摘 要：本文從導(dǎo)函數(shù)的根的存在性、根是否屬于定義域、根的大小關(guān)系等三個方面探討了導(dǎo)數(shù)問題中的分類討論策略.

關(guān)鍵詞：單調(diào)區(qū)間；極值；分類；取值范圍

作者簡介：曹輝 （1976-），男，甘肅永昌人，本科，中學(xué)一級教師，研究方向：中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué).

分類討論是解決含有參數(shù)的復(fù)雜數(shù)學(xué)問題的重要數(shù)學(xué)思想之一分類討論是當(dāng)問題所給的研究對象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時，對研究對象按照某種標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，然后分別對每一類對象進(jìn)行研究并得出結(jié)論，最后綜合各類的研究結(jié)果對問題進(jìn)行整體的解釋.

近年，高考解答題對導(dǎo)數(shù)部分的考查幾乎都會涉及到對某個參數(shù)的分類討論，但總體表明考生的得分率并不高.主要原因有兩個：一是不能理解題意；二是不會分類討論.分類討論不僅是高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn)，還是高考的難點(diǎn).每年高考試題中都會設(shè)置分類討論問題，通過分類討論考查推理的嚴(yán)謹(jǐn)性和分析問題、解決問題的能力.因此，在教授導(dǎo)數(shù)時，要讓學(xué)生掌握常見的分類討論策略.本文對這類問題從3個方面談?wù)剬?dǎo)數(shù)中如何把握對參數(shù)的分類討論.

一、有沒有

導(dǎo)函數(shù)的根的存在性討論.

例1 求函數(shù)f（x）=x3+ax2+x的單調(diào)區(qū)間.

分析 對于三次或三次以上的函數(shù)求單調(diào)區(qū)間，基本上是運(yùn)用求導(dǎo)法，所以對函數(shù)f（x）=x3+ax2+x進(jìn)行求導(dǎo)可以得到導(dǎo)函數(shù)f ′（x）=3x2+2ax+1觀察發(fā)現(xiàn)，該導(dǎo)函數(shù)無法因式分解，故無法確定方程3x2+2ax+1=0是否有實根因此，首先考慮方程是否有解方程根的判別式Δ=4a2-12.

若Δ=4a2-12<0，即-30 在R上恒成立，所以f（x）在R上單調(diào)遞增；

若Δ=4a2-12=0，即a=±3，方程3x2+2ax+1=0有兩個相等的實根，x1=x2=-a3，即f ′（x）≥0在R上恒成立，所以f（x）在R上單調(diào)遞增；

若Δ=4a2-12>0，即a<-3或a>3，則方程3x2+2ax+1=0有兩個不同實根，由求根公式可解得x1=-a-a2-33，x2=-a+a2-33，顯然x1

表1

x（-∞，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+∞）

f ′（x）+0-0+

f（x）單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

綜上所述，當(dāng)-3≤a≤3時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，+∞），沒有單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)a<-3或a>3時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-a-a2-33）和（-a+a2-33，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-a-a2-33，-a+a2-33）.

例2 設(shè)函數(shù)f（x）=ex-ax-2，求f（x）的單調(diào)區(qū)間.

分析 此題與例1一樣，可以用求導(dǎo)法討論單調(diào)區(qū)間對函數(shù)f（x）=ex-ax-2進(jìn)行求導(dǎo)，得到f ′（x）=ex-a.觀察發(fā)現(xiàn)，無法確定方程ex-a=0是否有實根，因此，首先考慮方程是否有解對于含有超越式的方程是否有根問題，判別式無法使用，可轉(zhuǎn)化為值域問題解決.

因為ex≥0，所以若a≤0，則f ′（x）≥0在R上恒成立，所以f（x）在R上單調(diào)遞增；若a>0，由ex-a=0得x=lna，當(dāng)xlna時f ′（x）>0，所以f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，lna）， 單調(diào)遞增區(qū)間是（lna，+∞）.

綜上所述，當(dāng)a≤0時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，+∞），沒有單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)a>0時， f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，lna）， 單調(diào)遞增區(qū)間是（lna，+∞）.

二、在不在

求導(dǎo)后，導(dǎo)函數(shù)為零有實根（或?qū)Ш瘮?shù)的分子能分解因式），但不知導(dǎo)函數(shù)為零的實根是否落在定義域內(nèi)，從而引起討論.

例3 （2008高考浙江卷理科）已知a是實數(shù)，函數(shù)f（x）=x（x-a）.

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）設(shè)g（a）為f（x）在區(qū)間0，2上的最小值.

（i）寫出g（a）的表達(dá)式；

（ii）求a的取值范圍，使得-6≤g（a）≤-2.

分析 （Ⅰ）函數(shù)的定義域為0，+∞，f ′（x）=x+x-a2x=3x-a2x=3（x-a3）2x（x>0）.

由f ′（x）=0得x=a3.考慮a3是否落在導(dǎo)函數(shù)f ′（x）的定義域（0，+∞）內(nèi)，需對參數(shù)a的取值進(jìn)行討論.

（1）當(dāng)a≤0時，因為f ′（x）>0在（0，+∞）上恒成立，所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為0，+∞.

（2）當(dāng)a>0時，由f ′（x）>0，得x>a3；由f ′（x）<0，得0

因此，當(dāng)a>0時，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為0，a3，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為a3，+∞.

（Ⅱ）（i）由第（Ⅰ）問的結(jié)論可知：

（1）當(dāng)a≤0時，f（x）在0，+∞上單調(diào)遞增，從而f（x）在0，2上單調(diào)遞增，所以g（a）=f（0）=0.

（2）當(dāng)a>0時，f（x）在0，a3上單調(diào)遞減，在a3，+∞上單調(diào)遞增.

①當(dāng)a3∈（0，2），即0

②當(dāng)a3∈2，+∞，即a≥6時，f（x）在0，2上單調(diào)遞減，所以g（a）=f（2）=2（2-a）.

綜上所述，g（a）=0，a≤0-2a3a3，0

（ii）令-6≤g（a）≤-2.

①a≤0，無解；

②若0

③若a≥6，由-6≤2（2-a）≤-2，解得6≤a≤2+32.

綜上所述，a的取值范圍為3≤a≤2+32.

三、誰大誰小

求導(dǎo)后，導(dǎo)函數(shù)為零有實根（或?qū)Ш瘮?shù)的分子能分解因式）， 導(dǎo)函數(shù)為零的實根也落在定義域內(nèi)，但不知這些實根的大小關(guān)系，從而引起討論.

例4 求函數(shù)f（x）=13x3+1-a2x2-ax-a，x∈R的單調(diào)區(qū)間.

分析 對于三次或三次以上的函數(shù)求單調(diào)區(qū)間，基本是運(yùn)用求導(dǎo)法，所以對函數(shù)f（x）=13x3+1-a2x2-ax-a進(jìn)行求導(dǎo)，得到導(dǎo)函數(shù)f ′（x）=x2+（1-a）x-a觀察可知，導(dǎo)函數(shù)可以因式分解為f ′（x）=x2+（1-a）x-a=（x-a）（x+1）由此可知方程f ′（x）=0有兩個實根x1=a，x2=-1，由于a的范圍未知，要討論函數(shù)f（x）=13x3+1-a2x2-ax-a的單調(diào)性，需要討論兩個根的大小.

當(dāng)a<-1時，f（x），f ′（x）隨x的變化情況如下：

x（-∞，a）a（a，-1）-1（-1，+∞）

f ′（x）+0-0+

f（x）單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

所以，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，a）和（-1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（a，-1）.

當(dāng)a=-1時， f ′（x）≥0在R上恒成立，所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，+∞），沒有單調(diào)遞減區(qū)間.

當(dāng)a>-1時，f（x），f ′（x）隨x的變化情況如下：

表3

x（-∞，-1）-1（-1，a）a（a，+∞）

f ′（x）+0_0+

f（x）單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

所以，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1）和（a，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，a）.

綜上所述，當(dāng)a<-1時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，a）和（-1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（a，-1）；當(dāng)a=-1時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，+∞），沒有單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)a>-1時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1）和（a，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，a）.

以上三點(diǎn)即為含參數(shù)導(dǎo)數(shù)問題的三個基本討論點(diǎn)，在求解有關(guān)含參數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題時，可按上述三點(diǎn)的順序?qū)?shù)進(jìn)行討論.因此，對含參數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題的討論，還是有一定規(guī)律可循的.當(dāng)然，在具體解題中，可能要討論其中的兩點(diǎn)或三點(diǎn)，這時的討論就更復(fù)雜一些了，需要靈活把握.