☉江蘇省華羅庚中學(xué) 王國俊

圖形的應(yīng)用在各級各類考試，特別是高考中出現(xiàn)的頻率越來越高，內(nèi)容可以涉及方方面面的問題：集合中的圖形、函數(shù)的圖像、幾何圖形（平面幾何、平面解析幾何、立體幾何）、三角函數(shù)的圖像、算法的程序框圖、統(tǒng)計圖、概率中的圖形以及線性規(guī)劃的平面區(qū)域等.其主要目的是引導(dǎo)學(xué)生深入生活，在了解社會實(shí)際問題的同時不斷擴(kuò)大自身的知識面，才能在實(shí)際解決問題時立于不敗之地.關(guān)鍵是正確理解相關(guān)圖形的變化規(guī)律，通過圖形特征加以綜合分析.

一、由函數(shù)判斷圖形

此類問題往往直接結(jié)合函數(shù)的基本性質(zhì)來判斷、利用函數(shù)的變化規(guī)律加以排除、結(jié)合函數(shù)的特征加以特殊應(yīng)用、利用實(shí)際問題加以一般性轉(zhuǎn)化等，抓住函數(shù)的特點(diǎn)，利用性質(zhì)法、排除法、特殊值法等加以解決.

例1 （原創(chuàng)題）若直線l：y=kx+1被圓C：x2+y2-2x-3=0截得的弦長為t，則t關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式為t=f（k），則該函數(shù)t=f（k）的圖像大致為（）.

分析：直接利用直線與圓的位置關(guān)系來確定相應(yīng)的函數(shù)解析式難度比較大，通過特殊情況下對應(yīng)的弦長的最值情況加以排除，切入點(diǎn)巧妙，簡單快捷.

點(diǎn)評：函數(shù)與圖像問題，是高中數(shù)學(xué)的主體內(nèi)容.函數(shù)可以把圖像精確化、細(xì)微化；反之，圖像能使函數(shù)直觀化、形象化.高中對函數(shù)圖像的要求有三個方面：作圖、識圖、用圖.作圖是基本能力，識圖是綜合素質(zhì)，用圖是最終目標(biāo).

二、由圖形辨別信息

此類問題往往結(jié)合已知圖形的特征，經(jīng)常涉及集合的包含關(guān)系、統(tǒng)計圖形、概率圖形等，根據(jù)相應(yīng)圖形中的信息得到對應(yīng)的數(shù)據(jù)信息，再結(jié)合對應(yīng)的數(shù)據(jù)來解決相應(yīng)的問題，達(dá)到由圖形正確處理對應(yīng)的信息問題.

例2（改編題）有一個容量為200的樣本，其頻率分布直方圖如圖1所示，根據(jù)樣本的頻率分布直方圖估計，樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間［10，12）內(nèi)的頻數(shù)為（ ）.

A.18 B.36 C.54 D.72

對于高職院校學(xué)生來講，英語依舊是必修課程，但是非英語專業(yè)的學(xué)生在學(xué)習(xí)英語時難度相對較大，而且大多數(shù)學(xué)生會對英語產(chǎn)生抵觸情緒。再加上現(xiàn)實(shí)生活中，缺乏完善的語言應(yīng)用環(huán)境，學(xué)生在學(xué)習(xí)英語口語時，很容易出現(xiàn)錯誤，即少數(shù)學(xué)生的英語應(yīng)試能力良好，而口語表達(dá)能力明顯不足，無法用簡單的英語進(jìn)行交流。語言之所以存在，就是為給人際交往提供便利，如果英語學(xué)習(xí)只是單純應(yīng)對考試，那么真正價值就難以得到充分發(fā)揮。所以，英語教師通過深化改革并創(chuàng)新教學(xué)模式，以此提高學(xué)生的口語表達(dá)能力已經(jīng)成為必然趨勢。PBL教學(xué)模式以其自身的獨(dú)特優(yōu)勢，在英語口語教學(xué)中備受青睞，其主要通過創(chuàng)建語言環(huán)境，設(shè)置開放式，具有現(xiàn)實(shí)意義的問題。

分析：正確分析統(tǒng)計中對應(yīng)的頻率分布直方圖所對應(yīng)的統(tǒng)計信息，再結(jié)合這些統(tǒng)計信息得到對應(yīng)，根據(jù)對應(yīng)的公式加以計算.

解析：根據(jù)頻率分布直方圖，［10，12）這個區(qū)間所對應(yīng)的頻率為：1-（0.02+0.05+0.15+0.19）×2=0.18，其對應(yīng)的的數(shù)值為0.18÷2=0.09，那么容量為200的樣本的數(shù)量在［10，12）的頻數(shù)為200×0.18=36.故選B.

圖1

點(diǎn)評：通過頻率分布直方圖中的圖形信息來進(jìn)行相關(guān)的運(yùn)算問題，達(dá)到運(yùn)用圖表解決實(shí)際問題的水平和能力.正確讀懂頻率分布直方圖，根據(jù)相應(yīng)圖中的信息得到對應(yīng)的數(shù)據(jù)信息是統(tǒng)計數(shù)據(jù)處理的關(guān)鍵所在.

三、由圖形轉(zhuǎn)化圖形

此類問題往往出現(xiàn)在立體幾何中，把相應(yīng)的三視圖轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的立體幾何的直觀圖、把對應(yīng)的平面幾何圖形折疊成相應(yīng)的立體幾何圖形等，通過圖形的轉(zhuǎn)化，建立對應(yīng)之間的等量關(guān)系與不變量，結(jié)合圖形的性質(zhì)加以分析與處理.

例3（2015年1月湖北省襄陽市普通高中調(diào)研統(tǒng)一測試）若某多面體的三視圖如圖2所示，則此多面體外接球的表面積是（ ）.

分析：關(guān)鍵是結(jié)合三視圖準(zhǔn)確確定對應(yīng)的幾何體的直觀圖，再結(jié)合直觀圖的性質(zhì)確定其對應(yīng)的外接球問題即可.

解析：結(jié)合三視圖可得其對應(yīng)的幾何體如圖3所示，其是正方體去掉一個角后的幾何體，它的外接球就是該正方體的外接球，外接球的直徑就是正方體的對角線，而其對角線的長度為=，其對應(yīng)的外接球的半徑為那么對應(yīng)的外接球的表面積為S=4πr2=3π.故選D.

圖2

圖3

點(diǎn)評：在確定三視圖中的有關(guān)表面積問題時，一般要結(jié)合直觀圖的實(shí)物加以分析，通過構(gòu)造各長度之間的相應(yīng)關(guān)系式，并結(jié)合簡單幾何體的表面積公式加以求解.關(guān)鍵是對幾何體正確還原，并根據(jù)三視圖的長度求出幾何體的幾何元素的長度，再代入對應(yīng)的公式進(jìn)行求解，考查了空間想象能力.

四、由圖形解決問題

此類問題往往結(jié)合給定的函數(shù)圖像、幾何圖形及其變化的特殊加以分析，確定函數(shù)的變化規(guī)律以及圖形中特征所在，進(jìn)而用來解決一些相應(yīng)的問題（包括數(shù)學(xué)問題、實(shí)際應(yīng)用問題等），進(jìn)而達(dá)到利用圖形解決問題的目的.

A.S圓＞S圓環(huán)B.S圓=S圓環(huán)C.S圓＜S圓環(huán)D.不確定

圖4

分析：設(shè)截面與水平面α的高為h（0≤h≤R），結(jié)合圖形以及比例關(guān)系分別確定截面圓與圓環(huán)對應(yīng)的面積，進(jìn)而加以分析與比較，得以正確判斷.

解析：設(shè)此時截面與水平面α的高為h（0≤h≤R），那么S圓=πr2=π（R2-h2），S圓環(huán)=πR2-πr2，而這里有，即r=h，則有S圓環(huán)=πR2-πh2，故有S圓=S圓環(huán).故選B.

點(diǎn)評：通過圖形中的動態(tài)變化規(guī)律來解決靜態(tài)的函數(shù)關(guān)系、不等關(guān)系等是圖形問題中比較常見的一類應(yīng)用類型，解決此類問題的關(guān)鍵是引入對應(yīng)的參數(shù)，通過計算與比較來加以正確分析與判斷，進(jìn)而達(dá)到解決問題的目的.

五、由圖形確定函數(shù)

此類問題往往結(jié)合圖形（函數(shù)圖像、向量、算法的程序框圖等）特征，建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式來解決對應(yīng)的函數(shù)問題，關(guān)鍵是抓住圖形特征，分析圖形中的規(guī)律與關(guān)鍵點(diǎn)，進(jìn)而建立函數(shù)關(guān)系式來達(dá)到解決問題的目的.

例5（廣東省廣州市2015屆高三1月模擬考試）某算法的程序框圖如圖5，若輸出的則輸入的x的值可能為（ ）.

A.-1 B.0 C.1 D.5

分析：結(jié)合算法的程序框圖確定分段函數(shù)的解析式，通過分段函數(shù)的取值情況加以分類討論，結(jié)合各對應(yīng)的選項加以判斷即可.

圖5

點(diǎn)評：正確理解相應(yīng)的算法的程序框圖，利用圖形轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的分段函數(shù)，進(jìn)而結(jié)合函數(shù)值的關(guān)系來確定函數(shù)值問題、利用基本不等式與函數(shù)式的求解來解決最值問題等，達(dá)到利用圖形解決函數(shù)問題的目的.

眾所周知，通過圖形轉(zhuǎn)化為代數(shù)、通過代數(shù)轉(zhuǎn)化為圖形或通過圖形轉(zhuǎn)化為圖形等，巧妙通過數(shù)形結(jié)合，根據(jù)對應(yīng)的圖形巧妙轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的代數(shù)關(guān)系，或結(jié)合題設(shè)特點(diǎn)巧妙的構(gòu)造符合條件的圖形，或借助于已知圖形畫出另外的圖形，通過對代數(shù)的研究、圖形的觀察與分析，借助圖形的直觀性，往往能簡便、準(zhǔn)確求解.W