李龍輝
1問題的提出
作為人類社會實踐活動所產(chǎn)生的重要物質(zhì)財富和精神財富,“數(shù)學(xué)”無疑屬于文化的范疇,[1]雖然關(guān)于“數(shù)學(xué)文化”這一概念尚未形成統(tǒng)一的學(xué)科共識,但大多強調(diào)數(shù)學(xué)文化的“共同體”意識,即“數(shù)學(xué)文化”是人類共同體對客觀世界深入探索的智慧結(jié)晶,不同社會文化環(huán)境下的數(shù)學(xué)研究者借助共通的數(shù)學(xué)語言,一方面深化自身對于數(shù)學(xué)觀念的認知水平,另一方面為其他自然學(xué)科和人文社科提供研究工具,也為數(shù)學(xué)學(xué)科的理論拓展提供理論基礎(chǔ),從而達成數(shù)學(xué)研究者、數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)精神與價值觀念等文化要素的有機統(tǒng)一,[2]在中小學(xué)階段,“數(shù)學(xué)文化”的互動主要基于系統(tǒng)完整的數(shù)學(xué)教育過程,即教師以數(shù)學(xué)課堂教學(xué)這一情境為中心,以顯性的數(shù)學(xué)知識規(guī)范為載體,引導(dǎo)學(xué)生不斷接觸、認同、內(nèi)化數(shù)學(xué)觀念這一隱性知識的過程,
數(shù)學(xué)課堂文化是數(shù)學(xué)文化的微觀表現(xiàn)形式,數(shù)學(xué)文化為數(shù)學(xué)課堂文化提供了共同體支撐、教學(xué)框架、理論積淀等文化要素[3],“數(shù)學(xué)課堂文化”為數(shù)學(xué)教師探尋數(shù)學(xué)文化在中學(xué)課堂的有效滲透提供了全新的教學(xué)視角,歸根結(jié)底,數(shù)學(xué)課堂文化是師生在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過程中共同堅守的課堂精神、教學(xué)理念和教學(xué)行為的總和,本質(zhì)上師生對于數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)主體性選擇的結(jié)果.[4]因此教師在學(xué)科核心素養(yǎng)理念指導(dǎo)下,通過數(shù)學(xué)課堂進行數(shù)學(xué)文化的有效滲透,為學(xué)生在分科課程情境下發(fā)展核心素養(yǎng)輸送數(shù)學(xué)學(xué)科營養(yǎng),將是未來高中數(shù)學(xué)教育的基本取向,
“斐波那契數(shù)列”源于13世紀(jì)初意大利數(shù)學(xué)家列奧納多·斐波那契(Leonardo Fibonacci)《算盤全書》(Liber Abacci)中關(guān)于動物繁殖的經(jīng)典數(shù)學(xué)問題,即“如果一對兔子每月能生一對小兔子,而每一對小兔子在出生后的第三個月又能生出一對小兔子,在不發(fā)生任何兔子死亡的情形下,50個月之后會生出多少對小兔子”,人們通過“斐波那契數(shù)列”這一看似樸素的數(shù)學(xué)問題與“楊輝三角”、“盧卡斯數(shù)列”、“恒等式”等數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)相關(guān)問題緊密關(guān)聯(lián),也引發(fā)了“斐波那契螺旋”、“斐波那契堆”、“歐幾里得算法”、“波浪理論”等跨學(xué)科衍生研究,人教A版教科書通過“閱讀與思考”的課外導(dǎo)讀方式呈現(xiàn)了“斐波那契數(shù)列”的相關(guān)知識,為師生們圍繞這一富有數(shù)學(xué)素養(yǎng)意味的問題,探究積極生動的數(shù)學(xué)課堂文化之路徑提供了重要載體,因此本文擬以數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的視角,從“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”與“數(shù)學(xué)課堂文化”的互動關(guān)系入手,以“斐波那契數(shù)列”數(shù)學(xué)課堂文化要素的探究為中心,初步探討高中數(shù)學(xué)課堂文化教學(xué)鏡像的呈現(xiàn)問題.
2數(shù)學(xué)抽象與直觀想象:高中數(shù)學(xué)課堂文化的“知識理解”鏡像
數(shù)學(xué)現(xiàn)象為高中數(shù)學(xué)課堂文化的呈現(xiàn)提供了豐富的教學(xué)情境,“數(shù)學(xué)抽象”素養(yǎng)要求學(xué)生透過現(xiàn)實世界中數(shù)學(xué)現(xiàn)象的數(shù)量、形狀、位置等物理屬性,歸納概括數(shù)學(xué)現(xiàn)象的本質(zhì)特征,而這種“本質(zhì)特征”的教學(xué)呈現(xiàn)往往依托于師生之間對于數(shù)學(xué)現(xiàn)象形態(tài)與變化的“直觀想象”素養(yǎng),因此“數(shù)學(xué)抽象”與“直觀想象”實為師生以數(shù)學(xué)的學(xué)科眼光,共同展開對于數(shù)學(xué)現(xiàn)象的觀察過程[5],這種“觀察”并不是走馬觀花式的“瀏覽”,而是師生們在課堂教學(xué)中以問題情境為中心,通過數(shù)學(xué)現(xiàn)象的數(shù)量關(guān)系與圖形關(guān)系深入思索,并在數(shù)學(xué)現(xiàn)象意義建構(gòu)的基礎(chǔ)上提煉“知識經(jīng)驗”與“語言符號”,使之成為教學(xué)共同體數(shù)學(xué)文化交流范式的過程,因而“數(shù)學(xué)抽象”與“直觀想象”共同構(gòu)成了高中數(shù)學(xué)課堂文化的“知識理解”鏡像,高中數(shù)學(xué)課堂文化的“知識理解”是學(xué)生認知過程和認知結(jié)果的有機統(tǒng)一,高中數(shù)學(xué)課堂文化的“知識理解”鏡像既包括教師引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)現(xiàn)象本身蘊含知識經(jīng)驗和語言符號的本質(zhì)辨識,即學(xué)生通過“數(shù)學(xué)抽象”與“直觀想象”的有效作用,從數(shù)學(xué)現(xiàn)象的本身性質(zhì)和類屬等認知范疇,以及新舊數(shù)學(xué)知識之間的邏輯關(guān)聯(lián)兩個維度,在知識認知——知識運用——知識認知的循環(huán)認知過程不斷達成新認知平衡的過程,也包括學(xué)生數(shù)學(xué)基本技能演進的過程,即“數(shù)學(xué)抽象”與“直觀想象”既是基于數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生的活動經(jīng)驗而回應(yīng)數(shù)學(xué)知識演進結(jié)果的陳述性知識,也是具有廓清數(shù)學(xué)知識動態(tài)生成路徑方法論意義的程序性知識,
“數(shù)列”( sequence of number)源于人類對于生產(chǎn)生活過程中客觀事物離散性的數(shù)學(xué)刻畫,因此人類的早期數(shù)列研究往往表現(xiàn)為具體事物直觀的數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系、形態(tài)變化的現(xiàn)實情境抽象,例如畢達哥拉斯的“三角形數(shù)”、“正方形數(shù)”,在“斐波那契數(shù)列”的數(shù)學(xué)文化探究過程中,教師應(yīng)通過以上數(shù)學(xué)史知識的導(dǎo)入有效營造數(shù)學(xué)文化探究情境,使學(xué)生明了“數(shù)列”的由來與基本發(fā)展情況,特別是“數(shù)列”的列表法、圖示法、通項公式法等表示法的相關(guān)知識,通過數(shù)列通項公式、數(shù)列求和、數(shù)列與函數(shù)關(guān)系等知識的溫故知新,建立數(shù)學(xué)知識間的邏輯聯(lián)結(jié),將學(xué)生陌生疏離的“斐波那契數(shù)列”納入學(xué)生已知知識的研究范式,從而鼓舞學(xué)生對問題探究的興趣,教師引導(dǎo)學(xué)生以“斐波那契問題”由文本的自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言這一知識理解過程為中心,比較圖示法(圖1、圖2)、列表法(圖3)、通項公式法這三種數(shù)學(xué)方法對刻畫兔子繁殖過程進行“數(shù)學(xué)抽象”與“直觀想象”的作用[6],從而凸顯通項公式法在展示“斐波那契數(shù)列”數(shù)量關(guān)系和形態(tài)變化上的意義,以數(shù)形結(jié)合思想打通數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)的知識畛域,為學(xué)生理解“斐波那契數(shù)列”的線性遞歸特性提供認知支架.
3邏輯推理與數(shù)學(xué)運算:高中數(shù)學(xué)課堂文化的“知識遷移”鏡像
邏輯推理是按照歸納、類比、演繹等邏輯規(guī)則對數(shù)學(xué)事實和數(shù)學(xué)命題推導(dǎo)的思維過程,“邏輯推理”素養(yǎng)是數(shù)學(xué)思維品質(zhì)深刻性和預(yù)見性的重要表現(xiàn),“數(shù)學(xué)運算”則是學(xué)生在運算法則的指導(dǎo)下運用演繹推理形式,明確運算對象、明了運算方向、遴選運算策略、設(shè)置運算程序、獲取運算結(jié)果的思維過程.[7]“邏輯推理”與“數(shù)學(xué)運算”統(tǒng)一于師生以數(shù)學(xué)的學(xué)科眼光開展對客觀世界的分析過程,即師生在不斷變化的問題情境中對數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗與語言符號的加工處理,使之成為教學(xué)共同體內(nèi)數(shù)學(xué)文化交流行為規(guī)則的過程,因而“邏輯推理”與“數(shù)學(xué)運算”共同構(gòu)成了高中數(shù)學(xué)課堂文化的“知識遷移”鏡像,高中數(shù)學(xué)課堂文化的“知識遷移”鏡像既包括學(xué)生在“知識理解”基礎(chǔ)上對數(shù)學(xué)基本技能在新問題情境下的有效遷移,即基于新問題情境與原有問題情境的特征差異辨識,采取靈活的認知策略激活與調(diào)整原有問題解決方案的樣態(tài),以適應(yīng)新情境下的問題解決,也包括學(xué)生基于“知識理解”對數(shù)學(xué)基本技能在新問題情境上的多元遷移,即考查學(xué)生能否全方位地調(diào)用數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)和跨學(xué)科的知識資源,將多個原有情境的問題表征進行有效整合與提煉,從而服務(wù)于新情境問題的識別、判斷、篩選、決策的表現(xiàn),
“數(shù)學(xué)猜想”是“邏輯推理”素養(yǎng)與“數(shù)學(xué)運算”素養(yǎng)的重要交集,教師在“斐波那契數(shù)列”的數(shù)學(xué)文化探究中應(yīng)提供數(shù)形結(jié)合、方程思想、幾何代數(shù)轉(zhuǎn)化等理論視角讓學(xué)生“大膽猜想,小心求證”,以幫助學(xué)生擺脫數(shù)學(xué)命題具體形態(tài)的影響而找準(zhǔn)問題解決方向,進行有效知識遷移,教師應(yīng)注意學(xué)生知識介入的有效性問題,從{Fn}:1,1,2,3,5,8,13,21,34…這一“斐波那契級數(shù)”出發(fā),借助教材提供的“斐波那契數(shù)列”的遞推關(guān)系式指導(dǎo)學(xué)生FN =Fn-1+Fn-2(n≥3)運用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列、線性遞推數(shù)列的特征方程法、矩陣法等方法,嘗試歸納推導(dǎo)“斐波那契數(shù)列”的通項公式(即比內(nèi)公式Sn),從而引發(fā)學(xué)生對于無理數(shù)與有理數(shù)關(guān)系的全新思考[8],在此基礎(chǔ)上逐步展開對于“斐波那契數(shù)列”各項之間關(guān)系的思考:從相鄰兩項的關(guān)系入手探求其比值,從而發(fā)生與“黃金分割率”的知識遷移(見圖4);通過任意四個連續(xù)斐波那契數(shù)構(gòu)造畢達哥拉斯三角形數(shù),進而探究這些連續(xù)數(shù)之間的乘積、平方和、整除性等性質(zhì),從圖示法入手引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注“楊輝三角”斜線方向的和值構(gòu)成,從而引發(fā)“斐波那契數(shù)列”與“楊輝三角”的知識遷移(見圖5).此外,“斐波那契數(shù)列”的同余及其周期性問題、“斐波那契數(shù)列”在計數(shù)組合題探究中的運用都是值得關(guān)注的探究問題.[9]
4數(shù)據(jù)分析與數(shù)學(xué)建模:高中數(shù)學(xué)課堂文化的“知識創(chuàng)新”鏡像 “數(shù)據(jù)分析”素養(yǎng)要求學(xué)生根據(jù)現(xiàn)實情境問題解決的要求,綜合運用統(tǒng)計方法對有效信息中蘊含的數(shù)據(jù)進行收集、整理、提取,并通過數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建獲得數(shù)學(xué)結(jié)論,“數(shù)學(xué)建?!眲t重點關(guān)注從數(shù)學(xué)視角描述現(xiàn)實情境紛繁復(fù)雜的問題表征,驗證與修正數(shù)學(xué)模型以完善數(shù)學(xué)模型的問題解決功能.[10]“數(shù)據(jù)分析”與“數(shù)學(xué)建?!苯y(tǒng)一于師生以數(shù)學(xué)的學(xué)科眼光開展對客觀世界的表達過程,即師生在不斷變化的問題情境中對數(shù)學(xué)價值觀體系的體悟,使之成為教學(xué)共同體內(nèi)數(shù)學(xué)文化交流的過程,因而“數(shù)據(jù)分析”與“數(shù)學(xué)建模”共同構(gòu)成了高中數(shù)學(xué)課堂文化的“知識創(chuàng)新”鏡像。
高中數(shù)學(xué)課堂文化的“知識創(chuàng)新”鏡像既包括學(xué)生在“知識遷移”基礎(chǔ)上對數(shù)學(xué)知識在開放性情境中的變式求解,即通過挖掘隱藏在原有問題情境深處的創(chuàng)新元素,將原有問題情境的解決作為新問題情境探究的邏輯起點,在教師指引下以新方法的“自我發(fā)現(xiàn)”為中心,通過變式訓(xùn)練不斷拓展原有方法的認知生成空間,從而使“知識理解”、“知識遷移”、“知識創(chuàng)新”捏合為數(shù)學(xué)認知循環(huán),持續(xù)動態(tài)重構(gòu)數(shù)學(xué)知識體系的過程,也包括學(xué)生以知識延伸與方法突破為軸心,通過假設(shè)、實證、求解、反思等數(shù)學(xué)高階思維過程,初步了解數(shù)學(xué)學(xué)科特定的認識世界和改造世界的世界觀和方法論的過程.[11]
大數(shù)據(jù)時代的數(shù)學(xué)知識創(chuàng)新,要求師生貫穿“數(shù)據(jù)分析”與“數(shù)學(xué)建?!敝骶€,共同運用互聯(lián)網(wǎng)資源拓展數(shù)學(xué)教學(xué)的疆界,每小組探究斐波那契數(shù)列的其它性質(zhì),然后利用網(wǎng)絡(luò)搜索所得到的性質(zhì)是否已經(jīng)被發(fā)現(xiàn),在網(wǎng)絡(luò)中查找一下是否還有其它性質(zhì),將得到的結(jié)論填入表格,將學(xué)生分組,利用網(wǎng)絡(luò)搜索斐波那契數(shù)列與生活的聯(lián)系,將收集的資源加工整理,制作成課件,以小組為單位展示課件,并加以說明,嘗試一下,能否借助斐波那契數(shù)列的特性設(shè)計圖案?在網(wǎng)絡(luò)中查找一下利用斐波那契數(shù)列而設(shè)計的圖案,并分析其中蘊含的數(shù)列.
5小結(jié)
隨著高中“新課標(biāo)”對數(shù)學(xué)文化的價值導(dǎo)向日益深入人心,以往數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的過分關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科工具屬性,忽視數(shù)學(xué)學(xué)科文化價值的傾向?qū)⑹艿揭种?,?shù)學(xué)學(xué)科對于學(xué)生適應(yīng)社會發(fā)展和所需“核心素養(yǎng)”的深刻影響將得以彰顯,基于師生間數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗、數(shù)學(xué)語言符號、數(shù)學(xué)思維方式、數(shù)學(xué)價值觀念教學(xué)傳承的高中數(shù)學(xué)課堂文化,在學(xué)科核心素養(yǎng)時代背景下展現(xiàn)出“知識理解”、“知識遷移”、“知識創(chuàng)新”三重鏡像,本文以“斐波那契數(shù)列”的數(shù)學(xué)文化探究,說明了學(xué)科核心素養(yǎng)視角下高中數(shù)學(xué)課堂文化的三重鏡像的主要形態(tài):“知識理解”反映了師生共同調(diào)動數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗和數(shù)學(xué)符號語言“觀察世界”的歷程,體現(xiàn)了高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)問題情境的“建構(gòu)”;“知識遷移”則是對師生運用數(shù)學(xué)思維方式“分析世界”的折射,展現(xiàn)了高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)問題情境的“解構(gòu)”;“知識創(chuàng)新”是對師生共同感悟數(shù)學(xué)價值觀念以科學(xué)地“表達世界”的過程,凸顯了高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)問題情境的“重構(gòu)”,數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)視角下高中數(shù)學(xué)課堂文化的三重鏡像雖然各有側(cè)重,強調(diào)了高中數(shù)學(xué)學(xué)科認知的不同理論維度,但都關(guān)乎高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整體性問題,最終交匯融合于數(shù)學(xué)學(xué)科以“情境一問題一互動”認知模式,使數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)以“多元共通”而“支離割裂”的面貌完整地呈現(xiàn)在高中數(shù)學(xué)課堂,從而持續(xù)推動人類認識世界和改造世界的社會實踐,為數(shù)學(xué)文化在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的有效滲透奠定了堅實的基礎(chǔ),
參考文獻
[1]夏征農(nóng),陳至立.辭海(第六版)[M].上海:上海辭書出版社,2009
[2]鄭強,邱忠華,楊鵬.教育形態(tài)數(shù)學(xué)文化的研究對數(shù)學(xué)教育的啟示[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報,2008 (3):22
[3]聶曉穎,黃秦安.論數(shù)學(xué)課堂文化的內(nèi)涵與模式及對培育教學(xué)核心素養(yǎng)的價值[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報,2017 (4):71-74
[4]胡慧蘭,王文藝.基于生態(tài)學(xué)習(xí)觀的數(shù)學(xué)課堂文化解構(gòu)的初探[J].井岡山大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2010 (2):126-130
[5]彭翕成.例說數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[J].教育研究與評論中學(xué)教育教學(xué),2016 (5):36-40
[6]梁夢倩,馬岷興,麥秋月,胡曉溪.數(shù)學(xué)文化課堂教學(xué)設(shè)計——以“斐波那契數(shù)列”為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(下旬),2016 (8):28-30
[7]史寧中.學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)與教學(xué)——以數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)為例[J].中小學(xué)管理,2017 (1): 35-37
[8]劉海英,徐章韜.內(nèi)蘊斐波那契數(shù)列文化的問題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)(高中版),2011 (11):64-66
[9]甘大旺.教科書中斐波那契數(shù)列的補遺及活用[J].數(shù)學(xué)通訊,2015(4):26-29
[10]常磊,鮑建生.情境視角下的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報,2017 (2):24--28
[11]喻平.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)評價的一個框架[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報,2017 (2):19-23