蔡 靜，孔嘉勇，張 新

（佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院物理與光電工程學(xué)院，廣東佛山528000）

滲流模型指的是分布在空間內(nèi)相鄰或者相連的點的一系列集合，點與點之間的聯(lián)系通常通過兩種關(guān)聯(lián)方式來實現(xiàn)，一種是點的位置和點與點之間的關(guān)聯(lián)是隨機(jī)的，另外一種是點的位置已經(jīng)確定，而點與點之間的關(guān)聯(lián)要通過某種特定且隨機(jī)的規(guī)則來實現(xiàn)。

滲流模型多用于研究多孔介質(zhì)中的輸運問題[1]，亦可用與許多自然界中實際問題的理論模型，如流行病傳播[2]、森林火災(zāi)[3]、介質(zhì)和導(dǎo)體混合物的傳導(dǎo)特性[4]等。滲流是一種幾何模型，其規(guī)則雖看似簡單，但蘊含著深刻的物理意義。這類應(yīng)用領(lǐng)域中的實際問題雖然規(guī)則相對簡單，但是對于研究熱力學(xué)統(tǒng)計物理的相變和臨界現(xiàn)象有著重要的參考價值，因此吸引了很多學(xué)者的廣泛興趣。

ACHLIOPTAS等人提出最小乘法規(guī)則[5]（Product rule，簡稱PR規(guī)則），并在規(guī)則網(wǎng)絡(luò)和無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)等網(wǎng)絡(luò)中進(jìn)行了研究。2009年，ROBERTM.Ziff研究了二維正方網(wǎng)絡(luò)上動力學(xué)滲流的爆炸性生長，且采取了只將鍵放置在不同的集團(tuán)之間。這樣一來限制條件更加嚴(yán)格，此規(guī)則下的滲流相變點延遲到0.9925 附近[6]。

1 滲流

1.1 滲流模型

滲流模型根據(jù)占據(jù)對象不同可分為位點滲流（Site percolation）和鍵滲流（Bond percolation），以BOLLOBáS[7]1998年著作中的內(nèi)容來解釋規(guī)則圖形的滲流。設(shè)有圖形Λ，V（Λ）和E（Λ）分別代表其中位點和鍵的集合。點滲流中的位點以一定的概率p被占據(jù)，用被占據(jù)表示導(dǎo)通，未被占據(jù)表示不導(dǎo)通，相鄰導(dǎo)通的點的集合組成同一個集團(tuán)；鍵滲流中，相鄰位點的鍵以一定概率p被占據(jù)，相鄰導(dǎo)通的鍵以及所有的點組成同一個集團(tuán)。如圖1所示。

圖1 點（Site）滲流和鍵（Bond）滲流

圖1a表示二維正方網(wǎng)絡(luò)Zd上的點滲流，圖中用空心點表示不導(dǎo)通的點，用實心點表示導(dǎo)通的點，一個集團(tuán)包含所有相鄰導(dǎo)通的位點；圖1b表示鍵滲流，集團(tuán)的形成是通過鍵將實心點連接起來實現(xiàn)的。如果整個格子中出現(xiàn)從左至右或者從上至下的一條通路，使得至少有一個方向是導(dǎo)通的，這個時候就說網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)了滲流。如圖1a的點滲流，網(wǎng)絡(luò)尺寸為5×5，初始的時候網(wǎng)絡(luò)上不放置點，可以定義從網(wǎng)絡(luò)的左下方開始，以概率p放置實心點，以概率1-p放置空心點，放置完25個點。相鄰的實心點從屬于同一個集團(tuán)Sx，通過統(tǒng)計實心點的數(shù)目來計算集團(tuán)的大小。圖中1a是取概率p=0.7時的單次模擬結(jié)果，此圖中一共形成了ns=4個相互獨立的集團(tuán)，可以統(tǒng)計出4個集團(tuán)中，有一個實心點數(shù)目為9的集團(tuán)，稱之為最大集團(tuán)Smax。圖1b的鍵滲流，第一步用實心點填充網(wǎng)絡(luò)上的每個位點，仍然從網(wǎng)絡(luò)的左下角開始，取概率p放置鍵，通過鍵相連接的實心點屬于同一個集團(tuán)，取概率1-p不放置鍵。單次模擬后形成了ns=6個集團(tuán)，其中最大集團(tuán)包含了5根鍵?？梢韵胂螅?dāng)p值很小無限接近于0時，幾乎不會出現(xiàn)滲流；當(dāng)p很大無限接近于1時，網(wǎng)絡(luò)幾乎都處于滲流狀態(tài)。介于這兩種情況，即當(dāng)p為一特殊值時，使得網(wǎng)絡(luò)剛好達(dá)到狀態(tài)轉(zhuǎn)變，此時的p就是發(fā)生相變的臨界值pc。

根據(jù)熱力學(xué)概念，在熱力學(xué)極限下，當(dāng)概率達(dá)到臨界值pc時，網(wǎng)絡(luò)中便會出現(xiàn)一個宏觀尺度的滲流集團(tuán)，這個時候滲流系統(tǒng)會以連續(xù)的相變（二階相變）的形式出現(xiàn)?；蛘呖梢赃@樣表示：總存在一個臨界值 pc∈[0，1]，當(dāng) p＜pc時，P（p）=0；而當(dāng) p＞pc時，p=pc，此時系統(tǒng)處在臨界狀態(tài)，其中 P（p）=0 代表沒有實現(xiàn)滲流，P（p）＞0代表至少有一個集團(tuán)實現(xiàn)了滲流。

1.2 爆炸性滲流

如前所述，ROBERTM.Ziff對ACHLIOPTAS等人的模型進(jìn)行了微小的規(guī)則改動，得到了新的二維平面正方網(wǎng)絡(luò)爆炸性滲流。規(guī)則如下，在添加鍵時，隨機(jī)選取兩條備選鍵e1和e2，根據(jù)最小乘積規(guī)則（productrule，PR）來選取鍵，即將e1和e2連接的集團(tuán)相乘，乘積最小者被選中。如圖2所示，e1集團(tuán)大小的乘積為2×7=14，e2集團(tuán)大小的乘積為4×4=16。通過比較顯然e1將被留下而e2將被舍棄。但是，如果此時的e1是屬于同一集團(tuán)內(nèi)部的，那么就要放棄此次的操作，重新選擇新的e1和e2。由于此規(guī)則優(yōu)先合并小尺寸集團(tuán)，那么整個系統(tǒng)中所有集團(tuán)的尺寸會趨向于均勻，導(dǎo)致最大集團(tuán)的形成得到了延遲。但當(dāng)無限接近相變點的時候，每添加的一根鍵都會引發(fā)最大集團(tuán)尺寸的急劇增加，且發(fā)生的時間極其短暫，呈現(xiàn)一種爆發(fā)性的相變，即現(xiàn)在所說的爆炸性滲流的形成[8]。

圖2 PR規(guī)則下集團(tuán)演化示意圖

1.3 滲流的臨界指數(shù)

滲流模型中，由于周期性邊界條件，當(dāng)集團(tuán)趨于無限大時，在網(wǎng)絡(luò)中任意選擇一個位點，定義位點屬于無限大集團(tuán)的概率為 P∞。滲流相變的臨界值記為 pc，當(dāng) p＜pc時，P∞=0；p＞pc時，P∞≠0。P∞在 pc附近滿足冪率關(guān)系

其中β就是臨界指數(shù)，把這種p非常接近pc時滲流的表現(xiàn)叫做滲流的臨界行為。

每個位點（鍵）必然存在如下3種可能狀態(tài)：1）以概率為1-p不被占據(jù)；2）以概率為p（1-P∞）屬于其他有限大集團(tuán)；3）以概率為p·P∞屬于無限大集團(tuán)的一部分。所有位點（鍵）屬于任意一個集團(tuán)的概率為ps=s·ns，概率總和為

對式子兩邊取對數(shù)，以ln（p-pc）為橫坐標(biāo)，ln（P）為縱坐標(biāo)作圖，每個式子的臨界指數(shù)即為該圖的斜率。6個普適臨界指數(shù)α、β、γ、δ、η、ν以及熱臨界指數(shù)yt和磁臨界指數(shù)yh之間滿足一定的標(biāo)度關(guān)系[9]

利用計算機(jī)擬合出yt和yh后再計算求得其他臨界指數(shù)。

1.4 本文所用規(guī)則

總結(jié)本文所用規(guī)則如下：

（1）初始化二維正方網(wǎng)絡(luò)，每個位點都是一個大小si=1的獨立集團(tuán)；

（2）隨機(jī)選擇兩個位點 i1、i2，且 i1≠i2，再分別隨機(jī)選擇各自的鄰點 j1、j2；

（3）計算集團(tuán)乘積大小 P1=si1·sj1、P2=si2·sj2；

（4）對 P1、P2的大小進(jìn)行比較，如果 P1＜P2，則用一根鍵 bond1 連接 i1和 j1；如果 P1＞P2，則用另一根鍵bond2連接i2和j2；如果P1=P2，則bond1和bond2被選中的概率均為0.5；

（5）合并集團(tuán)；

（6）重復(fù)以上（1）到（5）步，直至所有鍵都已成功放置到網(wǎng)絡(luò)中[7]。

2 最大集團(tuán)尺寸

對不同尺寸的網(wǎng)絡(luò)分別執(zhí)行了100萬次的全格點計算，得到二維正方網(wǎng)絡(luò)的/N-p關(guān)系曲線如圖3a所示，其中 N=L×L。用 5種顏色對不同尺寸進(jìn)行區(qū)分，L=16（紅色），32（綠色），64（藍(lán)色），96（紫色），128（黑色）。

對最大集團(tuán)歸一化后的數(shù)值通過（4）式進(jìn)行擬合，得到相應(yīng)的臨界點和臨界指數(shù)

其中 ai、ci都是相應(yīng)的系數(shù)，pc是臨界值，d=2，c0為臨界點最大集團(tuán)平均尺寸，c0=0.72（2）。

在臨界點附近對進(jìn)行擬合，擬合得二維正方網(wǎng)絡(luò)的臨界值pc=0.523 8（2）。根據(jù)（5）式的有限尺度的標(biāo)度行為，做臨界點處的ln/N-ln L關(guān)系圖，如圖3b所示，二維正方網(wǎng)絡(luò)曲線的斜率-β/v=-0.059（1）。臨界指數(shù) yt=0.51（2），yh=0.90（5），ν=1.00（3），γ=1.90（3），η=0.10（1），α=-0.02（2），β=0.07（4），δ=2.05（7）。

圖3 /N與p的關(guān)系和ln/N與ln L關(guān)系

3 結(jié)論

最大集團(tuán)尺寸由于規(guī)則限制，增長較為緩慢，當(dāng)接近臨界點附近，最大集團(tuán)尺寸爆發(fā)性地增長，相應(yīng)圖像曲線呈階躍性跳變，且網(wǎng)絡(luò)尺寸越大，這種爆發(fā)性增長越明顯。