蘇 飛,劉 靜,張 耀,楊 旭,程昊文

(中國(guó)科學(xué)院國(guó)家天文臺(tái),北京 100012)

0 引 言

航天事業(yè)的發(fā)展為地球外層空間帶來(lái)大量空間碎片,根據(jù)最新資料顯示,目前在軌10 cm以上空間碎片數(shù)量約2萬(wàn)個(gè),厘米級(jí)空間碎片接近50萬(wàn)個(gè)[1-4]。惡劣的空間環(huán)境對(duì)航天器的安全運(yùn)行造成巨大威脅,機(jī)動(dòng)規(guī)避是航天器躲避空間碎片的一種主動(dòng)防護(hù)措施,受到航天機(jī)構(gòu)和衛(wèi)星運(yùn)行商的廣泛關(guān)注[5-8]。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)航天器機(jī)動(dòng)規(guī)避問(wèn)題進(jìn)行了大量研究。基于碰撞概率的防撞規(guī)避機(jī)動(dòng)方法精度高,文獻(xiàn)[9-11]研究了碰撞概率和推力的解析表達(dá),結(jié)合航天器軌道控制分析規(guī)避機(jī)動(dòng)問(wèn)題;在此基礎(chǔ)上,文獻(xiàn)[12-14]推導(dǎo)了機(jī)動(dòng)脈沖與碰撞概率的解析關(guān)系,通過(guò)拉格朗日乘子法得到固定脈沖的最優(yōu)方向;文獻(xiàn)[15-17]基于概率計(jì)算模型,通過(guò)一維碰撞概率積分方法推導(dǎo)速度增量的最優(yōu)解,并利用兩體軌道積分代替高精度軌道積分研究碰撞規(guī)避機(jī)動(dòng)策略;文獻(xiàn)[18]將機(jī)動(dòng)脈沖解耦,分步求解脈沖方向和脈沖大小,在碰撞概率降低到安全值的前提下得到最優(yōu)的機(jī)動(dòng)沖量。許多學(xué)者通過(guò)分析規(guī)避機(jī)動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型,利用尋優(yōu)方法獲取避碰策略,文獻(xiàn)[19]分析了基于遺傳算法的燃料消耗和機(jī)動(dòng)時(shí)長(zhǎng),采用多目標(biāo)優(yōu)化求解碰撞規(guī)避機(jī)動(dòng)策略;文獻(xiàn)[20]利用非線性規(guī)劃算法求解最小速度增量,得到最優(yōu)的碰撞規(guī)避機(jī)動(dòng)策略;文獻(xiàn)[21]對(duì)近圓軌道提出了可以快速得到推力三維解的解析方法,利用梯度搜索算法找到最優(yōu)解。一些學(xué)者從實(shí)際應(yīng)用出發(fā),建立量化的分析模型,不通過(guò)尋優(yōu)直接分析次優(yōu)解得到規(guī)避機(jī)動(dòng)策略,文獻(xiàn)[22]研究了衛(wèi)星規(guī)避相關(guān)的軌道機(jī)動(dòng)方式,結(jié)合碰撞風(fēng)險(xiǎn)建立了衛(wèi)星規(guī)避方案量化分析方法;文獻(xiàn)[23]利用根數(shù)長(zhǎng)期項(xiàng)分析了初始軌道根數(shù)與危險(xiǎn)交會(huì)點(diǎn)的關(guān)系,研究了衛(wèi)星沖量對(duì)交會(huì)點(diǎn)的影響;文獻(xiàn)[24]分析了高度規(guī)避、時(shí)間規(guī)避、正常軌控結(jié)合的空間目標(biāo)碰撞規(guī)避策略;文獻(xiàn)[25-27]研究了執(zhí)行機(jī)動(dòng)導(dǎo)致的額外風(fēng)險(xiǎn)和燃料消耗對(duì)航天器任務(wù)的影響;文獻(xiàn)[28]在單次脈沖的基礎(chǔ)上,分析了多次脈沖規(guī)避空間碎片能使衛(wèi)星回到原始的運(yùn)行軌道,同時(shí)不改變衛(wèi)星原始狀態(tài)。

然而多數(shù)已有成果在研究航天器機(jī)動(dòng)規(guī)避時(shí),通常將軌道攝動(dòng)方程外推,并在交會(huì)點(diǎn)處采用數(shù)值法窮舉尋優(yōu),雖然一些研究分析了碰撞概率與機(jī)動(dòng)脈沖的解析關(guān)系,但在建立聯(lián)系時(shí)通常利用高斯方程直接求解,計(jì)算量大且只能得到次優(yōu)解。為了解決最優(yōu)解問(wèn)題,首先通過(guò)小偏差線性化等處理將高斯方程解析化,得到解析的軌道規(guī)避機(jī)動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型,直接分析機(jī)動(dòng)脈沖與航天器相對(duì)運(yùn)動(dòng)的線性關(guān)系。通過(guò)航天器位置協(xié)方差信息及交會(huì)平面的相對(duì)位置信息得到航天器危險(xiǎn)交會(huì)的碰撞概率和交會(huì)距離,并建立與機(jī)動(dòng)脈沖的解析關(guān)系,然后采用機(jī)動(dòng)方向和機(jī)動(dòng)大小分步求解的策略計(jì)算機(jī)動(dòng)沖量,高效準(zhǔn)確地求解不同時(shí)機(jī)下的最優(yōu)面內(nèi)脈沖。

1 機(jī)動(dòng)規(guī)避動(dòng)力學(xué)建模

1.1 系統(tǒng)描述及建模假設(shè)

利用航天器運(yùn)動(dòng)方程對(duì)初始狀態(tài)和狀態(tài)誤差分布的協(xié)方差矩陣外推,就能預(yù)判航天器在運(yùn)行過(guò)程中是否遭遇危險(xiǎn)交會(huì),如果危險(xiǎn)交會(huì)的瞬時(shí)碰撞概率或交會(huì)距離大于安全閾值,則航天器需要進(jìn)行機(jī)動(dòng)來(lái)規(guī)避風(fēng)險(xiǎn),保證運(yùn)行安全。

在航天器危險(xiǎn)交會(huì)規(guī)避任務(wù)中,往往通過(guò)改變軌道形狀來(lái)躲避碎片,即機(jī)動(dòng)力或機(jī)動(dòng)脈沖約束在軌道面內(nèi),這主要是因?yàn)槊鎯?nèi)機(jī)動(dòng)控制簡(jiǎn)單,同時(shí)改變軌道方位對(duì)航天器任務(wù)影響較大。航天器危險(xiǎn)交會(huì)示意圖如圖1所示。

圖1 航天器危險(xiǎn)交會(huì)示意圖Fig.1 Illustration of dangerous rendezvous trajectory of spacecraft

建模過(guò)程做如下假設(shè):

假設(shè)1作用于航天器上的脈沖為小量,航天器在機(jī)動(dòng)脈沖的作用下,到達(dá)危險(xiǎn)交會(huì)點(diǎn)的速度大小及方向不變;

假設(shè)2危險(xiǎn)交會(huì)過(guò)程為短期交會(huì),碰撞時(shí)刻兩航天器的速度為勻速直線運(yùn)動(dòng);

假設(shè)3兩空間目標(biāo)等效為已知半徑的球體,位置誤差橢球在相遇期間保持不變;

假設(shè)4重力場(chǎng)為理想中心力場(chǎng),忽略大氣阻力、太陽(yáng)光壓等攝動(dòng)因素的影響,忽略航天器姿態(tài)誤差對(duì)脈沖方向的影響。

1.2 坐標(biāo)系定義

相關(guān)動(dòng)力學(xué)建模參照坐標(biāo)系如圖2所示,其中OXYZ為偏心率矢量坐標(biāo)系,其原點(diǎn)O位于地球質(zhì)心,X軸與航天器偏心率矢量eo重合,Z軸垂直于航天器軌道平面,正方向與航天器角速度方向相同,Y軸由右手螺旋法則確定;sxyz為航天器軌道坐標(biāo)系,其原點(diǎn)s位于航天器質(zhì)心,x軸由地心指向航天器質(zhì)心,z軸與Z軸平行且指向相同,y軸由右手螺旋法則確定,三軸單位矢量分別為ex、ey、ez。

圖2 建模參照坐標(biāo)系Fig.2 Reference frame for dynamics modeling

1.3 機(jī)動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型

如圖2所示,航天器在偏心率矢量坐標(biāo)系的狀態(tài)矢量表示為

(1)

式中,eX和eY為偏心率矢量坐標(biāo)系對(duì)應(yīng)坐標(biāo)軸的單位矢量;a為航天器軌道半長(zhǎng)軸;E為航天器對(duì)應(yīng)真近點(diǎn)角處的偏近點(diǎn)角;e為航天器軌道偏心率;r為航天器地心距;μ為萬(wàn)有引力常數(shù)。

令E=Em,取慣性系內(nèi)航天器機(jī)動(dòng)點(diǎn)即真近點(diǎn)角θm處的狀態(tài)rm、vm代入式(1),求解方程式得

(2)

式中,‖‖符號(hào)表示對(duì)矢量求模,將式(2)代入式(1)得偏近點(diǎn)角為E處航天器的位置矢量r，表示為

(3)

結(jié)合高斯方程,沖量使航天器軌道產(chǎn)生的瞬時(shí)變化為

(4)

式中,Δvx、Δvy、Δvz分別為沖量在航天器軌道坐標(biāo)系三軸上的分量;h、p分別為航天器變軌前的軌道角動(dòng)量和軌道半通徑,表示為

(5)

將航天器的狀態(tài)量代入式(3),則航天器在機(jī)動(dòng)點(diǎn)θm處機(jī)動(dòng)前和機(jī)動(dòng)后,運(yùn)行到危險(xiǎn)交會(huì)點(diǎn)的位置矢量r(Ec)、r′(Ec)分別表示為

(6)

(7)

(8)

式中,Δrx、Δry分別為航天器在軌道系中相應(yīng)坐標(biāo)軸的位置變化。由于航天器機(jī)動(dòng)后,其偏心率矢量坐標(biāo)系繞Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)Δω,將式(6)、式(7)表示到機(jī)動(dòng)前的偏心率矢量坐標(biāo)系,則

Δr=A′r′(Ec)-Ar(Ec)

(9)

其中

(11)

(12)

(13)

(14)

為了推導(dǎo)方便同時(shí)減小因量級(jí)的巨大差異引起的仿真失真,進(jìn)行歸一化處理,定義

(15)

(16)

(17)

沿跡方向的距離變化考慮機(jī)動(dòng)后,航天器運(yùn)行相同相位條件下的時(shí)間差,基于文獻(xiàn)[22]對(duì)攝動(dòng)參數(shù)的定義得

(18)

其中

(19)

(20)

(21)

將式(19)～式(21)代入式(18),分別在無(wú)攝動(dòng)力存在攝動(dòng)的情況積分,然后做差并泰勒展開,推導(dǎo)過(guò)程不再贅述,得沿跡方向的距離變化為

fx2(sinEc-sinEm)+fx3(cosEc-cosEm)+

fx4(sin 2Ec-sin 2Em)+fx5(cos 2Ec-cos 2Em)]+

fy2(sinEc-sinEm)+fy3(cosEc-cosEm)+

fy4(sin 2Ec-sin 2Em)+fy5(cos 2Ec-cos 2Em)]}

(22)

其中

(23)

從動(dòng)力學(xué)模型可以看出,在機(jī)動(dòng)脈沖為小量時(shí),航天器機(jī)動(dòng)導(dǎo)致的距離變化可以簡(jiǎn)化為航天器軌道參數(shù)的解析表達(dá),與外推模型相比可以大大節(jié)省計(jì)算時(shí)間,并能得到機(jī)動(dòng)大小與距離變化的等式關(guān)系,有利于模型的物理分析和控制參數(shù)選取。

2 航天器危險(xiǎn)交會(huì)分析

航天器危險(xiǎn)交會(huì)過(guò)程中通常采用交會(huì)距離判定法或碰撞概率判定法來(lái)判斷發(fā)生碰撞的可能性。碰撞概率判定法適用于兩星的定位誤差較大且有累積效應(yīng)時(shí),交會(huì)距離判定法則適用于能實(shí)時(shí)測(cè)量?jī)尚窍鄬?duì)狀態(tài)。

2.1 交會(huì)距離

航天器運(yùn)行時(shí),設(shè)s(t)為t時(shí)刻航天器s-1與s-2的相對(duì)位置矢量,則任意時(shí)刻t+Δt兩個(gè)目標(biāo)的相對(duì)位置矢量為

(24)

式中,vr=v1-v2,若t時(shí)刻兩目標(biāo)間的距離最小,則有

(25)

根據(jù)式(25)得兩目標(biāo)距離最小時(shí),其相對(duì)位置矢量和相對(duì)速度矢量互相垂直。定義交會(huì)坐標(biāo)系,其三軸單位矢量分別為

(26)

航天器相對(duì)運(yùn)動(dòng)方向平行于x軸,交會(huì)平面(b平面)定義為y-z平面,則航天器危險(xiǎn)交會(huì)關(guān)系描述為兩航天器在b平面的交會(huì)距離,航天器軌道坐標(biāo)系到交會(huì)坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣為

(27)

式中,α為危險(xiǎn)交會(huì)點(diǎn)處s-2速度矢量v2在s-1軌道面投影與s-1速度矢量v1的夾角(-π<α<π),且v2×v1·eZ>0時(shí)為正;β為v2在航天器s-1軌道面投影與v2的夾角(-π/2<β<π/2),且v2·eZ>0時(shí)為正;B為v1與相對(duì)速度v1-v2的夾角(0

(28)

(29)

交會(huì)距離為

(30)

2.2 碰撞概率

航天器在運(yùn)行過(guò)程中位置誤差服從3維正態(tài)分布,并可以通過(guò)分布中心和位置誤差協(xié)方差矩陣描述。此時(shí)航天器間交會(huì)的碰撞概率均可表示為

P=?Vf(x,y,z)dxdydz

(31)

式中,V為以一個(gè)航天器為圓心,兩個(gè)航天器包絡(luò)半徑之和ssum為半徑的球體;f(x,y,z)為高斯概率密度函數(shù)(probability density function，PDF),表示為

(32)

式中,se=(xbm,0,zbm)為b平面內(nèi)兩航天器交會(huì)距離最小時(shí)的相對(duì)位置矢量;|C|為相對(duì)位置s誤差協(xié)方差矩陣C的行列式值,假設(shè)航天器交會(huì)時(shí)為勻速直線運(yùn)動(dòng),則積分球變?yōu)閳A柱,在誤差協(xié)方差矩陣中選取與相對(duì)位置信息有關(guān)的部分得

(33)

此時(shí)碰撞概率表示為圓域內(nèi)的積分

(34)

文獻(xiàn)[6]提出一種不等方差PDF在圓域內(nèi)積分問(wèn)題的解決方法。通過(guò)將不等方差的等概率密度橢圓用與其面積相等的等概率密度圓代替,并用無(wú)窮級(jí)數(shù)表示二重積分,對(duì)式(34)簡(jiǎn)化得到碰撞概率的解析表示，即

(35)

式中,u和v均為無(wú)量綱變量,表示為

(36)

(37)

3 最優(yōu)規(guī)避分析

軌道維持條件下的交會(huì)距離及碰撞概率最優(yōu)的規(guī)避機(jī)動(dòng)計(jì)算采用兩步策略實(shí)現(xiàn)[16]:

步驟1通過(guò)求碰撞概率/交會(huì)距離對(duì)于機(jī)動(dòng)方向的梯度確定機(jī)動(dòng)速度方向。由于規(guī)避機(jī)動(dòng)速度通常很小,可以將規(guī)避機(jī)動(dòng)引起的交會(huì)點(diǎn)的航天器移動(dòng)看成機(jī)動(dòng)速度大小的線性函數(shù),這樣碰撞概率/交會(huì)距離的梯度與機(jī)動(dòng)大小就不相關(guān),因此,最優(yōu)的機(jī)動(dòng)方向與機(jī)動(dòng)大小可以獨(dú)立求解。

步驟2機(jī)動(dòng)方向確定后,碰撞概率及交會(huì)距離即為機(jī)動(dòng)大小的函數(shù)。求解滿足安全碰撞值和軌道維持要求的機(jī)動(dòng)速度大小就是求解一個(gè)非線性方程。

(1)交會(huì)距離最優(yōu)問(wèn)題描述為

(38)

機(jī)動(dòng)方向可以通過(guò)梯度矢量D得到

(39)

其中,D表示為

(40)

(41)

ρ2=fun(Ec,Em,e,φ)

(42)

當(dāng)確定交會(huì)目標(biāo)的Ec、Em、e,最優(yōu)交會(huì)距離值所需要的機(jī)動(dòng)脈沖速度方向即為式(43)的解。

(43)

(2) 同理,碰撞概率最優(yōu)問(wèn)題描述為

(44)

機(jī)動(dòng)方向可以通過(guò)梯度矢量D′得到

(45)

其中,D′表示為

(46)

此時(shí)碰撞概率相關(guān)系數(shù)描述為

v=Fun(Ec,Em,e,φ)

(47)

當(dāng)確定交會(huì)目標(biāo)的Ec、Em、e,最優(yōu)碰撞概率所需要的機(jī)動(dòng)脈沖速度方向即為式(48)的解。

(48)

4 仿真分析及校驗(yàn)

根據(jù)理論建模與分析的結(jié)果,建立航天器規(guī)避機(jī)動(dòng)數(shù)值仿真模型和航天器危險(xiǎn)交會(huì)分析模型。為了驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的規(guī)避機(jī)動(dòng)策略的有效性,本小節(jié)利用美俄衛(wèi)星碰撞事件為例進(jìn)行仿真。Cosmos-2251和Iridium-33中,前者為俄羅斯的廢棄衛(wèi)星沒(méi)有任何機(jī)動(dòng)能力,后者為美國(guó)的在用通信衛(wèi)星可以執(zhí)行規(guī)避機(jī)動(dòng),選擇兩顆衛(wèi)星碰撞前的各自最新的一組2行軌道根數(shù)(two line mean element，TLE)根數(shù),利用簡(jiǎn)化攝動(dòng)預(yù)報(bào)模型(simplified general perturbations,SGP4)軌道預(yù)報(bào)模型,可知兩顆衛(wèi)星交會(huì)時(shí)間(time of the closest approach，TCA)的參數(shù)如表1所示。

表1 美俄衛(wèi)星碰撞交會(huì)幾何參數(shù)Table 1 Encounter geometry parameters of US & Russian satellite collision

其中,a、e、θ分別為Iridium-33的軌道半長(zhǎng)軸、偏心率和真近點(diǎn)角,RI、RC分別為Iridium-33和Cosmos-2251的等效半徑,α為危險(xiǎn)交會(huì)點(diǎn)處Cosmos-2251速度矢量在Iridium-33軌道面投影與Iridium-33速度矢量的夾角。β為投影與Cosmos-2251速度矢量夾角。

根據(jù)Cosmos-2251和Iridium-33的預(yù)報(bào)數(shù)據(jù),相對(duì)位置s誤差協(xié)方差矩陣假設(shè)為對(duì)角協(xié)方差矩陣,其標(biāo)準(zhǔn)差在航天器相對(duì)運(yùn)動(dòng)切線方向?yàn)? km,在b平面內(nèi)的兩個(gè)正交方向上為100 m,此時(shí)在誤差協(xié)方差矩陣中與相對(duì)位置信息有關(guān)的部分[9]為

(49)

圖3是航天器機(jī)動(dòng)規(guī)避時(shí)不同機(jī)動(dòng)提前量下的最優(yōu)交會(huì)距離,從圖3可得在提前量不是整數(shù)周期或不靠近整數(shù)周期時(shí),提前機(jī)動(dòng)時(shí)間越大,得到的最優(yōu)交會(huì)距離越大;提前量為整數(shù)周期或在其附近時(shí),最優(yōu)交會(huì)距離回落,稍有減小。

圖3 不同機(jī)動(dòng)提前量的最大交會(huì)距離(Δv=0.01 m/s)Fig.3 Maximum achievable miss distance under different maneuver opportunity (Δv=0.01 m/s)

航天器執(zhí)行機(jī)動(dòng)規(guī)避時(shí),通常需要考慮軌道維持,即需要在避碰的同時(shí)完成軌道抬高,所以在仿真過(guò)程中,取脈沖方向與軌道系x軸夾角為0≤φ≤π,圖4是最優(yōu)交會(huì)距離約束下航天器機(jī)動(dòng)規(guī)避時(shí)不同機(jī)動(dòng)提前量下的最優(yōu)脈沖方向,從圖4得航天器規(guī)避提前量在0～0.2周期時(shí),最優(yōu)脈沖方向收斂至180°(0°),提前量超過(guò)約0.2周期后,最優(yōu)脈沖方向收斂至90°附近。

圖4 不同機(jī)動(dòng)提前量時(shí)的最優(yōu)脈沖方向(Δv=0.01 m/s)Fig.4 Optimal direction of pulse under different maneuver opportunity (Δv=0.01 m/s)

圖5是航天器機(jī)動(dòng)規(guī)避時(shí)不同機(jī)動(dòng)提前量下的最優(yōu)碰撞概率,與最優(yōu)交會(huì)距離分析類似,從圖5可得在提前量不是整數(shù)周期或不靠近整數(shù)周期時(shí),提前機(jī)動(dòng)時(shí)間越大,得到的最優(yōu)碰撞概率越小;提前量為整數(shù)周期或在其附近時(shí),最優(yōu)碰撞概率振蕩且稍有增大。分析式(44)可知,最優(yōu)碰撞概率是交會(huì)平面內(nèi)兩個(gè)距離量的二元二次函數(shù),對(duì)兩式求偏導(dǎo)，得

(50)

從式(50)可知,最優(yōu)碰撞概率的梯度是兩個(gè)距離量耦合,與誤差協(xié)方差矩陣相對(duì)位置信息式(49)對(duì)應(yīng),誤差協(xié)方差是表征兩個(gè)航天器位置誤差的累積,通過(guò)碰撞概率表示兩個(gè)航天器的危險(xiǎn)交會(huì)具有實(shí)際意義。

圖5 不同機(jī)動(dòng)提前量時(shí)的最優(yōu)碰撞概率(Δv=0.01 m/s)Fig.5 Optimal achievable collision probability under different maneuver opportunity (Δv=0.01 m/s)

取脈沖方向與軌道系x軸夾角為0≤φ≤π,圖6是最優(yōu)碰撞概率約束下航天器機(jī)動(dòng)規(guī)避時(shí)不同機(jī)動(dòng)提前量下的最優(yōu)脈沖方向,從圖6得航天器規(guī)避提前量在0～0.25周期時(shí),最優(yōu)脈沖方向收斂至180°(0°),提前量超過(guò)約0.25周期后,最優(yōu)脈沖方向收斂至90°附近。

圖6 不同機(jī)動(dòng)提前量時(shí)的最優(yōu)脈沖方向(Δv=0.01 m/s)Fig.6 Optimal direction of pulse under different maneuver opportunity (Δv=0.01 m/s)

圖7是航天器機(jī)動(dòng)規(guī)避中,采用不同脈沖時(shí)不同機(jī)動(dòng)提前量下的最優(yōu)交會(huì)距離,從圖7可得相同提前機(jī)動(dòng)時(shí)機(jī)下機(jī)動(dòng)脈沖越大,最優(yōu)的交會(huì)距離越大。

圖7 不同機(jī)動(dòng)提前量時(shí)的最大交會(huì)距離 (不同脈沖)Fig.7 Maximum achievable miss distance under different maneuver opportunity (different impulsive)

圖8是最優(yōu)交會(huì)距離約束下,航天器機(jī)動(dòng)規(guī)避中,采用不同脈沖時(shí)不同機(jī)動(dòng)提前量下的最優(yōu)脈沖方向,從圖8得脈沖變化不影響最優(yōu)機(jī)動(dòng)方向。

圖8 不同機(jī)動(dòng)提前量時(shí)的最優(yōu)脈沖方向 (不同脈沖)Fig.8 Optimal direction of pulse under different maneuver opportunity (different impulsive)

圖9是航天器機(jī)動(dòng)規(guī)避中,采用不同脈沖時(shí)不同機(jī)動(dòng)提前量下的最優(yōu)碰撞概率,從圖9可得相同提前機(jī)動(dòng)時(shí)機(jī)下，機(jī)動(dòng)脈沖越大,最優(yōu)的碰撞概率越小。

圖9 不同機(jī)動(dòng)提前量時(shí)的最優(yōu)碰撞概率 (不同脈沖)Fig.9 Optimal achievable collision probability under different maneuver opportunity (different impulsive)

圖10是最優(yōu)碰撞概率約束下,航天器機(jī)動(dòng)規(guī)避中,采用不同脈沖時(shí)不同機(jī)動(dòng)提前量下的最優(yōu)脈沖方向,從圖10得脈沖變化不影響最優(yōu)機(jī)動(dòng)方向。

圖10 不同機(jī)動(dòng)提前量時(shí)的最優(yōu)脈沖方向 (不同脈沖)Fig.10 Optimal direction of pulse under different maneuver opportunity (different impulsive)

5 結(jié) 論

基于數(shù)理變化推導(dǎo)出解析的軌道規(guī)避機(jī)動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型,建立了脈沖大小與機(jī)動(dòng)位移的量化關(guān)系;利用航天器交會(huì)過(guò)程的協(xié)方差信息等得到碰撞概率和交會(huì)距離,通過(guò)代入機(jī)動(dòng)位移分析了規(guī)避模型的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù);最后搭建仿真模型研究了航天器面內(nèi)最優(yōu)機(jī)動(dòng)規(guī)避問(wèn)題,為機(jī)動(dòng)規(guī)避的工程問(wèn)題提供支持。