力作用下產(chǎn)生的切向位移[12]。同樣，對式（10）的計算可以采用FFT算法，以節(jié)省計算時間。

切向應力qx，qy和滑移距離Sx，Sy在粘著區(qū)域和微滑區(qū)域要遵循如下邊界條件：

粘著區(qū)：

式（11）和式（12）中的μf表示摩擦系數(shù)，這樣式（9）的微滑模型就可以通過共軛梯度法求解[7]。

為更接近于實際，研究了粗糙表面彈性微滑接觸問題。首先，基于參考文獻[11]中的方法生成非高斯粗糙表面，文獻中比較了數(shù)值方法生成粗糙表面和實際粗糙表面，兩個表面具有高度的一致性。之后，采用上述方法對粗糙表面微滑接觸問題進行分析。

3 計算結果與比較

3.1 算法驗證

首先計算不考慮粗糙度的光滑表面微滑接觸，來驗證算法的正確性。根據(jù)表1中的球-面微滑接觸實際數(shù)據(jù)和這里的算法得到了如圖2所示的切向應力的數(shù)值解，通過與解析解[3]相比較，發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)和圖形幾乎完全一致，即證明了這里算法的可靠性。圖中的qx和ph分別表示切向應力和最大赫茲接觸應力，a表示赫茲接觸半徑。

表1 輸入?yún)?shù)Tab.1 Input Parameters

圖2 切向應力在y=0處的分布Fig.2 Tangential Stress Distribution in y=0

3.2 粗糙表面微滑接觸

求解粗糙表面的微滑接觸問題，首先要生成接近于實際工況的非高斯粗糙表面。生成粗糙表面所采用的網(wǎng)格為（128×128），粗糙表面的數(shù)據(jù)為：各向同性粗糙表面x和y方向的波長βx和βy都為 20μm，RMS為 0.1μm，偏態(tài) SK 的分別為取值 0.0、0.5、1.0、1.5。峰度 K 的取值范圍為（3～10）。

由于非高斯粗糙表面生成具有隨機性，所以本文對于同一參數(shù)的粗糙表面分別生成十個，并分別計算求解了最大應力，最后取平均值，以期獲得可靠的接觸規(guī)律。

在粗糙表面接觸問題，最大表面應力是機械零部件的界面破壞分析和使用壽命設計的一個重要參考指標。在不同峰度和正偏態(tài)粗糙表面下的最大切向應力和最大接觸壓力（球-面微滑接觸參數(shù)見表1），如圖3所示。從圖中可以看出：對最大切向應力，偏態(tài)一定，峰度對最大切向應力的影響較小。隨著峰度的增加，最大切向應力基本保持不變；如果峰度一定，隨著偏態(tài)的增加，最大切向應力減小。對最大接觸壓力，偏態(tài)一定，隨著峰度的增加，最大接觸壓力逐漸增加，如果峰度一定，隨著偏態(tài)的增加，最大接觸壓力減小。

圖3 不同的峰度和正偏態(tài)對最大切向應力和最大接觸壓力的影響Fig.3 The Influence of Different Positive Skewness and Kurtosis to Maximum Tangential Stress and Maximum Pressure

上面所討論的粗糙表面都是正偏態(tài)表面，而負偏態(tài)的表面也廣泛存在于生產(chǎn)實際中，不同峰度和負偏態(tài)的粗糙表面對最大應力產(chǎn)生的影響，如圖4所示。從圖4中可以看出：對最大切向應力，負偏態(tài)的變化對最大切向應力的影響較小。峰度一定，隨著偏態(tài)的變化，最大切向應力基本保持不變。對最大接觸壓力，峰度一定，隨著偏態(tài)減小，最大接觸壓力也隨著減小。

圖4 不同的峰度和負偏態(tài)對最大切向應力和最大接觸壓力的影響Fig.4 The Influence of Different Negative Skewness and Kurtosis to Maximum Tangential Stress and Maximum Pressure

正負偏態(tài)對最大應力的影響情況，如圖5所示。從圖5中可以看出：峰度一定，負偏態(tài)的最大切向應力和最大接觸壓力要比正偏態(tài)的情況下都要大。同時，正負偏態(tài)的最大接觸壓力和最大切向應力隨峰度的變化趨勢基本一致。

圖5 正負偏態(tài)粗糙表面對最大切向應力和最大接觸壓力的影響對比Fig.5 The Influence of Positive and Negative Skewness on the Maximum Tangential Stress and Maximum Pressure

粗糙表面除了各向同性表面還存在著各向異性表面。所謂各向異性粗糙表面就是表面的波長βx和βy不再相等，此處取x，y方向的波長分別為20μm和200μm，其他參數(shù)不變。各向同性和各向異性粗糙表面的最大應力，如圖6所示?？梢钥闯觯涸谙嗤姆宥群推珣B(tài)條件下，各向同性與各向異性粗糙表面的最大表面應力比較接近。各向同性和各向異性的最大切向應力基本一致；各向同性的最大接觸壓力略大于各向異性。

圖6 各向同性和各向異性粗糙表面對最大切向應力和最大接觸壓力的影響Fig.6 The Influence of Isotropic and Anisotropic Rough Surface to Maximum Tangential Stress and Maximum Pressure

4 結論

通過半解析法結合快速傅里葉變換（FFT）和共軛梯度方法（CGM）求解微滑接觸問題。將不同峰度和偏態(tài)的非高斯粗糙表面疊加到接觸面，分析最大接觸壓力和最大切向應力的變化情況，得到如下結論：

（1）對于固定的正偏態(tài)，隨著峰度的增加，最大接觸壓力也隨著不斷增加，但是最大切向應力基本保持不變。對于固定的峰度，隨著正偏態(tài)的增加，最大接觸壓力和最大切向應力反而減小。

（2）對于負偏態(tài)粗糙面，偏態(tài)值的變化對于最大切向應力的影響較?。粚τ诠潭ǖ姆宥?，隨著負偏態(tài)的減小，最大接觸壓力也隨之減小。同時，負偏態(tài)的最大切向應力和最大接觸壓力要比正偏態(tài)下大。

（3）各向同性和各向異性粗糙表面的最大切向應力和最大接觸壓力比較接近。在相同的偏態(tài)和峰度條件下，最大切向應力基本保持不變。各向同性的最大接觸壓力略大于各向異性。