■廣東省江門市新會(huì)陳經(jīng)綸中學(xué) 王景珊

高考對(duì)《極坐標(biāo)與參數(shù)方程》的考查主要是圍繞“極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程、普通方程的互化,以及利用參數(shù)方程的點(diǎn)參式代入構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)求最值、極坐標(biāo)方程的建立與應(yīng)用”等考點(diǎn)展開的,凸顯極坐標(biāo)和參數(shù)方程建立過程中所隱含的等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)方程等思想的具體應(yīng)用。

聚焦1——極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程、普通方程的互化

例1(河南省中原名校(豫南九校)2018屆高三上學(xué)期第四次質(zhì)量考評(píng))已知曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ=1,曲線C2的參數(shù)方程為

(1)將兩曲線化成普通坐標(biāo)方程;

(2)求兩曲線的公共弦長及公共弦所在的直線方程。

解析：(1)利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系消參或用整體化普通方程。曲線C1：ρ=1的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=1。①

(2)由①-②得2x+2y+1=0,即為過兩圓的交點(diǎn)的弦所在的直線方程。

品味：把參數(shù)方程化為普通方程要明確哪一個(gè)量是參數(shù),且注意參數(shù)的取值對(duì)普通方程中x及y的取值范圍的影響。消參常用“代入法”、“加減消元”或“平方消元”;對(duì)直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化,有時(shí)要將極坐標(biāo)方程作適當(dāng)轉(zhuǎn)化,若是和角,常用兩角和與差的三角公式展開得到整體公式形式,有時(shí)為了出現(xiàn)公式的整體,兩邊可以同乘以ρ運(yùn)用整體公式而在判斷直線與圓或圓與圓的位置關(guān)系時(shí),?；癁橹苯亲鴺?biāo)方程再解決。

聚焦2——利用參數(shù)方程的點(diǎn)參式代入構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)求最值

例2(2017年新課標(biāo)原創(chuàng)押題預(yù)測(cè)卷02)平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ=3。

(1)求出直線l的普通方程及曲線C1的直角坐標(biāo)方程;

(2)若直線l與曲線C1交于A,B兩點(diǎn),C是曲線C1上與A,B不重合的一點(diǎn),求△ABC面積的最大值。

解析：(1)利用代入法消去參數(shù)t得直線l的普通方程為x-y+1=0。用二倍角公式對(duì)ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ=3變形有ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3,所以,則曲線C1的直角坐標(biāo)方程為

因?yàn)镃是曲線C1上一點(diǎn),所以可設(shè)則點(diǎn)C到直線l的距離d=

所以△ABC面積的最大值為

品味：將直線與橢圓的參數(shù)方程都化為普通方程后求交點(diǎn),橢圓或圓上任一點(diǎn)到一條直線的距離的最值,點(diǎn)參式代入利用點(diǎn)到直線的距離公式構(gòu)建目標(biāo)函數(shù),借助正余弦函數(shù)的有界性確認(rèn)最值,進(jìn)而求得參數(shù)的值,彰顯了參數(shù)方程的作用。一般地,涉及橢圓或圓上點(diǎn)的最值、定值、軌跡等問題,當(dāng)直接處理不好下手時(shí),可考慮橢圓或圓的參數(shù)方程,利用點(diǎn)參式代入進(jìn)行處理,將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的有界性或函數(shù)問題求解。

聚焦3——利用極坐標(biāo)方程求解長度有關(guān)問題

例3(2017年四川瀘州四診)在直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù))。以為極點(diǎn),φ O x軸的非負(fù)半軸為極軸建立坐標(biāo)系。

(1)求圓C的極坐標(biāo)方程;

(2)設(shè)直線l的極坐標(biāo)方程是射線0)與圓C的交點(diǎn)為O,P,與直線l的交點(diǎn)為Q,求線段PQ的長。

解析：(1)對(duì)圓C的參數(shù)方程變形平方消參得(x-1)2+y2=1,把x=ρcosθ,y=ρsinθ代入化簡(jiǎn)得圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ。

(2)從原點(diǎn)出發(fā)的射線與不同的兩曲線相交,求交點(diǎn)之間的距離,選用極坐標(biāo)方程,利用極徑的幾何意義簡(jiǎn)化求解。射線y=0(x≥0)的極坐標(biāo)方程是,設(shè)點(diǎn)P(ρ1,θ1),則解得設(shè)點(diǎn)Q(ρ2,θ2),則解得

由于θ1=θ2,所以所以線段PQ的長為2。

品味：從原點(diǎn)出發(fā)的一條射線上兩點(diǎn)之間的距離,實(shí)質(zhì)是同一個(gè)角對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)極徑差的絕對(duì)值,選用極坐標(biāo)方程進(jìn)行探究。特別是遇到以極坐標(biāo)為背景的求三角形面積、距離、線段長等幾何問題時(shí),常常利用極坐標(biāo)的幾何意義尋求突破,凸顯極坐標(biāo)方程的建立過程中“數(shù)形結(jié)合”思想的具體應(yīng)用。

聚焦4——利用極坐標(biāo)方程求解最值問題

例4(2017年陜師大附中高三年級(jí)第二次?？?在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線(為參數(shù),實(shí)數(shù)a＞0),φ曲線(為參數(shù),實(shí)數(shù)φb＞0)。在以O(shè)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,射線與C交于O,A兩點(diǎn),與1C2交于O,B兩點(diǎn)。當(dāng)α=0時(shí)當(dāng)時(shí),

(1)求a,b的值;

解析：(1)曲線C1的普通方程為(xa)2+y2=a2,其極坐標(biāo)方程為ρ=2a·cosθ,由已知條件可得,當(dāng)θ=0時(shí),|OA|=ρ=1,所以

曲線C2的普通方程為x2+(y-b)2=b2,其極坐標(biāo)方程為ρ=2bsinθ,由已知條件可得,當(dāng)時(shí),|OB|=ρ=2,所以b=1。

(2)利用極坐標(biāo)方程的意義構(gòu)建長度和的目標(biāo)函數(shù),借助三角變換及三角函數(shù)的有界性求最值。

由a,b的值可得曲線C1,C2的極坐標(biāo)方程分別為ρ=cosθ,ρ=2sinθ,所以

品味：從原點(diǎn)出發(fā)的一條射線上兩點(diǎn)之間的距離,實(shí)質(zhì)是同一個(gè)角對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)極徑差的絕對(duì)值,凡涉及三角形面積、距離、線段長等幾何最值問題,借助極坐標(biāo)方程將長度轉(zhuǎn)化為極角的三角函數(shù)求解。

聚焦5——利用直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程中“t”的幾何意義簡(jiǎn)化求解問題

例5(湖南省五市十校教研教改共同體2018屆高三12月聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系中,直線l經(jīng)過點(diǎn)P(0,1),傾斜角為。在以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C的方程為ρ=4sinθ。

(1)寫出直線l的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程;

(2)設(shè)直線l與曲線C相交于A、B兩點(diǎn),求的值。

解析：(1)先根據(jù)直線參數(shù)方程標(biāo)準(zhǔn)式寫直線l的參數(shù)方程,直線l的參數(shù)方程為

利用y=ρsinθ,x=ρcosθ化簡(jiǎn)極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程。因?yàn)棣?4sinθ,所以ρ2=4ρsinθ,所以x2+y2=4y,即曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+(y-2)2=4。(2)將直線l的參數(shù)方程代入圓的方程,再根據(jù)參數(shù)的幾何意義化簡(jiǎn)最后根據(jù)韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)求值。

將l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程,得t2-t-3=0,顯然Δ＞0,所以t1+t2=1,t1t2=-3,所以|PA|·|PB|=|t1t2|=3。

品味：過定點(diǎn)M0(x0,y0)且傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為為參數(shù)),其中t表示直線l上以定點(diǎn)M0為起點(diǎn),以任意一點(diǎn)M(x,y)為終點(diǎn)的有向線段。若直線l上兩點(diǎn)A,B所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為tA,tB,則A,B兩點(diǎn)之間的距離為|AB|=|tA-tB|,特別地,A,B兩點(diǎn)到M0的距離分別為|tA|,|tB|。若M0是線段AB的中點(diǎn),則tA+tB=0,反之亦然。借助t的幾何意義來表示線段長會(huì)很方便。

聚焦6——非標(biāo)準(zhǔn)的直線參數(shù)方程中“t”的幾何意義的應(yīng)用

例6(2017年江西師大高三年級(jí)模擬1)在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(為參數(shù)),若以該直角坐標(biāo)t系的原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ+4cosθ=0。(1)求直線l與曲線C的普通方程;(2)已知直線l與曲線C交于A,B兩點(diǎn),設(shè)M(-2,0),求的值。

解析：(1)由得2),直線l的普通方程為

由ρsin2θ+4cosθ=0,得ρ2sin2θ+4ρcosθ=0。

又因?yàn)棣裞osθ=x,ρsinθ=y,所以曲線C的普通方程為y2=-4x。

(2)設(shè)A,B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,將代入,得y2=-4x3t2+4t-8=0,所以

因?yàn)橹本€l的參數(shù)方程為可化為

品味：過點(diǎn)P(x0,y0),斜率為的直線的參數(shù)方程可表示為其中,為參數(shù),且的幾何意義與標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程中“t”的幾何意義一樣。