■江蘇省江陰高級(jí)中學(xué) 徐漢屏(特級(jí)教師)

電場(chǎng)與磁場(chǎng)相關(guān)知識(shí)是高中電磁學(xué)的基礎(chǔ),是歷年高考的熱點(diǎn)之一,主要涉及電場(chǎng)強(qiáng)度、電勢(shì)、電勢(shì)能、磁感應(yīng)強(qiáng)度等概念的分析,帶電粒子在電場(chǎng)或磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的計(jì)算等。在2018年各地模擬試卷和高考卷中出現(xiàn)了不少關(guān)于電場(chǎng)和磁場(chǎng)的創(chuàng)新題,值得關(guān)注。

一、電場(chǎng)創(chuàng)新題賞析

創(chuàng)新題1:如圖1所示,空間有一圓錐O B B′,點(diǎn)A、A′分別是兩母線的中點(diǎn)。現(xiàn)在頂點(diǎn)O處固定一正的點(diǎn)電荷,下列說(shuō)法中正確的是( )。

A.A、A′兩點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度相同

B.平行于底面的圓心為O1的截面為等勢(shì)面

C.將一正的試探電荷從A點(diǎn)沿直徑移到A′點(diǎn),靜電力對(duì)該試探電荷先做正功后做負(fù)功

D.若B點(diǎn)的電勢(shì)為φB,A點(diǎn)的電勢(shì)為φA,則B A連線中點(diǎn)C處的電勢(shì)φC小于

圖1

解析:由點(diǎn)電荷的電場(chǎng)線分布情況可知,A、A′兩點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小相等,方向不同。由等勢(shì)面與電場(chǎng)線垂直可知,平行于底面的圓心為O1的截面不是等勢(shì)面。將一正的試探電荷從A點(diǎn)沿直徑移到A′點(diǎn),該試探電荷相對(duì)O處固定的正點(diǎn)電荷先靠近后遠(yuǎn)離,靜電力對(duì)該試探電荷先做負(fù)功后做正功。將點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)的微小區(qū)域視為勻強(qiáng)電場(chǎng),則由U=E d并累加可知,UAC＞UCB,即φA-φC＞φC-φB,解得答案為D。

A.電荷Q是正電荷

B.A、B、C三點(diǎn)電勢(shì)的大小關(guān)系是φA=φC＞φB

C.A、B、C三點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)的大小關(guān)系是EA=EC＞EB

D.該粒子經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)時(shí)動(dòng)能的大小關(guān)系是EkA=EkC＞EkB

圖2

提示:帶電粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡向外側(cè)彎曲,說(shuō)明粒子所受靜電力向外,因?yàn)榱Ｗ訋ж?fù)電,所以電荷Q是負(fù)電荷。在負(fù)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)中,電場(chǎng)線方向由無(wú)限遠(yuǎn)處指向負(fù)點(diǎn)電荷,順著電場(chǎng)線方向電勢(shì)降低,因此φA=φC＞φB。在點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)中,離場(chǎng)源電荷越近,場(chǎng)強(qiáng)越大,所以EA=EC＜EB。帶電粒子在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中遵循能量的轉(zhuǎn)化和守恒定律,即EkA+EpA=EkB+EpB=EkC+EpC,因?yàn)棣誂=φC＞φB,根據(jù)Ep=q φ,考慮到q是一個(gè)負(fù)電荷,所以EpA=EpC＜EpB,由此可得EkA=EkC＞EkB。答案為B D。

小結(jié):創(chuàng)新題1與上述常規(guī)題均涉及電場(chǎng)強(qiáng)度與電勢(shì)的分析,而創(chuàng)新題1在上述常規(guī)題的基礎(chǔ)上,將平面內(nèi)的分析拓展到了立體空間,對(duì)分析能力提出了更高的要求。

現(xiàn)學(xué)現(xiàn)練:如圖3所示,勻強(qiáng)電場(chǎng)中的點(diǎn)A、B、C、D、E、F、G、H 為立

方體的八個(gè)頂點(diǎn)。已知G、F、B、D四點(diǎn)的電勢(shì)分別為5V、1V、2V、4V,則A 點(diǎn)的電勢(shì)為( )。

A.0

B.1V

C.2V

D.3V

圖3

思路點(diǎn)撥:本題與創(chuàng)新題1均要求在空間范圍內(nèi)對(duì)電場(chǎng)進(jìn)行分析。在勻強(qiáng)電場(chǎng)中,由公式U=E d可知,沿著任意方向前進(jìn)相同距離,電勢(shì)差必定相等。因?yàn)镚 F∥C B,且G F=C B,所以φG-φF=φC-φB,即φC=φG-φF+φB=5V-1V+2V=6V。同理,φA-φB=φD-φC,φA=φB+φD-φC=2V+4V-6V=0。答案為A。

創(chuàng)新題2:空間存在一靜電場(chǎng),電場(chǎng)中的電勢(shì)φ隨x的變化規(guī)律如圖4所示。下列說(shuō)法中正確的是( )。

A.x=4 m處電場(chǎng)強(qiáng)度可能為零

B.x=4m處電場(chǎng)方向一定沿x軸正方向

C.電荷量為e的負(fù)電荷沿x軸從O點(diǎn)移動(dòng)到x=6m處,電勢(shì)能增大8e V

D.沿x軸正方向,場(chǎng)強(qiáng)先增大后減小

圖4

解析:φ-x圖像的斜率的絕對(duì)值等于電場(chǎng)強(qiáng)度沿x軸方向分量的大小,因此x=4m處電場(chǎng)強(qiáng)度不為零。從x=0到x=6m處電勢(shì)不斷降低,但x=4m處電場(chǎng)方向不一定沿x軸正方向。電荷量為e的負(fù)電荷沿x軸從O點(diǎn)移動(dòng)到x=6m處,電勢(shì)能增大量ΔEp=e U=8e V。沿x軸正方向,φ-x圖像斜率的相對(duì)值先減小后增大,因此電場(chǎng)強(qiáng)度先減小后增大。答案為C。

A.EBx的大小大于ECx的大小

B.EBx的方向沿x軸正方向

C.電荷在O點(diǎn)受到的靜電力在x軸方向上的分量最大

D.負(fù)電荷沿x軸從B點(diǎn)移動(dòng)到C點(diǎn)的過(guò)程中,靜電力先做正功,后做負(fù)功

圖5

提示:φ-x圖像的斜率的絕對(duì)值等于電場(chǎng)強(qiáng)度沿x軸方向分量的大小,因此EBx＞ECx。同理可知,O點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)在x軸方向上的分量最小,電荷在該點(diǎn)受到的靜電力在x軸方向上的分量最小。沿電場(chǎng)線方向電勢(shì)降低,在O點(diǎn)左側(cè),EBx的方向沿x軸負(fù)方向,在O點(diǎn)右側(cè),ECx的方向沿x軸正方向。負(fù)電荷所受靜電力的方向與場(chǎng)強(qiáng)相反,由此負(fù)電荷沿x軸從B點(diǎn)移動(dòng)到C點(diǎn)的過(guò)程中,靜電力先做正功,后做負(fù)功。答案為A D。

小結(jié):創(chuàng)新題2與上述常規(guī)題同屬對(duì)電場(chǎng)中φ-x圖像的分析,不同的是創(chuàng)新題2的圖像延伸到了x軸下方,且既需定性分析,又需定量計(jì)算,難度有所增加。

現(xiàn)學(xué)現(xiàn)練:a、c、d、b依次為x軸上的四個(gè)點(diǎn),a與b、c與d均關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱。a、b兩點(diǎn)固定著兩個(gè)電荷量相等的點(diǎn)電荷,如圖6所示的Ex-x圖像描繪了x軸上部分區(qū)域的電場(chǎng)強(qiáng)

度變化情況(以x軸正方向?yàn)殡妶?chǎng)強(qiáng)度的正方向)。下列判斷正確的是( )。

圖6

A.c、d兩點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)相同

B.c、d兩點(diǎn)的電勢(shì)相同

C.正的試探電荷從c點(diǎn)移動(dòng)到d點(diǎn)靜電力做負(fù)功

D.負(fù)的試探電荷在c處的電勢(shì)能較d處的大

思路點(diǎn)撥:本題與創(chuàng)新題2均是電場(chǎng)的圖像分析問(wèn)題,只是由φ-x圖像變成了Ex-x圖像。a、b兩點(diǎn)固定著兩個(gè)電荷量相等的點(diǎn)電荷,中點(diǎn)O處的電場(chǎng)強(qiáng)度為負(fù)值,說(shuō)明兩點(diǎn)電荷是等量異種電荷,且a、b兩點(diǎn)分別為負(fù)電荷和正電荷。根據(jù)兩等量異種點(diǎn)電荷電場(chǎng)線的分布情況可知,c、d兩點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)相同,c點(diǎn)的電勢(shì)低于d點(diǎn)的電勢(shì),負(fù)的試探電荷在c處的電勢(shì)能較d處的大。正的試探電荷從c點(diǎn)移動(dòng)到d點(diǎn),是逆著電場(chǎng)線移動(dòng),靜電力做負(fù)功。答案為A C D。

二、磁場(chǎng)創(chuàng)新題賞析

圖7

創(chuàng)新題3:(2018年高考全國(guó)Ⅱ卷)如圖7所示,紙面內(nèi)有兩條互相垂直的長(zhǎng)直絕緣導(dǎo)線L1、L2,L1中的電流方向向左,L2中的電流方向向上;L1的正上方有a、b兩點(diǎn),它們相對(duì)于L2對(duì)稱。整個(gè)系統(tǒng)處于勻強(qiáng)外磁場(chǎng)中,外磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B0,方向垂直于紙面向外。已知a、b兩點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小分別為方向也垂直于紙面向外。則( )。

A.流經(jīng)L1的電流在b點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為

B.流經(jīng)L1的電流在a點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為

C.流經(jīng)L2的電流在b點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為

D.流經(jīng)L2的電流在a點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為

解析:設(shè)流經(jīng)L1的電流在a點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B1a,方向垂直于紙面向里;流經(jīng)L2的電流在a點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B2a,方向垂直于紙面向里;流經(jīng)L1的電流在b點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B1b,方向垂直于紙面向里;流經(jīng)L2的電流在b點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B2b,方向垂直于紙面向外。因?yàn)閷?dǎo)線L1、L2相互垂直,且a、b兩點(diǎn)相對(duì)于L2對(duì)稱,所以B1a=B1b,B2a=B2b。以垂直于紙面向里的方向?yàn)檎较?由磁場(chǎng)的矢量疊加法則得答案為A C。

A.1區(qū)

B.2區(qū)

C.3區(qū)

D.4區(qū)

圖8

提示:先應(yīng)用安培定則分析六根通電導(dǎo)線在各區(qū)域產(chǎn)生的磁場(chǎng)的方向,再根據(jù)磁場(chǎng)的矢量疊加法則可定性判斷出指向紙面內(nèi)的磁場(chǎng)最強(qiáng)的區(qū)域是4區(qū)。答案為D。

小結(jié):創(chuàng)新題3與上述常規(guī)題均需應(yīng)用安培定則和磁場(chǎng)的矢量疊加法則,分析幾根通電導(dǎo)線周圍的磁場(chǎng)。創(chuàng)新題3的新穎之處在于需對(duì)磁感應(yīng)強(qiáng)度進(jìn)行定量計(jì)算,其難度明顯大于上述常規(guī)題。

圖9

現(xiàn)學(xué)現(xiàn)練:無(wú)限長(zhǎng)通電直導(dǎo)線在周圍某一點(diǎn)產(chǎn)生的磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小與電流成正比,與導(dǎo)線到這一點(diǎn)的距離成反比,即(式中k為常數(shù))。如圖9所示,兩根相距為L(zhǎng)的無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線分別通有電流I和3I,在兩根導(dǎo)線的連線上有a、b兩點(diǎn),a點(diǎn)為兩根導(dǎo)線連線的中點(diǎn),b點(diǎn)到通有電流I的導(dǎo)線的距離為L(zhǎng)。下列說(shuō)法中正確的是( )。

A.a點(diǎn)和b點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度方向相同

B.a點(diǎn)和b點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度方向相反

C.a點(diǎn)和b點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小之比為8∶1

D.a點(diǎn)和b點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小之比為16∶1

思路點(diǎn)撥:本題與創(chuàng)新題3一樣,需要對(duì)通電導(dǎo)線疊加場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度進(jìn)行定量計(jì)算,還涉及對(duì)題給公式的運(yùn)用。取豎直向下為正方向,根據(jù)安培定則和磁場(chǎng)的矢量疊加法則得a、b兩點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度分別為二者的方向相同,大小之比為16∶1。答案為A D。

圖10

創(chuàng)新題4:如圖10所示,在平面直角坐標(biāo)系x O y的第一象限內(nèi),存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng),方向垂直于紙面向外。在y軸上的A點(diǎn)放置一放射源,可以不斷地沿x O y平面內(nèi)的不同方向以大小不等的速度放射出質(zhì)量為m、電荷量為+q的同種粒子,這些粒子打到x軸上的P點(diǎn)。已知O A=O P=l,則( )。

圖11

解析:設(shè)粒子的速度大小為v時(shí),其在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)半徑為R,由牛頓運(yùn)動(dòng)定律得若粒子以最小的速度到達(dá)P點(diǎn),則其軌跡一定是以A P為直徑的圓弧(如圖11中圓O1所示),由幾何關(guān)系知sAP=l,R=則粒子的最小速度粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)周期設(shè)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)的軌跡所對(duì)應(yīng)的圓心角為θ,則粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡是圖11中圓O2的一部分,此時(shí)粒子的初速度方向豎直向上,由幾何關(guān)系得θ=3π,因此粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最

圖12

A.粒子帶正電

B.粒子帶負(fù)電

C.粒子由O點(diǎn)到A點(diǎn)經(jīng)歷的時(shí)間t=πm 3q B

D.粒子的速度沒(méi)有變化

提示:根據(jù)粒子的偏轉(zhuǎn)方向,由左手定則可知粒子帶負(fù)電。粒子由O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn),速度方向偏轉(zhuǎn)了60°,故經(jīng)歷的時(shí)間在此過(guò)程中,粒子的速度大小未變,但方向發(fā)生了變化。答案為B C。

小結(jié):創(chuàng)新題4與上述常規(guī)題類似,均涉及帶電粒子在分布于平面直角坐標(biāo)系第一象限內(nèi)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做部分勻速圓周運(yùn)動(dòng),其創(chuàng)新之處在于將粒子沿單一方向的入射,改成了從不同方向以大小不等的速度入射,求解時(shí)要求對(duì)臨界情況有較強(qiáng)的分析能力。

圖13

現(xiàn)學(xué)現(xiàn)練:如圖13所示,空間存在垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng),一粒子發(fā)射源P位于足夠大的絕緣板A B上方,間距為d,在紙面內(nèi)向各個(gè)方向發(fā)射速率均為v的同種帶電粒子,不考慮粒子間的相互作用和粒子自身的重力。已知粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑也為d,則粒子( )。

B.能打在板上的區(qū)域長(zhǎng)度是2d

思路點(diǎn)撥:本題與創(chuàng)新題4相似,同樣涉及帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做部分勻速圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題。打在板上粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的臨界狀態(tài)如圖14甲所示,根據(jù)幾何關(guān)系可知,帶電粒子能打在板上離P點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離s=2R=2d,能打在板上的區(qū)域長(zhǎng)度l=R+最長(zhǎng)和最短的運(yùn)動(dòng)軌跡示意圖如圖14乙所R=(1+)d。粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間示,根據(jù)幾何關(guān)系可知,最長(zhǎng)時(shí)間最短時(shí)間又有粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期解得答案為C。

圖14

編者注:帶電粒子在電場(chǎng)或磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)是同學(xué)們學(xué)習(xí)電場(chǎng)和磁場(chǎng)時(shí)的重點(diǎn)也是難點(diǎn),本文僅僅展示了帶電粒子在單一電場(chǎng)或磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng),下期將著重介紹帶電粒子在電、磁復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng),敬請(qǐng)期待。