解題小心得

1.端點(diǎn)取舍有妙招

江蘇省高郵第一中學(xué) 高一（5）班 吳思睿

指導(dǎo)老師：潘梅耘

英國(guó)作家培根曾經(jīng)說過：數(shù)學(xué)使人周密.在我看來，學(xué)數(shù)學(xué)簡(jiǎn)直就是一種樂趣，苦思冥想，解出題后的喜悅，上課回答問題時(shí)得到老師的表?yè)P(yáng)，這些都是快樂的源泉，然而在進(jìn)入高中，學(xué)習(xí)集合后，我卻碰到一些棘手的題目，特別是在端點(diǎn)的取舍中，吃了大虧，不得不說這些題目暗藏玄機(jī).

有關(guān)端點(diǎn)取舍的題目真的是類型多多，下面這道題便很有研究?jī)r(jià)值.

在案例糾錯(cuò)的基礎(chǔ)上又增加好兒個(gè)變式后，大冢是/卜是對(duì)有關(guān)端點(diǎn)的問題有更深刻的了解了呢？切記在這類問題上不能死記硬背，一定要數(shù)形結(jié)合，解題才能一帆風(fēng)順.

【指導(dǎo)老師評(píng)語】 作者從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一類端點(diǎn)易錯(cuò)題入手，通過一系列相關(guān)變式，層層深入，不斷優(yōu)化，言簡(jiǎn)意賅地闡述了端點(diǎn)取舍問題的處理思路、方法及注意事項(xiàng).這篇習(xí)作有利于學(xué)生訓(xùn)練思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和深刻性，同時(shí)也培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)新精神！

2.解題手記

浙江省杭州第九中學(xué) 高二（8）班 王豪豪

指導(dǎo)老師：龔雷

翻開試卷，我偶然間發(fā)現(xiàn)自己還有些題目未完成.于是，目光落在了一道空著的大題上：

題1 在△ABC中，BC邊上的高所在直線方程為：x-2y+l=0，角A的平分線所在直線方程為：y=0，若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，2），求點(diǎn)A和C的坐標(biāo)，

讀完題，心中并未翻起任何波瀾.雖然每一個(gè)條件都能讀懂，知道那些條件是什么，但這些與所求的“A和C的坐標(biāo)”又有什么關(guān)系呢？

雖然根據(jù)這些條件我可以在腦海中畫出一張圖，但這張圖中的每個(gè)元素之間似乎是沒有什么關(guān)聯(lián)的，像是路邊互不相識(shí)的陌生人.

——不行！我得給他們拉個(gè)線，讓它們相互認(rèn)識(shí)認(rèn)識(shí).于是我把腦海里的這張圖畫到草稿紙上，希望能在圖中找出它們的關(guān)聯(lián).

然而，圖1中連三角形的影子都沒有！

正難則反.既然從條件弄不出什么名堂，那就只能從結(jié)論人手試試看.

我不管條件中的具體方程和坐標(biāo)，把△ABC和BC邊上的高、角A的平分線等元素畫在另一張草稿紙上，如圖2.

將兩張圖對(duì)照著看，突然眼前一亮：A點(diǎn)不就是兩條已知直線的交點(diǎn)嗎！于是很輕松地聯(lián)立方程x-2y+l=0和y=0，解出A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，0）.

接下來，研究怎么求C點(diǎn)的坐標(biāo).從圖2可以看出，C點(diǎn)應(yīng)該是直線BC與AC的交點(diǎn)，那么這兩條直線的方程能不能求出來呢？

對(duì)于直線BC，現(xiàn)在已知的是直線上B點(diǎn)的坐標(biāo)，只要再有一個(gè)斜率，就可以用點(diǎn)斜式將直線BC求出來了.可斜率從哪里求呢？一時(shí)沒思路，于是我只能開始一遍遍地讀題目，畫出題干中的關(guān)鍵詞，一邊讀題一邊看兩張草圖.

突然，腦海里閃現(xiàn)出了三個(gè)相關(guān)的東西：

高→垂直→斜率成負(fù)倒數(shù)

思路至此打通：我可以作直線AH垂直于直線BC，因?yàn)橹本€AH垂直于直線BC，且AH的直線方程為：x-2y+l=O，所以由k_AH-1/2可以算出k_BC=-2，又因?yàn)锽點(diǎn)坐標(biāo)已知，所以結(jié)合點(diǎn)斜式方程，可以求出BC直線的點(diǎn)斜式方程為y-2=-2（x-1），將其整理得到了BC直線的一般式方程為2x+y-4=0.

但這還沒完，只求出了一半.還得求出直線AC的方程才能解出C點(diǎn)的坐標(biāo).然而，直線AC也只已知它上面的一個(gè)點(diǎn)A，不知道斜率，也不再有垂直——思路再次戛然而止，腦海中反復(fù)回蕩著這幾個(gè)問題：接下來我該怎么做呢，那個(gè)“角A的平分線”和直線方程有什么聯(lián)系呢，我應(yīng)該怎么求出C點(diǎn)坐標(biāo)呢？筆尖不斷摩擦著草稿紙，思路仿佛被困在了筆尖所畫的圓圈里，難以掙脫出來.我愣在那，呆呆地看著自己畫的一個(gè)又一個(gè)的圈，不一會(huì)兒，我突然回過神，連忙將草稿紙翻了過去，將自己的思路重新整理在了那張嶄新的草稿紙上，并且畫了一幅更加清晰準(zhǔn)確的草圖，可大腦卻依舊混亂，不知該怎么求出點(diǎn)C的坐標(biāo).我嘆了口氣，手很自然地?fù)狭藫项^，視線不經(jīng)意落在了“角A的平分線所在直線方程為：y=0”這個(gè)條件上片刻，又無奈地移開……

既然在這里百思不得其解，那也只好暫且放一下，把其他題做完再說吧！我轉(zhuǎn)到了另一道填空題上：

題2 直線3x-4y-5=0關(guān)于y軸對(duì)稱的直線方程為 _______.

看了這道題，我笑了笑，想到，這題太簡(jiǎn)單了，不就是把x換成-x么.幾乎不用打草稿我就寫下了答案.

這時(shí)我的心情比剛才好多了，但，當(dāng)我再次回到了剛才那道還沒解出的題上，又沮喪了起來.

“沮喪！你不是我的朋友，請(qǐng)你馬上離開我！”我的內(nèi)心在呼喊著.

這時(shí)我想起了老師說過的一句話，“不會(huì)做難題，是因?yàn)闆]有把容易題玩透”.

于是我想：讓我再好好玩玩這道給我?guī)砗眯那榈念}目吧！隨即，題2的圖便被我畫在了草稿紙上：

看到這，自己突然愣了一下！

y軸不就是兩條直線（已知直線和所求直線）的角平分線嗎？！

之前那個(gè)“角A的平分線所在直線方程為：y=0”不就是間接地說明直線AB與直線AC關(guān)于x軸對(duì)稱么？

我馬上回到之前那道題，利用角平分線y=0恰好為z軸這個(gè)特殊性，根據(jù)直線AC和直線AB關(guān)于x軸對(duì)稱，輕松求出AC的直線方程.

做完這道題，回頭再看看過程，我對(duì)這道題真的是愛不釋手.如果不寫下這段解題過程與同學(xué)分享，實(shí)在對(duì)不起這道題.

原來數(shù)學(xué)可以這么巧妙！

【指導(dǎo)老師評(píng)語】對(duì)印象比較深的一道題的解答過程做一個(gè)細(xì)致的回顧和記錄，這不但可以從一道題中學(xué)到更多東西，而且也鍛煉了數(shù)學(xué)語言的表達(dá)能力.如果能再歸納總結(jié)幾點(diǎn)對(duì)以后解題的啟示就更好了.

3.理論的“眼睛”

江蘇省常州市第五中學(xué) 高二（10）班 蘭傳奇

費(fèi)希特說：“所有的理論法則都依賴于實(shí)踐法則.”康德也說過：“凡是在理論上正確的，在實(shí)踐上也必定有效，”今天，我想就基礎(chǔ)的立體幾何的解題方法，來和大家分享我所理解的理論和實(shí)踐的關(guān)系問題，

一個(gè)物體，離不開點(diǎn)、線、面.點(diǎn)構(gòu)成線，線構(gòu)成面，在線組成的不同形狀中，線內(nèi)即是空間.初步學(xué)習(xí)立體幾何的時(shí)候，一些同學(xué)會(huì)遇到空間想象力不足等問題，而俗話說：“車到山前必有路.”因此，我們不必因?yàn)檫@些心急如焚，也許通過實(shí)踐，我們會(huì)有意想不到的收獲.

一、紙上得來終覺淺

前段時(shí)間在做作業(yè)時(shí)遇到一道題，大概是因?yàn)楣Ψ蜻€不到家吧，所以當(dāng)時(shí)想了很久，但解出這道題后，再遇到這種類型的題目就游刃有余了.

如圖1，在Rt△ABC中，∠C= 90°，D，E分別為AC，AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段CD上一點(diǎn)，將△ADE沿DE折疊到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如圖2.求證：A1F⊥BE.

關(guān)于這道題，相信很多人在研究之后就可以有解題思路：由∠C=90°得出AC⊥BC，再加上DE∥BC這一條件，我們就可以推出AC⊥DE，即A1D⊥DE.而仔細(xì)觀察圖1，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)CD⊥DE，由面面垂直的判定定理可得DE⊥面A1DC，因?yàn)锳iF[面A1DC，我們可以發(fā)現(xiàn)A1F⊥DE.在題目中我們還可以得知A1F⊥CD，通過線面垂直的判定定理可以推出A1F⊥面BCDE，由于BE（ 面BCDE，我們最終可以推得A1F⊥ BE.

這個(gè)問題乍一看似乎很復(fù)雜，但當(dāng)我們想通后，會(huì)發(fā)現(xiàn)其實(shí)很簡(jiǎn)單.這道題其實(shí)是把一個(gè)平面圖形通過折疊變成立體，如果我們把折疊后的點(diǎn)與點(diǎn)之間組成的線連接，用透視圖的形式展現(xiàn)出來，我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)折疊后我們的解題其實(shí)是圍繞一個(gè)四棱錐展開的，而這個(gè)四棱錐也有些特殊，由于A和A1是同一個(gè)點(diǎn)，DE∥BC，就可以知道∠ADE=∠CDE，從而會(huì)得到AiD⊥DE和CD⊥DE.很多只看圖2沒有辦法發(fā)現(xiàn)的細(xì)節(jié)，通過圖1都可以找到.

這就是理論上的立體幾何.它所依賴的，是我們對(duì)公理、定理的熟悉程度和熟練運(yùn)用的能力，通過既成的理論在書面上通過透視圖解決幾何問題.

二、絕知此事要躬行

所謂實(shí)踐，就是要我們?nèi)?shí)行，也就是親自動(dòng)手，從實(shí)際出發(fā).

還是以剛才的那道題目為例，就以我自己來說，初做這道題時(shí)，我總是會(huì)忽略圖1，導(dǎo)致自己忽略題目中給我們的一些信息.而即使看了圖1，也沒有很快發(fā)現(xiàn)折疊后角與角之間的關(guān)系，在這上面浪費(fèi)了很多的時(shí)間.但如果自己剪一個(gè)直角三角形并按題目要求折疊，也許就可以更直觀地看出角與角、線與線之間的關(guān)系.

在我們平時(shí)做題的時(shí)候，我們總會(huì)遇到以棱柱、棱錐、長(zhǎng)方體等簡(jiǎn)單幾何體為背景的幾何題，有的時(shí)候我們可能會(huì)因?yàn)橐恍┰驘o法通過書上的透視圖想象出題目所需要的幾何體，這個(gè)時(shí)候，我們就可以通過實(shí)踐來解決問題.

如果是折疊、剪裁類的題目，我們可以用身邊的紙制作出一個(gè)小模型，直觀地感受、分析題目，更快得出結(jié)論.

比如，當(dāng)我們想知道在一個(gè)三棱柱中切去一個(gè)小三棱柱后會(huì)得到什么幾何體時(shí)，我們可以通過動(dòng)手操作的方式來直接體會(huì)，通過圖3（a）和圖3（b），我們至少可以發(fā)現(xiàn)兩種答案，一種是得到一個(gè)四棱柱，一種是得到一個(gè)三棱柱，但如果從其他的角度進(jìn)行剪裁，我們還可以得到更多不同的幾何體，

事實(shí)上，很多時(shí)候單用紙來制作簡(jiǎn)單的模型是完全不夠的，當(dāng)我們遇到包含“分別在上底面與下底面兩點(diǎn)之間有一條線段”這類條件的幾何題時(shí)，簡(jiǎn)單的模型并不能幫助我們.但正所謂“功夫不負(fù)有心人”，這個(gè)時(shí)候，我們可以換一種方式建立模型，比如用火柴、棉簽等小棒搭建出最基本的幾何體，這樣我們就可以直觀地看到透視的幾何體，解題時(shí)思維就不會(huì)局限于書上的圖.其實(shí)也有數(shù)學(xué)建立模型專用的教具，有興趣的同學(xué)也可以買一些回來，在閑暇之余動(dòng)手做一做，做好之后從不同的角度觀察并動(dòng)手畫自己所建立的模型的透視圖，這樣可以幫助我們?cè)谀X海中形成一個(gè)可以轉(zhuǎn)動(dòng)的幾何體.時(shí)間久了，也許一些簡(jiǎn)單的剪裁類的題目我們通過畫圖就可以很快解答出來.

明代詩(shī)人林鴻說：“一語不能踐，萬卷徒空虛.”當(dāng)我們熟讀熟背那些公理、定理后，我們要做的是學(xué)會(huì)如何運(yùn)用它們，當(dāng)我們通過做一些題目來加強(qiáng)自己對(duì)所學(xué)知識(shí)的運(yùn)用時(shí)，我們其實(shí)已經(jīng)在實(shí)踐了.而在解題過程中，有時(shí)我們也會(huì)需要實(shí)踐.就如達(dá)·芬奇所說：“理論脫離實(shí)踐是最大的不幸.”通過學(xué)習(xí)立體幾何，通過比較理論和實(shí)踐上解決立體幾何問題的方式，我們知道，當(dāng)理論上有困難的時(shí)候，我們可以求助于實(shí)踐，而當(dāng)我們需要學(xué)習(xí)、鞏固某一理論時(shí)，我們更需要實(shí)踐，

請(qǐng)記住這樣一句話：“要想獲得一種見解，首先就需要?jiǎng)趧?dòng)，自己的勞動(dòng)，自己的首創(chuàng)精神，自己的實(shí)踐.”實(shí)踐，是理論的“眼睛”.

學(xué)習(xí)小感悟

1.集合語言自我介紹

南京市大廠高級(jí)中學(xué) 高一（3）班 李騰佳

我，是一個(gè)元素.南京包含于江蘇省，江蘇省包含于中國(guó)，因此，南京包含于中國(guó).我是南京人，所以我是中國(guó)人這個(gè)集合中的一個(gè)元素.同時(shí)，我還是一名學(xué)生，來自大廠高級(jí)中學(xué)，我屬于大廠高級(jí)中學(xué)這個(gè)集體.

上個(gè)學(xué)期，我和同學(xué)參加了學(xué)?；@球社團(tuán)，由此，我們成了籃球社團(tuán)的一些元素.在有空閑的時(shí)間，我會(huì)打打籃球，讓籃球這一運(yùn)動(dòng)變成我的愛好.

此外，我還喜歡學(xué)習(xí)，在眾多學(xué)科中，我最喜歡數(shù)學(xué)，雖然它很難，但我覺得它十分有趣，我有一個(gè)好朋友，在學(xué)習(xí)上，他和我的交集就是數(shù)學(xué).課內(nèi)課后，我經(jīng)常和他討論數(shù)學(xué).我認(rèn)為，這十分有意義，正如蕭伯納說的，“你有一個(gè)蘋果，我有一個(gè)蘋果，彼此交換一下，我們?nèi)匀皇歉饔幸粋€(gè)蘋果；但你有一種思想，我有一種思想，彼此交換，我們就都有了兩種思想，甚至更多，”而且我們還可以互補(bǔ)長(zhǎng)短，在這道題上我是他的補(bǔ)集，或許在另一個(gè)問題上，他就是我的補(bǔ)集，這樣的感覺真好，

放學(xué)回家，我成為家里的一個(gè)元素，總會(huì)積極地幫父母做家務(wù)，而我的父母也總會(huì)表?yè)P(yáng)我，我十分開心.

我有一個(gè)目標(biāo)，就是在未來三年里，好好學(xué)習(xí)，成為優(yōu)秀大學(xué)里的一個(gè)元素.

2.《九章算術(shù)》在現(xiàn)代還有用嗎

江蘇省常州高級(jí)中學(xué) 高二（12）班 駱辰姣

指導(dǎo)老師：徐惠杰

似乎，我們從小就在數(shù)學(xué)課本上知道了《九章算術(shù)》這本書，它到底是何方神圣，在中國(guó)數(shù)學(xué)史上留下了如此濃墨重彩的一筆？以下是我查閱到的關(guān)于此書的簡(jiǎn)介：

“《九章算術(shù)》是中國(guó)古代第一部數(shù)學(xué)專著，作者不詳，是《算經(jīng)十書》中最重要的一種，成于公元一世紀(jì)左右.該書內(nèi)容十分豐富，系統(tǒng)總結(jié)了戰(zhàn)國(guó)、秦漢時(shí)期的數(shù)學(xué)成就.同時(shí)，《九章算術(shù)》在數(shù)學(xué)上還有其獨(dú)到的成就，不僅最早提到分?jǐn)?shù)問題，也首先記錄了盈不足等問題，《方程》章還在世界數(shù)學(xué)史上首次闡述了負(fù)數(shù)及其加減運(yùn)算法則.”

然而，這種解釋并不能滿足讀者的需要，讓我們來摘錄書中的一部分內(nèi)容：

“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，適與岸齊.問水深、葭長(zhǎng)各幾何？答曰：水深一丈二尺；葭長(zhǎng)一丈三尺.術(shù)曰：半池方自乘，以出水一尺自乘，減之，余，倍出水除之，即得水深.加出水?dāng)?shù)，得葭長(zhǎng)，”

“今有戶不知高廣，竿不知長(zhǎng)短，橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出.問戶高、廣、袤各幾何？答曰：廣六尺，高八尺，袤一丈，術(shù)日：從、橫不出相乘，倍，而開方除之.所得加從不出即戶廣，加橫不出即戶高，兩不出加之，得戶袤，”

讀完，你是否有一種非常親切的感覺，即使在東漢末年成書，我們依然可以讀懂設(shè)問.問題的難易程度，只要中小學(xué)水平就可以解出.其實(shí)，這是中國(guó)古代數(shù)學(xué)最大的特點(diǎn)：貼近生活.人們?cè)诜峙渫恋亍⒓Z食，攤派賦稅，修建土木工程時(shí)，遇到了許多數(shù)學(xué)問題.于是，數(shù)學(xué)家們把問題分類歸納，總結(jié)并提出了早于西方國(guó)家數(shù)百年的發(fā)現(xiàn)或是結(jié)論.然而，這些結(jié)論在現(xiàn)代看來不足為奇，人人皆知，事實(shí)上，中國(guó)古代也并沒有出現(xiàn)過多少享譽(yù)世界的著名數(shù)學(xué)家.那么，《九章算術(shù)》作為一本古代數(shù)學(xué)專著，到底還有沒有現(xiàn)實(shí)價(jià)值呢？

答案是肯定的，

《九章算術(shù)》把高深的數(shù)學(xué)平民化、生活化，或者，可以說，是把生活中遇到的數(shù)學(xué)問題系統(tǒng)化、規(guī)律化.數(shù)學(xué)與生活的有機(jī)結(jié)合，正是當(dāng)前教育所追求的.人們總是發(fā)出這樣的感慨：“學(xué)高等數(shù)學(xué)有什么用，難道去菜場(chǎng)買菜還要用高等數(shù)學(xué)嗎？”乍一聽，這句話的確挑不出毛病.但是，試想，就算是買菜，也離不開數(shù)學(xué).貨比三家、四舍五入，這都用到了數(shù)學(xué)的思想.越到高精尖的行業(yè)，數(shù)學(xué)的必要性也就越凸顯.統(tǒng)計(jì)、概率，統(tǒng)籌等，在信息爆炸、時(shí)刻講究用大數(shù)據(jù)說話的現(xiàn)代社會(huì)，更是如魚得水，離開數(shù)學(xué)，現(xiàn)代社會(huì)將無法發(fā)展下去.

《九章算術(shù)》為我們提供了一個(gè)很好的典例，它啟發(fā)我們，不要光學(xué)書本上的死知識(shí)，而要應(yīng)用到生活中去，這樣，數(shù)學(xué)才能真正被大眾所需要、所喜愛，成為他們不可或缺的一門科學(xué).

3.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之我見

內(nèi)蒙古包頭市一機(jī)一中 高二（11）班 鄧旭

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與個(gè)人的思維習(xí)慣、思維方式有關(guān).看待一個(gè)問題，有些同學(xué)喜歡顧及大局，而對(duì)于細(xì)節(jié)性問題并沒有仔細(xì)思考，這樣，常常會(huì)導(dǎo)致不能抓住題中細(xì)節(jié)或者隱藏條件，從而與解題的關(guān)鍵失之交臂；還有些同學(xué)，對(duì)于問題某一部分抓得很緊，但卻不能提升自己看待問題的眼界，這樣在抓住細(xì)節(jié)的時(shí)候就不能很好地利用自己所找到的突破點(diǎn)，以至于無從下手.

要想很好地解決一道數(shù)學(xué)題，應(yīng)當(dāng)做到“內(nèi)緊外松”.內(nèi)緊，指在看待問題時(shí)，小心讀題，抓住題中有用信息.當(dāng)讀到有用信息時(shí)，在腦海中迅速思索如何處理、轉(zhuǎn)化、利用信息；外松，指當(dāng)抓住題中有用信息后，從整體上來看待整道題（這道題要讓我求什么，和我找到的有用信息有什么關(guān)聯(lián)等）.

接下來，我就細(xì)致地為大家說一下我個(gè)人的學(xué)習(xí)方法和感悟，

記憶.高中數(shù)學(xué)有很多定理、公式需要記憶，同學(xué)們?cè)谟洃洉r(shí)，先將定理看一看，了解定理的意思，然后試圖在腦海里像播放幻燈片那樣一步一步地復(fù)述定理的過程.當(dāng)遇到哪一步停頓時(shí)，不要翻書看，繼續(xù)復(fù)述直到整個(gè)定理完畢再翻書，然后繼續(xù)重復(fù)記憶，做題時(shí)用到定理，也先在腦海里重復(fù)“播放”.長(zhǎng)時(shí)間堅(jiān)持，效果很明顯，而對(duì)于公式來講，記憶之前要注意觀察公式的結(jié)構(gòu)特征、代表含義等，逐漸在腦海里留下公式的模樣，當(dāng)出現(xiàn)多個(gè)相似或者有共同特征的公式時(shí)，要通過尋找相似或差異點(diǎn)來記憶，

聯(lián)想.這是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一種較為重要的方法！因?yàn)槁?lián)想，我們將知識(shí)聯(lián)系在了一起.比如說同學(xué)們做題，可能在寫到某個(gè)步驟時(shí)，突然想起前面出現(xiàn)過相似的題或者考點(diǎn)，這時(shí)候建議同學(xué)們馬上停下來看看，想一想到底是怎樣的聯(lián)系，想清楚了再接著做題.長(zhǎng)此以往，你對(duì)于所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)零亂、復(fù)雜的偏見會(huì)逐一消失，從而建立起屬于自己的數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)體系，

鉆研.除了掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)外，對(duì)于老師擴(kuò)充的知識(shí)建議同學(xué)們也要好好研究一下，從中鉆研出一些解題小技巧或“簡(jiǎn)便公式”（要確保有科學(xué)依據(jù)）.這些新知識(shí)可能在平時(shí)的學(xué)習(xí)和考試中幫到你.平時(shí)解題，越是難題越不要放過，一定要先好好研究一番，做不出來再去求助老師.

整理.平常要學(xué)會(huì)將自己的疑問、典型的錯(cuò)題、精彩的例題歸類整理.有疑問，向老師、同學(xué)求解，將問題搞懂后以簡(jiǎn)潔的語言記在筆記本上.至于錯(cuò)題，由于高中學(xué)習(xí)時(shí)間緊張，把每一道做錯(cuò)了的題都記錄下來很不現(xiàn)實(shí)，也沒必要，主要針對(duì)那些一做就錯(cuò)、一錯(cuò)再錯(cuò)的題.精彩的例題解答就是指路明燈，要經(jīng)常拿出來研習(xí)，全部整理在冊(cè)不現(xiàn)實(shí)，可拍照留存，統(tǒng)一存放在電腦里，供考試前復(fù)習(xí)瀏覽.

初學(xué)高中數(shù)學(xué)的人會(huì)有“不識(shí)廬山真面目”的感覺，只有當(dāng)你可以真正靜下來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，體悟數(shù)學(xué)時(shí)，才會(huì)明白自己是“只緣身在此山中”，你也就與數(shù)學(xué)親近了.

生活小應(yīng)用

1.生活中的數(shù)學(xué)

江蘇省泰州中學(xué) 嚴(yán)宇軒

從小到大，我們都在想數(shù)學(xué)是什么.小學(xué)時(shí)，我會(huì)想：數(shù)學(xué)就是1+1=2、九九乘法表、三角形與長(zhǎng)方形.上了初中我會(huì)想：數(shù)學(xué)是勾股定理、一元二次方程，還有一大堆全等、相似要證.等到了高中，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)一下子變得豐富起來，三角函數(shù)、向量、導(dǎo)數(shù)……都需要嚴(yán)密的演算推理.

數(shù)學(xué)是復(fù)雜的，可也是簡(jiǎn)單的，這是一門在人類生活與生產(chǎn)中應(yīng)用廣泛的重要學(xué)科，在數(shù)學(xué)世界中，我們可以精確地探尋事物發(fā)生的本質(zhì).別看有那么多數(shù)學(xué)難題，如黎曼假設(shè)、哥德巴赫猜想等，似乎離我們很遠(yuǎn)，只要你留心觀察的話，生活中也處處充滿了數(shù)學(xué)的身影.

例如我國(guó)現(xiàn)實(shí)行階梯電價(jià)，第一檔電量為0～200度，每度0.5元，第二檔電量為200～400度，每度0.55元，第三檔電量為400度以上，每度0.8元.這就是電費(fèi)問題，可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)分段函數(shù)，即設(shè)電費(fèi)為f（x），用電量為x（度），

0.5x， x<200，

f（x）

f（x）=100+（x200） ×0.55， 200≤x≤400，

210+（x-400） ×0.8，x>400.

又比如在裝修時(shí)常用到正四邊形和正六邊形地磚，卻很少有正五邊形地磚，這又是為什么呢？以正四邊形為例，其內(nèi)角和為360。，即每個(gè)角為90°，全用正四邊形便可將地面完整覆蓋且不重復(fù)或有縫隙.但用正五邊形地磚就不行了，一個(gè)角為108°，用三塊地磚圍繞某一頂點(diǎn)轉(zhuǎn)一圈的話，卻有36°的空余無法填補(bǔ)，因此不選用.

人民幣在生活中與我們打交道最多，以前人民幣常用面額只有1元、2元、5元，你是否想過：為什么沒有發(fā)行別的面額呢？因?yàn)殂y行在發(fā)行時(shí)要在面額種類少的情況下盡量湊出1～9的數(shù).這樣不僅能讓人民幣履行貨幣職責(zé)，更能保證市場(chǎng)流通的順暢.于是1、2、5便脫穎而出，它們不但能組合出10以內(nèi)任意整數(shù)，而且至多只用3張.現(xiàn)在人們的生活水平提高了，2元紙幣退出流通領(lǐng)域，但在大面額中，則增加了20元紙幣，即出現(xiàn)了常用的大面額組合10元、20元、50元，

學(xué)校即將舉行運(yùn)動(dòng)會(huì)，如何在只有一個(gè)參賽名額的情況下從兩名能力相當(dāng)?shù)倪x手中挑選一位呢？就讓他們進(jìn)行多次測(cè)試，求平均值.若平均值相同，則算出他們成績(jī)的方差，方差越小越穩(wěn)定，就派這個(gè)人參賽.

在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，有邊際利潤(rùn)函數(shù)這一概念，其實(shí)是求利潤(rùn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)實(shí)際情況算出邊際函數(shù)為何值時(shí)利潤(rùn)最大.

數(shù)學(xué)在生活中有著舉足輕重的地位.現(xiàn)如今，數(shù)學(xué)正由幕后走向臺(tái)前，我們一定要學(xué)好數(shù)學(xué).因?yàn)閷W(xué)好了數(shù)學(xué)，你的未來便擁有了更多的可能性.

2.粉筆的形狀與擺放

江蘇省蘇州中學(xué) 包如意

眾所周知，在當(dāng)今的課堂教學(xué)中，粉筆幾乎是必不可少的東西，它是師生間想法的傳遞工具，用來畫圖、書寫、演算.但近些年來，粉筆正進(jìn)行著一場(chǎng)“靜悄悄的革命”.不覺間，圓柱形的粉筆早已被正六棱柱形粉筆所取代，這是為什么呢？正六棱柱形的粉筆有什么優(yōu)點(diǎn)呢？書寫時(shí)握起來比較舒服？更不易折斷？不易從講臺(tái)上滑落？興許都有可能，但我想以兩種形狀的粉筆在粉筆盒中的空間占有率77大小的比較作為話題，談?wù)劧叩膬?yōu)劣.

首先，要做一些準(zhǔn)備工作.我從網(wǎng)上查資料得知：一般粉筆盒的規(guī)格是長(zhǎng)a=10 cm，寬b=7 cm，高c=8 cm，圓柱形粉筆的底面直d=1 cm.由觀察以及測(cè)量得正六棱柱粉筆的底面直徑略大于圓柱形粉筆的直徑，不妨設(shè)底面正六邊形的對(duì)邊的距離l等于圓的直徑d，故l=d =l cm.為方便起見，將立體的粉筆盒化作截面圖來計(jì)算.

1.圓柱形粉筆排列方式一：整齊排列

按照如圖1所示排列粉筆，沿著a邊每一排能放下10支粉筆，共放7排70支粉筆，則易計(jì)算得η=78.5%.

2.圓柱形粉筆排列方式二：交錯(cuò)排列

按照如圖2所示排列粉筆，沿著a邊第一排能放10支粉筆，第二排交錯(cuò)放置，能放9支粉筆，依次排列，共放7排（編者注：實(shí)際放8排也問題不大，生活中的粉筆盒可稍稍撐開一些，可變形）67支粉筆，則易計(jì)算得η=75.2%；如圖3，若沿著6邊排列，第一列能放7支粉筆，第二列交錯(cuò)放置，能放6支粉筆，依次排列，共放11列72支粉筆，計(jì)算得η=80.8%.

3.正六棱柱粉筆排列方式一：整齊排列

按照如圖4所示排列粉筆，沿著a邊每一排能放下8支粉筆，共放7排56支粉筆，則易計(jì)算得η=69.3%；如圖5，若沿著b邊每一列能放下6支粉筆，共放10列60支粉筆，計(jì)算得η=74.2%.

4.正六棱柱粉筆排列方式二：交錯(cuò)排列

按照如圖6所示排列粉筆，沿著a邊一排排放置，第一排能放10支粉筆，第二排交錯(cuò)放置，能放9支粉筆，共放8排76支粉筆，計(jì)算得η=94.0%；如圖7，若沿著6邊一列列放置，第一列能放7支粉筆，第二列交錯(cuò)放置，能放6支粉筆，共放11列72支粉筆，則易計(jì)算得η= 89.1%.

由此可得，以交錯(cuò)方式放置的正六棱柱粉筆確實(shí)比圓柱形粉筆的空間占有率高，因而“革命”之后，相同的粉筆盒內(nèi)粉筆的體積增大了，多多益善，何樂而不為.

因造型神奇而出名的蜂巢，同樣也是一個(gè)正六邊形密鋪的例子，可見粉筆中的數(shù)學(xué)源于生活，亦源于自然.

數(shù)學(xué)詩(shī)歌大放送

1.有韻之?dāng)?shù)學(xué)（原曲《離騷》）

江蘇省江陰市要塞中學(xué)高三（6）班 耿 禎

指導(dǎo)老師：劉 偉

畫與算，做與練，更迭難休

尺與筆，卷與冊(cè)，問數(shù)學(xué)依舊

婀娜多姿的點(diǎn)

勾勒出雙曲線

問為何不會(huì)有個(gè)交集點(diǎn)

拋物線，加橢圓，難倒考生

定義域，求值域，草圖點(diǎn)津

何故抓自變量

何為圖象自賞

無人察覺變量變常量

離散而不群

誰可解題意

常數(shù)而遠(yuǎn)去

心卻系難題

飲一句函數(shù)別愁

醉一世導(dǎo)數(shù)來求

奈何立幾結(jié)構(gòu)上下難求

哀解幾幾多憂

唱一句橢圓別愁

嘆一聲答案難留

運(yùn)算之路無解數(shù)形轉(zhuǎn)換

此題若難解

留給后人玩味

拋物線，加橢圓，難倒考生

定義域，求值域，草圖點(diǎn)津

何故抓自變量

何為圖象自賞

無人察覺變量變常量

離散而不群

誰可解題意

常數(shù)而遠(yuǎn)去

心卻系難題

飲一句函數(shù)別愁

醉一世導(dǎo)數(shù)來求

奈何立幾結(jié)構(gòu)上下難求

哀解幾幾多憂

唱一句橢圓別愁

嘆一聲答案難留

運(yùn)算之路無解數(shù)形轉(zhuǎn)換

此題若難解

留給后人玩味

路漫漫其修遠(yuǎn)兮

吾將上下求索

長(zhǎng)太息以掩涕兮

哀此題之難解

生活好比坐標(biāo)系

橫縱交叉相遇

又如那三角函數(shù)

圖象暗藏玄機(jī)

路漫漫其修遠(yuǎn)兮

吾將上下求索

長(zhǎng)太息以掩涕兮

哀此題之難解

生活好比坐標(biāo)系

橫縱交叉相遇

又如那三角函數(shù)

圖象暗藏玄機(jī)

飲一句函數(shù)別愁

醉一世導(dǎo)數(shù)來求

奈何長(zhǎng)路漫漫上下難求

哀民生幾多憂

唱一句橢圓別愁

嘆一聲答案難留

運(yùn)算之路無解數(shù)形轉(zhuǎn)換

此題若難解

留給后人玩味

【指導(dǎo)老師點(diǎn)評(píng)】該數(shù)學(xué)歌出自一名高三畢業(yè)生之手，體現(xiàn)了作者對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)自內(nèi)心的熱愛，尤為可貴.

2.致我求而不得的數(shù)學(xué)

安徽省合肥市第一中學(xué) 高一（39）班 趙慧媛

指導(dǎo)老師：段明貴

那夜月色溶在你的棱角

我是記得的

像是畢達(dá)哥拉斯的三角

端正而窈窕

又像是沿軸匍匐的蔓葉線

神秘中帶些溫暖

你可曾見過漫漫星河

如同無法用回歸方程描述的散點(diǎn)圖

點(diǎn)綴在星空

你可曾聽過晴空化雪

宛如層層綺麗交疊的病態(tài)曲線

消融在你眉間

你可曾感受過心如海嘯

趨近不了的極限

去心鄰域不可導(dǎo)的函數(shù)

解不開的偏微分方程

悱惻纏綿，萬千營(yíng)營(yíng)

忽夢(mèng)南山鐘鼓遲遲

澹月春深飛落英

月色與春色之間

你是第三種絕色

3.你是我的數(shù)學(xué)，你是我的世界

安徽省合肥市第一中學(xué) 高一（33）班 張志鵬

指導(dǎo)老師：段明貴

當(dāng)我遇見了你

就像陳景潤(rùn)遇見了哥德巴赫猜想

笛卡爾遇見了平面直角坐標(biāo)系

我是指數(shù)，你是對(duì)數(shù)

在反函數(shù)的界限里

軸對(duì)稱讓我們深情相望

我在隨機(jī)數(shù)表的這頭

你在隨機(jī)數(shù)表的那頭

簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

讓我能在街頭巷角與你相逢

我是加減，你是乘除

在三角函數(shù)的世界里

和差化積是我們溝通的橋梁

我是函數(shù)，你是導(dǎo)數(shù)

在變量趨于零的極限里

我對(duì)你的愛單調(diào)遞增

我們?cè)黄鹱哌^

金碧輝煌的數(shù)列大廳

如詩(shī)如畫的復(fù)數(shù)海岸

從你的全世界路過

是我此生最明艷的過往

4.為了遠(yuǎn)山……

安徽省合肥市第一中學(xué) 高一（37）班 洪放

指導(dǎo)老師：段明貴

諾，

在這兒，歐拉停止了計(jì)算和呼吸

在那兒，伽羅瓦在決斗中倒下

在更遠(yuǎn)處，阿基米德死在侵略者的劍下

在近處，陳景潤(rùn)剛剛放下手中的筆

但是，朋友

別在他們的墓前哭泣

他們一定還在冥思苦想

請(qǐng)別打擾

他們不在那兒，他們沒有長(zhǎng)眠

他們?cè)谀呛?jiǎn)潔而有力的公式中

用五個(gè)基本常數(shù)打開復(fù)數(shù)的大門

他們?cè)谝粋€(gè)個(gè)集合及與之對(duì)應(yīng)的運(yùn)算中

以和諧的對(duì)稱闡釋自然

他們?cè)谥背吲?、鉛筆下、圓規(guī)中

用一條條公理、定義演奏平面幾何的樂章

他們?cè)谂实悄亲爬喜孪氲木薹?/p>

在最后一級(jí)臺(tái)階

插上鮮紅的旗幟

化作夜空中最亮的星

所以，朋友

他們?cè)谀闵砼?/p>

他們?cè)谀慵缟?/p>

前進(jìn)吧，遠(yuǎn)方還有山峰