王亮亮

(北京教育考試院 100083)

1 引言

筆者在文[1]～[3]中介紹了北京中考數學學科“過程與結果”并重評價體系的建立過程，并在后續(xù)文章中闡述了評價體系實踐與完善的過程.在上述過程中，深入研究，力爭處理好三對關系：一是考試改革與課程標準的關系；二是考試改革與教研改革的關系；三是考試改革與教學改革的關系.課程標準是考試改革的出發(fā)點，教研改革是考試改革的助力劑，教學改革是考試改革的落腳點.其中，課程標準是考試改革、教研改革、教學改革的基石，準確把握課程標準的實質性變化是保證改革實施的必要前提.關于課程標準的實質性變化在文[3]中進行了概述，但未詳細介紹如何在考試改革中體現課程標準的實質性變化.本文旨在從如何落實課程標準實質性變化的角度切入，通過分析2018年北京中考數學試卷，梳理、總結北京中考數學落實課程標準理念和精神的經驗，為后續(xù)改革積累寶貴的經驗財富.

2 評價改革再述

2.1 應用意識

長期以來，無論是教學還是考試，對數學應用的理解較為片面，將數學應用簡單地定位在了講幾個應用題.考試改革須正視此問題.對于應用意識要把握住三個層次：一是學生能積極主動地應用數學知識思考實際問題；二是學生能積極主動地將實際問題抽象成數學問題；三是學生能積極主動地利用所掌握數學思想方法等驗證數學問題的合理性，并探索其應用價值.三個層次都是用“積極主動地”進行描述，這說明應用意識是一種認識數學、體驗數學和形成正確數學觀的過程，從本質上說是數學思維形成的過程.

例(2018年15題)某公園劃船項目收費標準如下：

船型兩人船(限乘兩人)四人船(限乘四人)六人船(限乘六人)八人船(限乘八人)每船租金(元/小時)90100130150

某班18名同學一起去該公園劃船，若每人劃船的時間均為1小時，則租船的總費用最低為 元.

解析此類問題是學生常見的生活問題，題目設置的目的是讓學生用數學的思維看待生活中的問題.在解決實際問題的過程中，既能生活情境數學化，也能數學問題生活化.

首先，利用數學知識思考實際問題，將實際問題抽象成數學問題.為使租船的總費用最低，盡可能讓租船的數量少，18名同學可以乘坐2條8人船和1條2人船.這是將實際情景數學化的過程，并在此過程中建立了解決實際問題的數學模型.其次，將數學問題生活化，驗證數學問題是否符合生活實際.通過分析收費標準，不難發(fā)現，兩人船“90元/小時”的收費標準“性價比”低，對每人的收費標準(45元/人/小時)要高于其他三類船的收費標準.在保證租船數量最少的情況下，18名同學可以乘坐1條8人船、1條6人船和1條4人船.通過對比兩個方案，可推斷出8人船、6人船和4人船的方案使得租船的總費用最低.

試題“錯答”率為17.64%(未答390或380)，反映出這部分考生缺乏用數學思維看待生活問題的意識，生活情境數學化的意識薄弱；反映到課堂教學方面，應用意識是處于一種“失落”的狀態(tài)，對其重視程度不夠，在課堂上可能只是注重了解題過程，忽略了學生的“實踐性”，沒有讓學生獨立思考并解決問題，缺乏將實際問題數學化這一思維過程.答“390”的考生占27.35%，對G1～G10橫向分析發(fā)現，在各組中答“390”的人數相當，尤其是在高分段組中，人數并沒有顯著下降.這反映出“學生能積極主動地利用所掌握數學思想方法等驗證數學問題的合理性”的意識薄弱.

表1 2018年15題作答情況數據統計表(人數)

(注：文中的組G1～G10是按照考生本科目成績升序排列后，根據人數平均分為十組)

2.2 數據分析觀念

2.2.1 統計

長時間以來，計算平均數、畫統計圖(表)是課堂教學、學生學習和考試評價的主要內容，但其非統計的核心.義務教育階段，數據分析觀念是統計與概率學習的核心.筆者在文[4]中詳細地闡述了統計在初中階段的要求，特別地指出數據分析觀念是需要學生在親身經歷統計全過程中培養(yǎng)的對數據的領悟，根據數據進行推斷，并在統計全過程中感悟統計思維與思想方法.

例(2018年25題)某年級共有300名學生.為了解該年級學生A，B兩門課程的學習情況，從中隨機抽取60名學生進行測試，獲得了他們的成績(百分制)，并對數據(成績)進行整理、描述和分析.下面給出了部分信息.

a.A課程成績的頻數分布直方圖如下(數據分成6組：40≤x<50，50≤x<60，60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100)：

b.A課程成績在70≤x<80這一組的是：

70 71 71 71 76 76 77 78 78.5 78.5 79 79 79 79.5

c.A，B兩門課程成績的平均數、中位數、眾數如下：

課程平均數中位數眾數A75.8m84.5B72.27083

根據以上信息，回答下列問題：

(1)寫出表中m的值；

(2)在此次測試中，某學生的A課程成績?yōu)?6分，B課程成績?yōu)?1分，這名學生成績排名更靠前的課程是 (填“A”或“B”)，理由是 ；

(3)假設該年級學生都參加此次測試，估計A課程成績超過75.8分的人數.

解析此類試題以統計思想為引導，通過重現統計全過程，考查數據的收集、整理、描述、分析，選用恰當的統計量，進行統計推斷，并解釋推斷結果.試題設計圍繞調查、隨機、推斷和量化四個統計思想展開，進行數據分析(描述性統計分析和推斷性統計分析)，側重于利用樣本的數據推測總體的情況，體現樣本估計總體的統計基本思想.

首先，讀取數據.對于數據的讀取不能單單讀數據本身，應當是數據之間的讀取，找到圖表中數據的關系. 頻數直方圖表示連續(xù)分組數據，但原始數據信息丟失.對于A課程的中位數，需結合A課程成績在70≤x<80這一組的數據分布情況進行讀取.其次，在讀取數據的基礎上，結合數據的統計意義，通過分析數據進行統計推斷和推理，并回答具體的問題.最后，利用樣本數據推測總體的情況.

表2-1 2018年25-1題作答情況數據統計情況(人數)

表2-2 2018年25-2題作答情況數據統計情況(人數)

對表2-1中組G1～G10橫向分析，得0分與2分的人數呈現出“兩極”分化的特點.前30%、中間40%和后30%考生中，得0分考生分別占22%、49%、79%；結合表2-2中組G1～G10橫向分析，兩問得分情況分布.上述數據從表上面反映出的是對頻數直方圖的作用不清，數據讀取只是單純地讀數，數據間加工能力不強，通過數據來進行推斷的能力欠缺等，實質上反映出的是經歷統計過程的欠缺，缺乏統計思維，更缺乏用統計的方法發(fā)現、分析和解決統計問題的能力.例如，對于第(2)問中平均數和中位數的理解，這些量都是刻畫一組數據集中趨勢的統計量，有了這些量，不僅可以描述對象的集中趨勢，還可以用來對不同的總體進行比較，對于這些量的認識，不僅是學習如何計算，而是要設計合適的統計過程，在統計過程中去了解它們是如何描述數據集中趨勢的，在數據分析過程中理解它們具體的統計意義.

2.2.2 概率

概率是研究隨機現象的.義務教育階段概率學習更重要的目標是體會概率的意義和作用，而不僅僅是計算一些事件發(fā)生的概率，不能將這部分內容看成是單純計算內容，而應該更加關注在實際問題中對概率意義的理解.

例(2018年14題)從甲地到乙地有A，B，C三條不同的公交線路.為了解早高峰期間這三條線路上的公交車從甲地到乙地的用時情況，在每條線路上隨機選取了500個班次的公交車，收集了這些班次的公交車用時(單位：分鐘)的數據，統計如下：

公交車用時的頻數 公交車用時線路 30≤t≤3535

早高峰期間，乘坐 (填“A”，“B”或“C”)線路上的公交車，從甲地到乙地“用時不超過45分鐘”的可能性最大.

解析此類試題考查核心是數據得隨機性:一方面對于同樣的事情每次收集到的數據可能會不同；另一方面只要有足夠的數據就可能從中發(fā)現規(guī)律.

表3 2018年14題作答情況數據統計情況(人數)

從表3中可以發(fā)現，試題難度不大.試題設置對教學導向有二：第一，讓學生明確學習概率的最終目的是解決實際問題，知道在現實生活中，有許多問題可以先調查數據，通過對數據的分析得到結論，讓學生感悟數據的隨機性，數據較多時具有某種穩(wěn)定性，可以進行“概率決策”.第二，引導教學運用統計思想教授隨機.在這一過程中既能體會隨機，又感受到數據中蘊含的信息，并根據數據信息進行規(guī)律性推斷，雖然不能保證估計得完全一致，但是能保證在一定試驗次數下，估計值與實際值相差不大的可能性是很大的.這也是這種推斷背后的科學依據.

2.3 尺規(guī)作圖

很長時間以來，尺規(guī)作圖被歸為“數學基本技能”類，也就是按照一定的程序與步驟進行運算、畫圖、繪制圖表等，只強調操作性.對于“尺規(guī)作圖”，要像證明一樣做到“言必有據”，這種要求有助于發(fā)展學生的理性精神，應當予以充分重視.

例(2018年17題)下面是小東設計的“過直線外一點作這條直線的平行線”的尺規(guī)作圖過程.

已知：直線l及直線l外一點P.

求作：直線PQ，使得PQ∥l.

作法：如圖，

①在直線l上取一點A，作射線PA，以點A為圓心，AP長為半徑畫弧，交PA的延長線于點B；

②在直線l上取一點C(不與點A重合)，作射線BC，以點C為圓心，CB長為半徑畫弧，交BC的延長線于點Q；

③作直線PQ.

所以直線PQ就是所求作的直線.

根據小東設計的尺規(guī)作圖過程，

(1)使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；(保留作圖痕跡)

(2)完成下面的證明.

證明：∵AB=______，CB=______，

∴PQ∥l( )(填推理的依據).

解析此類試題從課堂教學的角度呈現了學習“尺規(guī)作圖”的一般過程.步驟1：寫出已知條件和求作圖形.應當把已知的線段或角畫出，并用字母表示.步驟2：求作圖形.應當說明是哪些邊和角構成的圖形.步驟3：畫草圖分析.探索作圖的方法.步驟4：作法.要清楚簡要地敘述作法.步驟5：證明.證明所作出的圖形是符合條件和要求的.其中，其中1、2、4、5這四步缺一不可.課程標準要求“在尺規(guī)作圖中，了解作圖的道理，保留作圖的痕跡，不要求寫出作法”.這說明“尺規(guī)作圖”不要求寫出“已知”、“求作”，但強調了作圖要有根有據，反映出對“尺規(guī)操作”的要求不能僅僅停留在操作層面，還要搞清楚作圖過程中的“因、果、由因得果的依據”，并且能有條理的表達作圖過程中的邏輯.

2.4 函數

在義務教育階段的數學課程中，沒有系統全面提出映射，函數三要素，函數的性質(如單調性，奇偶性)等有關函數的理論問題及相關概念，但結合具體的函數，須有效地滲透，并逐步解釋函數的本質特征—聯系和變化，以及基本思想方法.但很長一段時間以來，函數的關注點在引入形式化的函數定義，圖象與性質等具體內容上，忽視了學習函數的主要目標：函數是研究運動變化的數學模型，與實際的聯系十分緊密，它來源于實際又服務于實際，從實際中抽象出函數的有關概念，又運用函數解決實際問題.函數的圖象與性質是函數理論的主體，但須把握函數是從數量的角度反映變化規(guī)律和對應關系的數學模型，抓住變化與對應的思想是函數的基礎，也應是函數學習的主線.

例(2018年24題)如圖，Q是AB與弦AB所圍成的圖形的內部的一定點，P是弦AB上一動點，連接PQ并延長交AB于點C，連接AC.已知AB=6 cm，設A，P兩點間的距離為xcm，P，C兩點間的距離為y1cm，A，C兩點間的距離為y2cm .

小騰根據學習函數的經驗，分別對函數y1，y2隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進行了探究.

下面是小騰的探究過程，請補充完整：

(1)按照下表中自變量x的值進行取點、畫圖、測量，分別得到了y1，y2與x的幾組對應值；

x/cm0123456y1/cm5.624.673.762.653.184.37y2/cm5.625.595.535.425.194.734.11

(2)在同一平面直角坐標系xOy中，描出補全后的表中各組數值所對應的點(x，y1)，(x，y2)，并畫出函數y1，y2的圖象；

(3)結合函數圖象，解決問題：當△APC為等腰三角形時，AP的長度約為 cm.

解析此類試題從具有幾何背景的問題出發(fā)，從運動與變化的角度，采用取點，畫圖，測量，填表的方法，對數量關系進行抽象和梳理，由常量過渡到變量，概括出變量間關系的共同特征，引出解決問題的函數模型；通過建立坐標系，描點，畫函數圖象，領會函數圖象具有直觀反映和描述函數的變化規(guī)律的工具作用，研究函數的性質；重新審視問題，利用函數的本質特征，結合函數圖象，解決問題.

義務教育階段對函數性質的研究只是初步的，但是有限度的研究，已經體現出從函數的數量特征以及圖象的幾何特征來研究每一類函數，并利用函數的性質及圖象解決問題，體現了數形結合思想是研究和解決函數問題的基本思想和方法.通過分析表4數據，不難發(fā)現，得1分考生占比很大，主要分布于組G1～G7；得2分考生主要分布于組G5～G9；得3分考生占比最小，主要分布于組G8～G10.此問很好地實現了區(qū)分功能，但從另外一個角度來看，結合函數圖象，利用屬性結合思想解決問題的能力不夠，這一點應該引起足夠的重視.

表4 2018年24-3題作答情況數據統計情況(人數)

3 結束語

本文從課程標準實質性變化的角度切入，從核心概念、幾何、統計與概率、函數等方面，提出存在問題，通過分析試題，結合數據，進行深入思考，提供解決問題的方案，既是對落實課程標準理念和精神的總結，更是提出了教學改革、教研改革和考試改革共同努力的方向和目標.北京中考數學學科的改革還在不斷地進行探索與完善之中，思考之處未必文章若有不妥之處，請批評指正.