陳林宇

（1.廣東省國(guó)土資源測(cè)繪院，廣東 廣州 510000）

工程測(cè)量中經(jīng)常需要將GPS處理結(jié)果從WGS84坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到施工建立的獨(dú)立坐標(biāo)系；同時(shí)為了實(shí)現(xiàn)各國(guó)家大地坐標(biāo)參考框架中成果的統(tǒng)一，也經(jīng)常需要進(jìn)行三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。通常不同坐標(biāo)系進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換時(shí)，只需3個(gè)公共點(diǎn)即可求得唯一轉(zhuǎn)換參數(shù)；而在實(shí)際應(yīng)用中，為了提高精度以及檢核驗(yàn)算，往往進(jìn)行多于3個(gè)公共點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，因此存在多余的觀測(cè)條件，需進(jìn)行平差以求解最優(yōu)轉(zhuǎn)換參數(shù)。最常用的三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型為七參數(shù)模型，但其參數(shù)的初值求解和方程線性化較復(fù)雜，不利于編程實(shí)現(xiàn)。陳義[1]等以9個(gè)方向余弦為參數(shù)，采用附有條件的間接平差公式得到了一種三維轉(zhuǎn)換的嚴(yán)密解法。張卡[2]、潘國(guó)榮[3]等介紹了基于羅德里格矩陣的三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法，但由于其未對(duì)參數(shù)進(jìn)行線性化，也未以坐標(biāo)差值的平方和最小為準(zhǔn)則，所以與傳統(tǒng)七參數(shù)模型嚴(yán)格線性化后的嚴(yán)密解法有微小差別。姚吉利[4-5]等提出了利用羅德里格矩陣進(jìn)行三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的嚴(yán)密解法。在研究三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法的基礎(chǔ)上，本文采用羅德里格矩陣進(jìn)行三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，總結(jié)了僅利用3個(gè)公共點(diǎn)求解未知參數(shù)初值的簡(jiǎn)便方法，并詳細(xì)推導(dǎo)了基于羅德里格矩陣的間接平差模型，提出了多個(gè)公共點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的最小二乘嚴(yán)密解法。

1 基于羅德里格矩陣的三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型

根據(jù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換原理，將一個(gè)坐標(biāo)系的點(diǎn)位坐標(biāo)（X, Y, Z）轉(zhuǎn)換成另一個(gè)坐標(biāo)系坐標(biāo)（X′, Y′, Z′）的數(shù)學(xué)模型為：

式中，△X、△Y、△Z為3個(gè)平移參數(shù)；λ為尺度變化參數(shù)；εX、εY、εZ為3個(gè)旋轉(zhuǎn)角；R為坐標(biāo)轉(zhuǎn)換旋轉(zhuǎn)矩陣，R＝R1(εX)R2(εY)R3(εZ)。同時(shí)，R 也可理解為由 3 個(gè)獨(dú)立參數(shù)組成的正交矩陣，通過(guò)反對(duì)稱(chēng)矩陣S構(gòu)建羅德里格矩陣來(lái)表達(dá)[6]，即R＝（I+S）（I-S）-1，反對(duì)稱(chēng)

2 轉(zhuǎn)換參數(shù)初值的解算

在平差前，需對(duì)非線性方程進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)線性化，只保留常數(shù)項(xiàng)和一階項(xiàng)。為了提高線性化的精度，需求解轉(zhuǎn)換參數(shù)的初值。根據(jù)已有的任意3個(gè)公共點(diǎn)，求解轉(zhuǎn)換參數(shù)的初值△X0、 △Y0、 △Z0、 λ0、 a0、 b0、 c0。

（Xi, Yi, Zi）和（Xj, Yj, Zj）兩個(gè)公共點(diǎn)根據(jù)式（1）相減得到[7]：

對(duì)式（2）進(jìn)一步轉(zhuǎn)換，得到：

對(duì)3個(gè)公共點(diǎn)兩兩組合，根據(jù)式（3）組成3個(gè)獨(dú)立方程，聯(lián)合解算得到參數(shù)a、b、c；再根據(jù)式（1）得到平移參數(shù)。因此，初值計(jì)算僅需3個(gè)公共點(diǎn)進(jìn)行簡(jiǎn)單的方程解算，而且甚至無(wú)需編程實(shí)現(xiàn)即可求解基于羅德里格矩陣的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換七參數(shù)初值，為后續(xù)的最小二乘平差求解提供必要條件。

3 基于羅德里格矩陣的三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換平差

當(dāng)兩個(gè)坐標(biāo)系存在多于3個(gè)公共點(diǎn)，即存在多余觀測(cè)條件時(shí)，根據(jù)最小二乘原理平差[8]解算坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的 7 個(gè)參數(shù)：△X、 △Y、 △Z、 λ、 a、 b、 c。

1）根據(jù)已有的3個(gè)公共點(diǎn)，求解參數(shù)初值，并計(jì)算R0。

2）對(duì)基于羅德里格矩陣的三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方程進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)線性化，只保留常數(shù)項(xiàng)和一階項(xiàng)，得到的平差方程為：

式中，A1×3、B1×3、C1×3分別為：

3）進(jìn)一步轉(zhuǎn)化得到間接平差的誤差方程，代入所有公共點(diǎn)，按照間接平差公式求解所有參數(shù)的最小二乘嚴(yán)密平差解：

求得坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)后，即可根據(jù)式（1）進(jìn)行其他 非公共點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。

4 算例分析

本文采用C#語(yǔ)言編制基于羅德里格矩陣的三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換程序，先利用3個(gè)公共點(diǎn)計(jì)算初值；再利用最小二乘原理，建立間接平差模型，并代入初值進(jìn)行方程解算；最終求得坐標(biāo)轉(zhuǎn)換七參數(shù)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。對(duì)某一施工項(xiàng)目的P01～P09九個(gè)公共點(diǎn)進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，公共點(diǎn)在WGS84坐標(biāo)系和施工坐標(biāo)系下的坐標(biāo)如表1所示，將WGS84坐標(biāo)向施工坐標(biāo)轉(zhuǎn)換后的坐標(biāo)減去施工坐標(biāo)系下的坐標(biāo)得到表1中的差值。同時(shí)，采用七參數(shù)嚴(yán)密解法對(duì)上述點(diǎn)進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，得到的轉(zhuǎn)換后坐標(biāo)與本文方法得到的坐標(biāo)一致，驗(yàn)證了本文方法的正確性。

表1 公共點(diǎn)在兩套坐標(biāo)系下的坐標(biāo)

5 結(jié) 語(yǔ)

本文采用羅德里格矩陣進(jìn)行三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，總結(jié)了利用3個(gè)公共點(diǎn)求解未知參數(shù)初值的方法，并推導(dǎo)了利用間接平差模型進(jìn)行多個(gè)公共點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的最小二乘嚴(yán)密公式。本文編制了基于羅德里格矩陣的三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換程序，并通過(guò)9個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)擬合的實(shí)例進(jìn)行了驗(yàn)證，其坐標(biāo)擬合結(jié)果與七參數(shù)嚴(yán)密解法的結(jié)果一致。本文提出的方法簡(jiǎn)單可行，易于編程實(shí)現(xiàn)，為三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換提供了一個(gè)好的途徑，值得推廣應(yīng)用。