袁長(zhǎng)林

什么樣的題目可以用向量解決？——向量融數(shù)、形于一體的“雙重身份”，使其廣泛應(yīng)用于函數(shù)不等式、解析幾何、立體幾何等知識(shí).我們利用向量這個(gè)工具，可以簡(jiǎn)潔地解決數(shù)學(xué)中的許多問(wèn)題，甚至物理中的一些問(wèn)題.

一、解三角函數(shù)問(wèn)題

平面向量與三角函數(shù)知識(shí)最容易聯(lián)系起來(lái)，特別是平面向量的加減運(yùn)算、平面向量的數(shù)量積、圖形的平移等基本概念和運(yùn)算，與三角函數(shù)的有關(guān)運(yùn)算公式、三角函數(shù)圖象的性質(zhì)有較強(qiáng)的聯(lián)系.

解析 本題可使用向量運(yùn)算來(lái)處理.

分析 考慮到條件中的這三個(gè)角是π的七分之幾的關(guān)系，引入正七邊形，建立向量的幾何運(yùn)算來(lái)處理.

解 如圖2，將邊長(zhǎng)為1的正七邊形ABCDEFO放進(jìn)直角坐標(biāo)系中，且OA→=（1，0），

二、解平面幾何問(wèn)題

平面幾何中很多涉及長(zhǎng)度、角度以及一些位置關(guān)系的問(wèn)題都可以借助于“向量法”來(lái)解決.“向量法”的核心是借助于向量工具做有關(guān)運(yùn)算，運(yùn)算常常是代數(shù)方面的加減法、數(shù)乘、共線定理及坐標(biāo)運(yùn)算等.

例3 求證：直徑所對(duì)的圓周角為直角.

三、解物理問(wèn)題

向量本身有著豐富的物理背景，有著精準(zhǔn)的數(shù)學(xué)定義和運(yùn)算，因此解決物理等學(xué)科中的問(wèn)題也是很多的.

如，利用平行四邊形法則可以解決物理學(xué)中求合力的問(wèn)題，一個(gè)拉緊的弓箭，受到兩個(gè)方向的力f₁，f₂，最終形成合力f，使箭向靶心飛行，嘗試解決以下問(wèn)題：

（l）用平行四邊形法則作出弓箭所受兩個(gè)方向力f₁，f₂的合力f的示意圖；

（2）如果力f₁，f₂的大小為100N，它們的夾角為90°，它們的合力f的大小是多少？

又如，帆船是借助風(fēng)帆推動(dòng)船只在規(guī)定距離內(nèi)競(jìng)速的一項(xiàng)水上運(yùn)動(dòng)，帆船的最大動(dòng)力來(lái)源是“伯努利效應(yīng)”，如果一艘帆船所受“伯努利效應(yīng)”產(chǎn)生力的效果可使船向北偏東30°，以速度20km/h行駛，而此時(shí)水的流向是正東，流速為20km/h.若不考慮其他因素，求帆船的速度與方向.

研究向量在物理學(xué)中的應(yīng)用時(shí)，用的是數(shù)學(xué)模型方法，就是把物理問(wèn)題用數(shù)學(xué)語(yǔ)言加以抽象概括，再?gòu)臄?shù)學(xué)角度來(lái)反映物理問(wèn)題，得出關(guān)于物理問(wèn)題的數(shù)學(xué)關(guān)系式，從而建立了相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，它能清晰地反映相關(guān)物理量之間的數(shù)量關(guān)系，得出物理問(wèn)題的解答.

本文僅是拋磚引玉，向量的威力很大，在我們學(xué)過(guò)的許多數(shù)學(xué)知識(shí)里都有應(yīng)用，有興趣的同學(xué)可以閱讀本期的其他文章，相信還會(huì)有更多的收獲.