劉瑞娟，康美玲，徐 欣，林海燕

(廈門理工學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，福建 廈門 361024)

近20年來，分?jǐn)?shù)階微積分與分?jǐn)?shù)階控制理論得到了前所未有的發(fā)展，在彈性材料、圖像處理、電化學(xué)過程等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用[1-2],表現(xiàn)出比一般的整數(shù)階系統(tǒng)更加優(yōu)良的控制性能。然而當(dāng)分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)考慮模型不確定性時，則對系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析及控制器設(shè)計(jì)帶來較大的困難[3-4]。常規(guī)方法不易直接運(yùn)用到分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)中。

穩(wěn)定性是一個系統(tǒng)最為基本的特性，同時也是系統(tǒng)能夠正常運(yùn)作的前提。分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)穩(wěn)定性的研究目前已取得了一系列成果。1996年，Matignon[5]以有限維的線性微分方程為研究對象對分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題進(jìn)行了研究。 Chen等[6-7]討論了含區(qū)間不確定性系數(shù)的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的魯棒能控性，并利用線性矩陣不等式方法解決了含不確定參數(shù)的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的混沌同步問題。Sabatier等[8]得到復(fù)數(shù)域上分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)(0<α<1)狀態(tài)反饋可鎮(zhèn)定的充分必要條件；Lu等[9]分別研究了在1<α<2和0<α<1的情況下分?jǐn)?shù)階區(qū)間不確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并分別得到狀態(tài)反饋可鎮(zhèn)定的充分必要條件及充分條件。Lan等[10]提出的基于觀測器的方法使分?jǐn)?shù)階標(biāo)稱系統(tǒng)獲得了優(yōu)于文獻(xiàn)[9]的穩(wěn)定性及控制性能。然而，現(xiàn)有文獻(xiàn)尚未對參考輸入為周期信號的分?jǐn)?shù)階重復(fù)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性能及跟蹤控制展開研究。本文針對一類分?jǐn)?shù)階不確定重復(fù)控制系統(tǒng)，建立基于分?jǐn)?shù)階觀測器的控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，應(yīng)用間接Lyapunov方法分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。

1 預(yù)備知識

引理1[11]:分?jǐn)?shù)階非線性微分方程

Dαx(t)=f(x(t))，

采用分?jǐn)?shù)積分器的連續(xù)頻率分布模型，可以等價(jià)為

(1)

引理2(Schur補(bǔ))[12]：對給定對稱矩陣Σ，

(2)

引理3[13]：給定有合適維度的矩陣H和E，對于所有的F(t)，F(xiàn)T(t)F(t)≤I，

HF(t)E+ETFT(t)HT<0

(3)

成立，當(dāng)且僅當(dāng)存在ε>0，滿足：

εHHT+ε-1ETE<0。

(4)

(5)

2 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

考慮帶不確定性的重復(fù)控制系統(tǒng)

(6)

式(6)中：x(t)∈Rn為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，u(t)∈Rp與y(t)∈Rq分別表示控制輸入與輸出，系統(tǒng)參數(shù)A，B和C則為具有適當(dāng)維數(shù)的已知常數(shù)矩陣，被控對象的不確定性表達(dá)式為

(7)

式(7)中：M，N0和N1為已知常數(shù)矩陣，E(t)∈Rn×n有界且勒貝格可測。

構(gòu)建基于分?jǐn)?shù)階狀態(tài)觀測器的重復(fù)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，如圖1所示。

圖1 分?jǐn)?shù)階重復(fù)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

該控制系統(tǒng)由不確定被控對象、分?jǐn)?shù)階狀態(tài)觀測器和重復(fù)控制器組成。

重復(fù)控制器即為常見的含有時滯項(xiàng)及低通濾波器的模塊，濾波器為如下形式：

(8)

式(8)中:ωc表示的是濾波器的剪切角頻率。則重復(fù)控制器的狀態(tài)空間表達(dá)式為

(9)

采用龍伯格型全維狀態(tài)觀測器來估計(jì)被控對象的狀態(tài)，設(shè)為

(10)

(11)

圖1中控制輸入為

(12)

(13)

由式(6) (10)和(12)，得

(14)

結(jié)合式(6)(10)(11)和(12)，有

(15)

將式(6)代入式(9)，得

(16)

聯(lián)立式(14)～(16)得出系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程

(17)

式(17)中：

3 控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

對控制系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析。假設(shè)輸出矩陣的奇異值分解為

(18)

定理1：如果存在對稱正定矩陣X1,Y11,Y22,X2,X11,X22,X3,以及合適維數(shù)的矩陣W1,W2,W3,W4,W5,使得如下線性矩陣不等式可行：

(19)

式(19)中:

那么系統(tǒng)(17)是魯棒穩(wěn)定的，且控制器參數(shù)如下：

Kp=W1X1-1,Ke=W2USY11S-1UT,L=W3USX11S-1UT。

(20)

證明：首先，利用引理1，分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)方程可寫為

(21)

選取如下Lyapunov函數(shù)：

(22)

其中P是對稱正定矩陣，對V(t)求一階導(dǎo)，得

(23)

在此基礎(chǔ)上，把上述式子得到的結(jié)果分成確定項(xiàng)Ω1和不確定項(xiàng)Ω2。

(24)

應(yīng)用引理2，式(24)等價(jià)于：

(25)

令X=P-1，將式(19)分別左乘，右乘diag{X,I,I,I}，得

(26)

令

(27)

得式(19)(20)，定理得證。

控制器參數(shù)設(shè)計(jì)算法：(1)根據(jù)被控對象參數(shù)分別選取ωc，ε，ε1；(2)根據(jù)定理1編寫程序，由式(20)得到控制器參數(shù)。

4 數(shù)值算例分析

假設(shè)系統(tǒng)(1)中各參數(shù)為

(28)

將狀態(tài)空間方程中剪切頻率的參數(shù)設(shè)為ωc=100。選取ε=1,ε1=1,根據(jù)定理1，應(yīng)用Matlab中的LMI工具箱，結(jié)合程序運(yùn)行可求得tmin=-0.025 4<0，并得到線性矩陣不等式的一組可行解：

(29)

從該算例可以看出，當(dāng)系統(tǒng)包含模型不確定性時，運(yùn)用本文方法可以得到使重復(fù)控制系統(tǒng)穩(wěn)定的可行解，并使系統(tǒng)獲得良好的控制性能。該方法基于與模型同階的分?jǐn)?shù)階狀態(tài)觀測器，能夠很好地估計(jì)被控對象的狀態(tài)，且算法簡便易行。

5 結(jié)語

本文提出了一種分?jǐn)?shù)階重復(fù)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析方法?；谂c被控對象同階的分?jǐn)?shù)階狀態(tài)觀測器，建立控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，得到狀態(tài)空間方程，應(yīng)用間接Lyapunov方法及線性矩陣不等式理論，推導(dǎo)出系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定的充分條件以及控制器參數(shù)。通過數(shù)值算例，應(yīng)用Matlab工具箱驗(yàn)證了所提方法的可行性，并使系統(tǒng)獲得良好的控制性能。