安徽 黃海生 蔣秀梅

隨著基礎(chǔ)教育課程改革的不斷深入，對學(xué)生素養(yǎng)的培養(yǎng)越來越為人們所關(guān)注.作為教師,如何將核心素養(yǎng)的培養(yǎng)真正有效地落實(shí)到課堂教學(xué)中去？學(xué)生的核心素養(yǎng)又如何得到體現(xiàn)？這都是當(dāng)下關(guān)注的熱點(diǎn).本文結(jié)合高三立體幾何一輪復(fù)習(xí)教學(xué)及筆者的一些經(jīng)驗(yàn)和思考,提出若干個不容忽視的問題，不足之處敬請同仁批評指正.

1 不能忽視基礎(chǔ)知識的鞏固

高考復(fù)習(xí)要回顧基礎(chǔ)知識、整理方法，但不能流于形式，合理安排時間并精讀教材內(nèi)容、領(lǐng)會教材本質(zhì)，深化對教材思想方法的理解.挖掘教材例題、習(xí)題的潛力，用心體會，整合精選教材中的習(xí)題，充分發(fā)揮例題應(yīng)有的功效,一題多解、一題多變、多題歸一、回歸本源，透過習(xí)題看數(shù)學(xué)本質(zhì).教師指導(dǎo)學(xué)生主動查缺補(bǔ)漏，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，促進(jìn)學(xué)生的反思與提升，培養(yǎng)學(xué)生的能力.

例1(2018·全國卷Ⅰ理·12)已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值為

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無獨(dú)有偶，2013年安徽高考題也曾考查過正方體的截面問題，如下.

例2如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,P為BC的中點(diǎn)，Q為線段CC1上的動點(diǎn)，過點(diǎn)A,P,Q的平面截該正方體所得的截面積為S，則下列命題正確的是 (寫出所有正確命題的編號).

解法二：結(jié)合面面平行的性質(zhì)即如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行.過點(diǎn)A,P,Q的平面截該正方體所得的截面與平面ADD1A1、平面BCC1B1相交，又因?yàn)槠矫鍭DD1A1//平面BCC1B1,故交線互相平行.根據(jù)兩條平行直線確定一個平面也可作出截面S.按照這種作法，當(dāng)點(diǎn)Q在線段CC1上的不同位置時，結(jié)合平面幾何的知識就可以得到相關(guān)交點(diǎn)，進(jìn)而得到相關(guān)的截面圖形.

能完整地作出截面圖形是解決此題的關(guān)鍵.畫截面與正方體有關(guān)面的交線問題，對于截面問題要利用平面的確定公理(公理2)作為理論依據(jù)，先作截面與有關(guān)棱的交點(diǎn)，根據(jù)“同一平面內(nèi)兩條直線不平行必相交”和公理1畫直線進(jìn)而確定交點(diǎn).點(diǎn)動成線，線動成面,從而作出截面圖形.我們可以從教材上找出這些題的“影子”.

【人教A版必修2第78頁第8題】已知α,β,γ是三個平面，且α∩β=a，α∩γ=b，β∩γ=c，且a∩b=O.

求證：a,b,c三線共點(diǎn).

【人教A版必修2第78頁第9題】如圖，平面α,β,γ兩兩相交，a,b,c為三條交線，且a//b，那么a與c，b與c有什么關(guān)系？為什么？

由這兩個習(xí)題可知，若三個平面兩兩相交則它們的交線互相平行或相交.

【人教A版必修2第57頁例2】已知正方體ABCD-A1B1C1D1，如圖，求證：平面AB1D1//平面C1BD.

【人教A版必修2第79頁B組習(xí)題2】如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求證：

(1)B1D⊥平面A1C1B；

(2)B1D與平面A1C1B的交點(diǎn)H是△A1C1B的重心(三角形三條中線的交點(diǎn)).

由這兩個例題可知，若平面α與每條棱所在的直線所成的角都相等，則平面α垂直于正方體的體對角線，且根據(jù)相似三角形相關(guān)知識知道截面圖形的周長均相等.

2 不能忽視作圖能力的培養(yǎng)

理性規(guī)范的作圖是解決立體幾何問題的先決條件，作圖就是利用圖形語言描述空間位置關(guān)系.正確作圖是學(xué)好立體幾何的基本功,也是空間想象力的具體體現(xiàn)，要培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)必須過好作圖這一關(guān)，畫空間圖形的過程就是培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)的過程，學(xué)生的作圖水平與直觀想象素養(yǎng)相輔相成.因此，教師不能忽視作圖在立體幾何教學(xué)中的地位以及在解決立體幾何問題中的作用.如何正確作出圖形?應(yīng)重視作圖的原理、規(guī)范作圖.

例3如圖，某空間幾何體的正視圖和俯視圖分別是邊長為2的正方形和正三角形，則該空間幾何體的外接球的表面積為

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考試后發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生不能根據(jù)三視圖還原幾何體，也有不少同學(xué)雖然能想象出該幾何體是一個四棱錐，但是因?yàn)樗奈恢脭[放的不“周正”，于是感覺別扭，以上原因?qū)е陆忸}無力為繼.當(dāng)幾何體的擺放不“周正”時，往往難以根據(jù)三視圖想象幾何體的結(jié)構(gòu),我們可以考慮把幾何體置于長方體(或正方體)模型中，三視圖需要從后面、側(cè)面和下面三個角度豎起與平行光線垂直的投影面，長方體(或正方體)具有現(xiàn)成的面可供參考.構(gòu)成幾何體的幾何要素是點(diǎn)、線、面，其中點(diǎn)是基本元素，那么我們就把目光聚集在找出構(gòu)成幾何體的點(diǎn)上.

以棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1(如圖)為模型考查這個幾何體.

由正視圖的兩條虛線可確定A1B1中點(diǎn)P是幾何體的一個頂點(diǎn)，還可知C,D是幾何體的頂點(diǎn)，結(jié)合側(cè)視圖可以排除頂點(diǎn)C1，D1，再由俯視圖可以排除頂點(diǎn)A1，B1，連接相應(yīng)頂點(diǎn)可得四棱錐P-ABCD(如圖).

底面ABCD是邊長為2的正方形，其中側(cè)面PAB是邊長為2的正三角形且垂直于底面，這個四棱錐的底面ABCD是面對我們的，因此很多同學(xué)不習(xí)慣，其實(shí)只要知道兩個互相垂直的平面通常畫成直立平面的豎邊與水平平面的橫邊并垂直就很方便作圖了，將四棱錐放置成如圖所示.

3 不能忽視解題的邏輯連貫

立體幾何的研究方法主要是借助于空間圖形進(jìn)行推理.高中教科書在內(nèi)容組織上注意了以下幾點(diǎn)：一、聯(lián)系實(shí)際提出問題和引入概念，加強(qiáng)由實(shí)際模型到圖形，再由圖形到模型的基本訓(xùn)練，逐步培養(yǎng)由圖形想象出空間位置關(guān)系的能力.二、從圖形入手，有序地建立圖形、文字、符號這三種語言的聯(lián)系，在闡述定義、定理、公式等重要內(nèi)容時，教科書一般是先給出圖形,再用文字和符號描述對象，綜合運(yùn)用幾種數(shù)學(xué)語言,使其優(yōu)勢互補(bǔ)，將抽象與直觀結(jié)合起來，以幫助學(xué)生在圖形的基礎(chǔ)上形成更好的理解.三、加強(qiáng)與平面圖形的聯(lián)系，利用對比、引申、聯(lián)想等方法，引導(dǎo)學(xué)生找出平面圖形和立體圖形的異同，以及兩者之間的內(nèi)在聯(lián)系，逐步培養(yǎng)學(xué)生將立體圖形問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題的能力.教師在立體幾何教學(xué)中還應(yīng)著重強(qiáng)化學(xué)生的主體地位，改變“學(xué)生被老師牽著走”的被動局面，重視過程教學(xué)，例題講解要示范，但是不能“你畫我看”“你講我聽”，更要重視學(xué)生的思維活動，“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行”，要讓學(xué)生學(xué)會思考，透視“為什么要這樣”，充分利用已有的知識切身經(jīng)歷并體會問題解決的過程，重視心智的參與，使學(xué)生對思想方法的來龍去脈有深切的感知.

例4(2018·浙江卷·8)已知四棱錐S-ABCD的底面是正方形，側(cè)棱長均相等，E是線段AB上的點(diǎn)(不含端點(diǎn))，設(shè)SE與BC所成的角為θ1，SE與平面ABCD所成的角為θ2，二面角S-AB-C的平面角為θ3，則

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A.θ1≤θ2≤θ3B.θ3≤θ2≤θ1

C.θ1≤θ3≤θ2D.θ2≤θ3≤θ1

解析：根據(jù)異面直線所成角、線面角、二面角的定義作出θ1,θ2,θ3，再根據(jù)最小角原理即可求解；也可利用特殊值法進(jìn)行求解.

解法一：如圖，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接SO，則SO⊥平面ABCD，取AB的中點(diǎn)G，連接SG,OG,OE，則SG⊥AB，且θ2=∠SEO,θ3=∠SGO,θ3≥θ2.又θ3即為BC與平面SAB所成的角，根據(jù)最小角原理知θ3≤θ1，故θ2≤θ3≤θ1，故選D.

解法二：如圖，設(shè)底面正方形邊長為2，S到底面的距離SO=1，E是線段AB上靠近點(diǎn)A的四等分點(diǎn)，G為AB的中點(diǎn)，以EG,GO為鄰邊作矩形OO′EG，則θ1=∠SEO′,θ2=∠SEO,θ3=∠SGO，得

故tanθ2

當(dāng)E為AB中點(diǎn)時,θ2=θ3=θ1.

綜上有θ2≤θ3≤θ1，故選D.

本題旨在讓學(xué)生體會立體幾何問題“平面化”思想和“降維”思想.教學(xué)中應(yīng)重視立體幾何與平面知識的聯(lián)系，體會轉(zhuǎn)化和化歸的數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生利用類比、聯(lián)想等方法理解兩者的內(nèi)在聯(lián)系，辨別二者的區(qū)別，并感悟到將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題是處理立體幾何問題的重要思想，從而進(jìn)一步拓展抽象思維和創(chuàng)新能力.

4 不能忽視知識的整合構(gòu)建

數(shù)學(xué)是一個整體，其整體性既體現(xiàn)在同一部分內(nèi)容知識的前后邏輯關(guān)系上，也體現(xiàn)在代數(shù)、幾何、三角等各部分內(nèi)容之間的相互邏輯關(guān)系上.要搞好課堂教學(xué)，培養(yǎng)并提升學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)，不能依賴模仿、記憶，關(guān)鍵在于理解數(shù)學(xué)、理解教學(xué)、理解學(xué)生，善于研究教材內(nèi)在的邏輯關(guān)系，站在系統(tǒng)的高度，整體把握教學(xué)，準(zhǔn)確把握學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，設(shè)計具有思考力度的問題，促進(jìn)學(xué)生注重數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)體系的系統(tǒng)性、邏輯性和聯(lián)系性，教學(xué)中應(yīng)注意各部分內(nèi)容之間的聯(lián)系，通過類比、聯(lián)想、知識的遷移和應(yīng)用等方式，使學(xué)生體會知識之間的有機(jī)聯(lián)系，完善知識結(jié)構(gòu)，進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，在遇到一些陌生的情境時能激活大腦中的信息，具有牽一發(fā)而動全身的效能.

本題利用三角形面積公式根據(jù)條件列出底面半徑的方程，求出半徑，再由條件得出圓錐母線長，最后求圓錐的側(cè)面積.

5.不能忽視論證的理性思辨

高中立體幾何課程歷來以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和空間想象能力為主要目標(biāo).立體幾何引入空間向量的方法后，向量作為代數(shù)與幾何的載體，往往在解決立體幾何二面角、夾角和距離等問題中具有明顯優(yōu)勢，學(xué)生處理立體幾何問題喜歡用空間向量的方法，久而久之，對教材中的定義、定理、性質(zhì)等基礎(chǔ)知識記憶模糊，導(dǎo)致推理論證能力薄弱.

例6(2018·浙江卷·19)如圖，已知多面體ABCA1B1C1，A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°,A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2.

(Ⅰ)求證：AB1⊥平面A1B1C1；

(Ⅱ)求直線AC1與平面ABB1所成的角的正弦值.

解法二：向量法求解(略).