李秉釗

(北京師范大學附屬中學,北京 100052)

1 前言

對稱的概念來源于日常生活。自然界中的對稱性結構,包括花瓣、蝴蝶、雪片等等,幾乎是隨處可見。通常所說的對稱性,是指一個物體各部分之間平衡和諧。在數(shù)學中,德國數(shù)學家外爾定義：如果一個體系在經(jīng)過操作變換后其狀態(tài)與之前相同,則稱該體系在此操作下對稱。因此,可以通過計算一個體系對稱操作的數(shù)目來評價該體系的對稱性。比如,圓在繞圓心旋轉任意角度的操作下是對稱的,但正方形只在繞中心旋轉90度整數(shù)倍的操作下對稱,因此圓的對稱性要比正方形更好,這也與常識相符。那么,物理學中的對稱性又是什么樣的呢？它又會導致怎樣的結果？下面就這些問題作出回答。

2 物理學中的對稱性

在物理學中,對稱性主要是指物理學規(guī)律的對稱性。例如,經(jīng)典力學體系中的牛頓運動規(guī)律,電磁學體系中的麥克斯韋方程,熱學體系中的熱力學定律等等,這些物理規(guī)律在某些操作變化下具有相同的數(shù)學形式,這就是物理學中所說的對稱性。這些操作包括空間平移、空間旋轉、時間平移等等,而正是這些對稱操作導致了守恒律的出現(xiàn)。

2.1 空間對稱性

對于三維空間來說,最常見的操作是空間平移與空間旋轉?？臻g平移指將物理體系朝某個方向平移一段距離,而空間旋轉指將物理體系繞某個軸旋轉一定的角度。顯然,物理學規(guī)律的數(shù)學形式不應該在這些操作下發(fā)生變化。例如,單擺的運動周期T=2 π,這個規(guī)律的成立不應該依賴于單擺所在的位置。如果我們忽略地球重力加速度g的變化,那么拿著同一個單擺在地面上任何地方做實驗,所得到的結果應該是相同的,這就是物理學規(guī)律的空間平移對稱性。它的本質是空間各位置的等價性,即沒有一個位置具有特殊的地位。同理,拿著單擺在同一位置面向不同方向做實驗,得到的物理結果也應該是相同的,這就是物理學規(guī)律的空間旋轉對稱性。它的本質是空間各個方向的等價性,即沒有一個方向具有特殊的地位。這兩點對稱性保證了任何物理實驗可以在不同的位置和不同的方向重復,并且得到相同的規(guī)律。

2.2 時間對稱性

在時間上,也可以進行一些操作,其中最常見的操作就是時間平移與時間反演。時間平移指將物理體系平移一段時間間隔Δt。一般的物理學體系,都應該滿足時間平移對稱性,即物理學規(guī)律不依賴于所選擇的時間點。同樣的單擺實驗,在昨天或者今天、甚至任意時間點去操作,只要外界的環(huán)境是相同的,就應該得到相同的實驗結果。時間平移對稱性是一個相當普遍的對稱性,它的本質是時間軸上各個時間點的等價性,即沒有一個時間點具有特殊的地位。時間反演是將體系沿著時間逆方向操作。對于無阻力的單擺,其時間反演狀態(tài)也符合牛頓運動定律,因此滿足時間反演對稱性。而對于有阻力單擺或者一些熱現(xiàn)象,一般不滿足時間反演對稱性。

3 對稱性與守恒律

關于對稱性與守恒律之間的關系,德國女數(shù)學家諾特爾給出了著名的論斷：物理體系的任何一個對稱性都對應著一個守恒量,因此也就對應著一個守恒定律。這表明物理量的守恒不是偶然的,它與時空的對稱性、甚至物理理論的對稱性都有著緊密的聯(lián)系。我們一旦破壞了相應的對稱性,其守恒定律同時也就遭到了破壞。假設在某地白天的重力加速度g大,晚上的重力加速度g'小,這樣白天和晚上的物理規(guī)律就不再相同,即破壞了時間平移對稱性。那么,我們可以建造一個永動機,晚上抽水貯存在高處,白天再利用水的落差做功,由于存在勢能差ΔE=m(g-g')h＞0,就會有源源不斷的能量輸出,能量守恒定律因此被破壞。這說明,能量守恒定律是系統(tǒng)時間平移對稱性的結果。同樣的,也可以證明動量守恒定律是系統(tǒng)空間平移對稱性的結果,角動量守恒定律是系統(tǒng)空間旋轉對稱性的結果等等。因此,物理學中的守恒律并不是什么先驗的假設,而是系統(tǒng)對稱性的必然結果。

4 物理定律的結構與分層

物理學在不同的領域里有許多不同的定律,但是它們的地位并不相同,而是分層次的。例如,力學中的胡克定律,電磁學中的歐姆定律,熱學中的理想氣體方程等等,只是適用于一定條件范圍內經(jīng)驗性的規(guī)律,屬于較低層次的定律。而經(jīng)典力學中的牛頓定律,電磁學中的麥克斯韋方程與熱學中的熱力學定律,屬于較高層次的定律,其適用性要廣泛得多：超過彈性范圍,胡克定律就被破壞了,但牛頓定律依然成立;對于非線性電阻,歐姆定律不適用了,但麥克斯韋方程依然成立;對于非理想氣體,理想氣體方程失效了,但熱力學定律依然成立。守恒定律相比于前兩類,屬于更高層次的物理定律。就能量守恒定律來說,這是橫跨整個物理領域的普遍法則,力學、電磁學、熱學都需要滿足這條定律。例如在電磁學里,可以類比于經(jīng)典粒子定義電磁場的能量、動量、角動量等物理量,這些物理量在電磁場的變化過程中是守恒的。這些守恒定律的來源就是物理學中的對稱性,因此對稱性已成為物理學中最核心的概念,是主宰整個自然界的頂層法則。

5 結語

在本文中,我們探究了物理學中對稱性與守恒律之間的關系,指出了時空對稱性與物理量守恒之間的因果聯(lián)系。對稱性已經(jīng)成為現(xiàn)代物理中最核心的概念,也是自然界中最頂層的法則。同時,物理學中對稱性概念的發(fā)展,也離不開數(shù)學家對它做出的貢獻。關于對稱性的研究作為物理學家與數(shù)學家合作的典范,將會在未來的科學發(fā)展中起到更加巨大的作用。

[1] R.P.費曼.走進費曼叢書：物理定律的本性[M].湖南科學技術出版社,2012.

[2] 趙凱華.時空對稱性與守恒律(上篇)——牛頓力學[J].大學物理,2016,35(1)：1-3.

[3] 趙凱華.時空對稱性與守恒律(下篇)——經(jīng)典電動力學[J].大學物理,2016,35(8)：1-13.

[4] 王文清.生命起源中的對稱性破缺[J].北京大學學報,1997,33(2)：265-272.

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