周 莉

( 齊齊哈爾大學(xué) 理學(xué)院， 黑龍江 齊齊哈爾 161006 )

0 引 言

兩相同部件并聯(lián)系統(tǒng)模型是可修系統(tǒng)模型的一種，是一種可靠性數(shù)學(xué)模型．可修系統(tǒng)模型包含串聯(lián)和并聯(lián)系統(tǒng)，允許對失效部件進(jìn)行修理，修理后的部件可繼續(xù)執(zhí)行其使命，使其恢復(fù)功能．在實(shí)際生產(chǎn)生活中，為了改善系統(tǒng)的可靠性，經(jīng)常采用維修的手段．由于引入了修理，模型的分析更加復(fù)雜．例如Huang等研究了多態(tài)連續(xù)n中取k可修模型[1-4]，補(bǔ)充和深化了可修系統(tǒng)理論．而并聯(lián)系統(tǒng)是包含多個(gè)部件，且有一個(gè)能夠正常工作的完好系統(tǒng)，是具有較強(qiáng)的實(shí)用價(jià)值的可修系統(tǒng)．王定江[5]討論了兩相同部件并聯(lián)可修系統(tǒng)的穩(wěn)定性并應(yīng)用強(qiáng)連續(xù)算子半群理論證明了系統(tǒng)非負(fù)解的唯一存在性；史定華[6]在?p1(x，t)/?t=0條件下用Laplace變換給出了解的Laplace變換公式，即得到了解的存在性．文獻(xiàn)[7]中用C0半群理論研究了這個(gè)系統(tǒng)存在唯一非負(fù)的時(shí)間依賴解．郭衛(wèi)華[8]用迭代法證明了該系統(tǒng)非負(fù)解的存在性和唯一性．本文在兩相同部件并聯(lián)系統(tǒng)中用初等階梯函數(shù)對其修復(fù)率進(jìn)行逼近，用半離散算法[9-10]將該系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)離散化數(shù)學(xué)模型，并且運(yùn)用泛函分析理論證明系統(tǒng)模型動(dòng)態(tài)解的逼近．

1 數(shù)學(xué)模型

一類兩個(gè)相同部件并聯(lián)可修系統(tǒng)的模型見圖1．

圖1 兩個(gè)相同部件并聯(lián)可修系統(tǒng)的模型

該模型可用積分-微分方程組(系統(tǒng)Ⅰ)描述為

(1)

(2)

p1(0，t)=λ(k+1)p0(t)

(3)

p0(0)=1，p1(x，0)=0

(4)

式中：p0(t)表示在時(shí)刻t兩個(gè)部件完好的概率；p1(x，t)dx表示在時(shí)刻t一個(gè)部件完好另一個(gè)部件故障并且故障的部件在(x，x+dx]內(nèi)被修好的概率；λ表示部件的平均壽命；μ(x)表示部件的修復(fù)率，滿足

0≤μ(x)<∞

k表示正比失效率，k=1時(shí)表示并聯(lián)，01時(shí)表示冷備．當(dāng)兩個(gè)部件都完好時(shí)一個(gè)部件工作，一個(gè)部件儲(chǔ)備，儲(chǔ)備的部件失效率為kλ．

2 泛函分析處理

下面在Banach空間中用抽象Cauchy問題的形式來描述這個(gè)系統(tǒng)．

設(shè)算子

取狀態(tài)空間

顯然，X是Banach空間．算子A的定義域?yàn)?/p>

則式(1)～(4)可以描述成Banach空間X中一個(gè)抽象的Cauchy問題．

(5)

p(0)=(1 0)T

(6)

3 計(jì)算模型半離散化

0=a0

令

Δi=[ai-1，ai]，x0∈(0，∞)

下面構(gòu)造階梯函數(shù)：

則由假設(shè)，對任意的ε>0，存在x0∈[0，∞)使得

|μ(x)-μ*|<ε

與

|μn(x)-μ(x)|<ε

進(jìn)而原模型經(jīng)離散后化為式(1)′～(4)′(即原系統(tǒng)的修復(fù)率μ(x)置換為μn(x))，則原偏微分方程變?yōu)槌Ｎ⒎址匠滔到y(tǒng)(1)′～(4)′，如同前面一樣把式(1)′～(4)′用Banach空間中的抽象Cauchy問題來描述：

(7)

pn(0)=(1 0)T

(8)

4 動(dòng)態(tài)解逼近的證明

由線性算子半群對偏微分方程的應(yīng)用及文獻(xiàn)[11]知：A+B生成一個(gè)C0壓縮半群，又因?yàn)樯蒀0半群具有唯一性，所以此壓縮C0半群就是T(t)．

首先估計(jì)線性算子A+B和(An+Bn)的預(yù)解式分別為R(v；A+B)和R(v；An+Bn)，然后對系統(tǒng)動(dòng)態(tài)解的逼近問題用Trotter定理加以證明．

考慮方程[vI-(A+B)]p(x)=y(x)，即

(9)

(10)

p1(0)=λ(k+1)p0

(11)

由式(11)可得

(12)

令

將式(12)代入式(9)得

(13)

令

整理得

(v+λ(k+1)(1-ω))p0=y0+φ(y1)

(14)

令

|D|=v+λ(k+1)(1-ω)=

所以由文獻(xiàn)[12]得出當(dāng)v>0時(shí)|D|≠0方程(14)的解是唯一的，因此方程組(9)～(11)的解也是唯一的，進(jìn)而有R(vI-A-B)X，(vI-A-B)是閉算子，且(vI-A-B)-1也存在并且是有界的．而|D|能用ω線性表示，所以當(dāng)v>0時(shí)

(exp(-vx)為減函數(shù))=

即0<|ω|<1，那么|D|也是有界的．所以由式(14)得

將p0代入p1(x)則有

取

因此A+B的預(yù)解式為

將(vI-A-B)-1中ω、φ(y1)、W、Q(y1)、|D|含有的μ(x)變?yōu)棣蘮(x)得到(vI-An-Bn)-1，相應(yīng)的ω、φ(y1)、W、Q(y1)、|D|記為ωn、φn(y1)、Wn、Qn(y1)、|Dn|，Λ記為Λn，于是得到

現(xiàn)在來證明系統(tǒng)修復(fù)率的逼近，只要證明R(v；An+Bn)y→R(v；A+B)y．

只需證明

且|Dn||D|≠0，|Dn|、|D|有界(n→∞)．|D|≠0同理|Dn|≠0，且|Dn|有界，|D|為ω的線性表示，ω中含有μ(x)，要證明|Dn|→|D|，只需證明ωn→ω(n→∞)．

考慮

則有|ωn|→|ω|(n→∞)，即|Dn|→|D|(n→∞)．

證明Λn→Λ(n→∞)，只需證明相應(yīng)元素逼近，即

φ(yn)→φ(y1)，Wn→W，

Q(yn)→Q(y1)(n→∞)

μ(ξ)|dξ→0 (n→∞)

0 (n→∞)

|μn(x)-μ(x)|·

μ(x)|dξdτdx→0 (n→∞)

綜上所述

|Λn|→|Λ| (n→∞)

亦即

即

R(v；An+Bn)y→R(v；A+B)y(n→∞)

這樣就證明了系統(tǒng)動(dòng)態(tài)解的逼近．

5 數(shù)值計(jì)算模型

為了驗(yàn)證以上離散后的常微分方程組解的收斂性，用實(shí)踐證明理論的正確性．下面利用數(shù)值計(jì)算方法[13]，對上述結(jié)果進(jìn)行數(shù)值模擬．

(15)

(16)

p0(0)=1，p1(0)=0

(17)

下面用Matlab數(shù)學(xué)軟件求常微分方程組的數(shù)值解，此時(shí)令λ=0.5，μ=0.5，其結(jié)果如圖2所示．

對圖2進(jìn)行分析表明本文建立的離散化模型具有系統(tǒng)動(dòng)態(tài)解．這個(gè)結(jié)論與理論證明的結(jié)論是一致的，進(jìn)而說明半離散算法對于該可修系統(tǒng)模型是可行的．

(a) p0

(b)p1

圖2 系統(tǒng)(Ⅱ)的數(shù)值解(μ(x)=μ，為常數(shù))

Fig.2 Numerical solution of system (Ⅱ) (μ(x)=μ,is constant)

6 結(jié) 語

理論分析表明半離散化逼近方程能夠保持許多原來重要問題的物理意義，所以該逼近方程就可以作為原物理問題的常微分方程模型[14-15]．本文利用半離散化方法將兩相同部件并聯(lián)可修系統(tǒng)模型轉(zhuǎn)化為矩陣常微分方程組，證明了該方程組解是收斂的．當(dāng)假設(shè)修復(fù)率為常數(shù)時(shí)對模型解進(jìn)行數(shù)值分析與計(jì)算，得到該模型的擬合圖．