陰少輝

（廣東工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東廣州510520）

脈沖方程比不含脈沖項(xiàng)的微分方程能更精確地反映部分自然規(guī)律，一些脈沖微分方程模型很好地說明了這個(gè)事實(shí)[1-2]。研究包含邊值條件的脈沖微分方程問題[2-10]的主要方法有Leray-Schauder定律、上下解的方法、錐拉伸與壓縮不動點(diǎn)定律和單調(diào)迭代方法。

ChenYuqing等[6]研究過下面在有限維空間中包含邊值條件的脈沖方程反周期解的問題

如果滿足以下條件：

本文將在不要求G滿足Lipschitz條件的情況下，研究如下一階包含σ邊值條件的脈沖微分方程的解是否存在

1 預(yù)備知識

先介紹以下符號

引理1 Ii∶Rn→Rn是連續(xù)的，i=1，2，...，p，對任意的xk∈Rn，，其中 α，δ為大于0的常數(shù)。假設(shè)滿足，則有

證明 由條件得

于是

所以

2 主要結(jié)論

定理1若G∶Rn→Rn是連續(xù)的是連續(xù)的。如果滿足以下條件：

則方程（2）有解。

證明 由引理1，對于任意的v∈PC（J）可考慮下面的方程

顯然方程（3）有如下唯一解

（I）證明K是連續(xù)映射。

因?yàn)镚是連續(xù)的，vn→v，n→∞，由控制收斂定理得到

當(dāng) t∈[0，t1）的時(shí)候，有

Ik是連續(xù)的，以及式（4）得 K 是連續(xù)的。

（II）證明K是緊映射。

（IV）證明對?λ0∈（0，1），滿足v=λ0kv的所有 v是有界集。

若存在 v∈PC（J），v=λ0kv，λ0∈（0，1），滿足

易見

其中，t∈[tk，tk+1），k=1，2，…，p。

所以

在 t1，t2，…，tp這些點(diǎn)上，單點(diǎn)積分為 0，舍去它們，有

由Leray-Schauder二擇一定理得方程（3）有解。

利用類似于定理1的方法可得到如下結(jié)果。

定理2若G∶Rn→Rn是連續(xù)的，f（t，x）∶[0，T]×Rn→Rn為Caratheodory函數(shù)，，g（t）∈L2（[0，T]），Ii∶Rn→Rn是連續(xù)的，k=1，2，…，p。

如果滿足下面條件：

有解。

注 當(dāng)σ=-1時(shí)，本文所研究的問題即為文獻(xiàn)[6]反周期邊值問題.

3 實(shí)例

方程等價(jià)于

顯然方程（8）滿足定理1的所有條件，因此方程（8）有解。