長(zhǎng)春理工大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，吉林長(zhǎng)春 130022

一、引言

20世紀(jì)80年代，基于各種復(fù)雜系統(tǒng)研究基礎(chǔ)之上，分?jǐn)?shù)階微積分在控制領(lǐng)域的應(yīng)用受到研究者關(guān)注[1]。目前工業(yè)控制系統(tǒng)中大多采用傳統(tǒng)的PID控制器，分?jǐn)?shù)階PIλDμ是傳統(tǒng)PID的一般性，因其多了兩個(gè)參數(shù)λ、μ，其過(guò)程更細(xì)膩、更具有靈活性，分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器比整數(shù)階PID控制器有更好的控制品質(zhì)、動(dòng)態(tài)特性和更強(qiáng)的魯棒性[2]。

在實(shí)際控制系統(tǒng)中，常常會(huì)伴有強(qiáng)干擾和噪聲的影響，1960年卡爾曼（Kalman）提出了卡爾曼濾波理論，把狀態(tài)空間概念引入估計(jì)理論中，采用時(shí)域上的遞推算法在數(shù)字計(jì)算機(jī)上進(jìn)行數(shù)據(jù)濾波處理，卡爾曼濾波在控制領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[3]。

本文首先運(yùn)用MatLab軟件中可視化系統(tǒng)辨識(shí)工具箱模塊對(duì)光電吊艙俯仰環(huán)進(jìn)行數(shù)學(xué)模型參數(shù)辨識(shí)，在不考慮擾動(dòng)條件下對(duì)系統(tǒng)模型設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)階控制器進(jìn)行仿真分析，通過(guò)改變系統(tǒng)增益大小分析對(duì)比得出，采用分?jǐn)?shù)階控制器控制，系統(tǒng)具有較強(qiáng)的增益魯棒性。實(shí)際控制系統(tǒng)中常伴有擾動(dòng)和噪聲，單純的分?jǐn)?shù)階控制器無(wú)法抑制擾動(dòng)的影響，在分?jǐn)?shù)階控制器基礎(chǔ)上加入卡爾曼濾波器對(duì)噪聲進(jìn)行濾除，仿真結(jié)果顯示，卡爾曼濾波器與分?jǐn)?shù)階控制器結(jié)合對(duì)吊艙系統(tǒng)控制，可以有效濾除噪聲，增強(qiáng)系統(tǒng)魯棒性和抗干擾能力。因此，對(duì)分?jǐn)?shù)階控制器和卡爾曼濾波器的理論與應(yīng)用研究有重要意義。

二、分?jǐn)?shù)階微積分及分?jǐn)?shù)階控制器

1、分?jǐn)?shù)階微積分理論

分?jǐn)?shù)階微積分主要研究任意階次的微分、積分算子的特性及其應(yīng)用。其一般分?jǐn)?shù)階表達(dá)式為：

t1—微積分的上限；

t0—微積分的下限；

α—實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)；

Re(α)—復(fù)數(shù)α的實(shí)部。

對(duì)于分?jǐn)?shù)階微積分的定義，不同的數(shù)學(xué)家給出不同定義，在實(shí)際控制系統(tǒng)應(yīng)用中，Caputo分?jǐn)?shù)階微積分定義更適合分?jǐn)?shù)階微積分初始值問(wèn)題的求解[4]。

2、分?jǐn)?shù)階控制器

分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)采用分?jǐn)?shù)階微分方程描述，對(duì)于單輸入單輸出的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)模型，可描述為：

其中，αi(i=1, 2,…,n)、βj(j=1, 2,…,m) —任意實(shí)數(shù)；

滿足αn>αn-1>…>α0>0，βm>βm-1>…>β0>0，對(duì)上式進(jìn)行拉普拉斯變換，可得到分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：

不同的控制系統(tǒng)和不同的控制器，可以將其分為以下幾類：

（1）整數(shù)階控制器控制的整數(shù)階控制系統(tǒng)；

（2）整數(shù)階控制器控制的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)；

（3）分?jǐn)?shù)階控制器控制的整數(shù)階系統(tǒng)；

（4）分?jǐn)?shù)階控制器控制的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)[5]。

對(duì)于分?jǐn)?shù)階控制器，微分方程式為：

其中，Kp—比例系數(shù)；

Kd—微分系數(shù)；

Ki—積分系數(shù)；

μ—微分階數(shù)；

λ—積分階數(shù)。

經(jīng)拉式變換得到對(duì)應(yīng)時(shí)域傳遞函數(shù)表達(dá)式：

控制器對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)框圖如圖1所示。

三、卡爾曼濾波器和分?jǐn)?shù)階控制器實(shí)現(xiàn)

1、分?jǐn)?shù)階控制器實(shí)現(xiàn)

分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器設(shè)計(jì)是根據(jù)系統(tǒng)性能指標(biāo)，得到滿足系統(tǒng)要求的分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器優(yōu)化Kp、Ki、Kd、λ、μ參數(shù)的過(guò)程?？刂破鲄?shù)的選擇對(duì)控制系統(tǒng)起關(guān)鍵性作用，采用幅值裕量和相位裕度法對(duì)分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器進(jìn)行參數(shù)整定。對(duì)于給定的相位裕度φm和截止頻率ωc，根據(jù)參數(shù)整定規(guī)則，利用MatLab優(yōu)化工具箱中fmincon非線性優(yōu)化函數(shù)方法，可以求得分?jǐn)?shù)階 PIλDμ控制器Kp、Ki、Kd、λ、μ參數(shù)值[6]?？刂破鞅磉_(dá)式為：

利用AL-Alaoui+CFE脈沖響應(yīng)不變法對(duì)分?jǐn)?shù)階控制器進(jìn)行離散化數(shù)字實(shí)現(xiàn)[7]。

2、卡爾曼濾波器實(shí)現(xiàn)

卡爾曼濾波理論以最小均方誤差為估計(jì)的最佳準(zhǔn)則，對(duì)于狀態(tài)空間模型為：

其中，A—狀態(tài)矩陣；

B—輸入矩陣；C—輸出矩陣；

D—前饋矩陣，一般為零。離散化后狀態(tài)空間模型為：

?！肼曭?qū)動(dòng)；

H—觀測(cè)噪聲；

k—離散時(shí)間；

X(k) —表示系統(tǒng)在k時(shí)刻的狀態(tài)；

Y(k) —對(duì)應(yīng)狀態(tài)的觀測(cè)信號(hào)；

w(k) —白噪聲；

v(k) —觀測(cè)噪聲。

卡爾曼濾波的遞推算法流程圖如圖2所示[8]。在一個(gè)濾波周期內(nèi)，由預(yù)測(cè)狀態(tài)變量可知，根據(jù)k時(shí)刻的狀態(tài)估計(jì)預(yù)測(cè)k+1時(shí)刻狀態(tài)，預(yù)測(cè)誤差協(xié)方差是對(duì)預(yù)測(cè)的質(zhì)量?jī)?yōu)劣做定量描述，該預(yù)測(cè)描述了卡爾曼濾波時(shí)間更新過(guò)程，測(cè)量更新中各式是用來(lái)計(jì)算對(duì)時(shí)間更新值的修正量，該值由等信息所確定，最終結(jié)果可以合理利用觀測(cè)信號(hào)Y(k)。只要給定初值和P0，根據(jù)k時(shí)刻的量測(cè)Zk，就可以計(jì)算得到k時(shí)刻的狀態(tài)估計(jì)

四、算法仿真分析

1、光電吊艙俯仰環(huán)模型建立

光電吊艙是包含線性和非線性因素的負(fù)載系統(tǒng)，難以通過(guò)物理建模法得到準(zhǔn)確的系統(tǒng)模型，因此采用系統(tǒng)辨識(shí)的方法建立數(shù)學(xué)模型，通過(guò)實(shí)測(cè)輸入輸出數(shù)據(jù)對(duì)模型進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)。將某光電吊艙航向掃頻信號(hào)作為系統(tǒng)輸入，求得吊艙俯仰環(huán)在不同頻率段的響應(yīng)特性，最后通過(guò)系統(tǒng)辨識(shí)法求取系統(tǒng)的頻率特性[9]。

通過(guò)可視化系統(tǒng)辨識(shí)工具箱對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)[10]，最后取部分實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)辨識(shí)模型進(jìn)行驗(yàn)證，擬合得到俯仰環(huán)頻率特性曲線如圖3所示，不考慮延遲環(huán)節(jié)，近似得俯仰環(huán)的傳遞函數(shù)如下：

其中，K=1.449、T1=0.11、T2=0.0091。

2、仿真分析

基于卡爾曼濾波器的分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器結(jié)構(gòu)框圖如圖4所示。其中，被控對(duì)象采用零階保持器進(jìn)行離散化，分?jǐn)?shù)階控制器根據(jù)前文研究方法進(jìn)行離散化實(shí)現(xiàn)，在系統(tǒng)運(yùn)行和測(cè)量過(guò)程中產(chǎn)生的擾動(dòng)經(jīng)過(guò)濾波器濾除后的值Y(s)反饋到輸入端與預(yù)定值進(jìn)行比較后得E(s)，作為控制器的輸入值，U(s)為控制器的輸出，w為控制干擾（過(guò)程噪聲），v為測(cè)量噪聲。

采用分?jǐn)?shù)階控制器與卡爾曼濾波器結(jié)合控制，假設(shè)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)截止頻率ωc=90rad/s，相位裕度φm=60°，采樣時(shí)間ts=0.001s，系統(tǒng)過(guò)程噪聲和測(cè)量噪聲均為協(xié)方差1，幅值0.02的白噪聲，即Q=1，R=1，初始值P0=B*Q*B′。

由已知條件，根據(jù)參數(shù)整定規(guī)則，得分?jǐn)?shù)階控制器各參數(shù)為Kp=7.7212、Ki=35.6517、Kd=1.5847、λ=0.7404、μ=0.2558，傳遞函數(shù)表達(dá)式為：

加入噪聲前改變系統(tǒng)增益大小，Kp分別取原值的0.8倍、1.0倍、1.2倍，輸入階躍信號(hào)，仿真結(jié)果如圖5所示。根據(jù)仿真結(jié)果可以得出系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性，如表1所示。

根據(jù)結(jié)果分析可以得出，改變系統(tǒng)增益大小，系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性變化較小，證明系統(tǒng)具有較強(qiáng)的增益魯棒性，參數(shù)攝動(dòng)不敏感，系統(tǒng)對(duì)控制輸入信號(hào)具有良好的跟蹤能力[11]。

加入濾波后，系統(tǒng)狀態(tài)描述如下

將連續(xù)時(shí)不變系統(tǒng)轉(zhuǎn)換線性離散時(shí)不變系統(tǒng)：初始誤差協(xié)方差P0為：

表1 系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性

實(shí)驗(yàn)噪聲大小情況如圖6所示。加入濾波器后仿真結(jié)果如圖7所示。由圖7可以得出，系統(tǒng)在加入噪聲和擾動(dòng)后，未加入濾波器的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性，上升時(shí)間tr=0.0175s，系統(tǒng)加入干擾后，產(chǎn)生隨機(jī)抖動(dòng)，無(wú)法達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，系統(tǒng)超調(diào)量σ%=22.5%；加入濾波器后的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性，上升時(shí)間tr=0.0175s調(diào)節(jié)時(shí)間ts=0.177s，系統(tǒng)超調(diào)量σ%=22.2%，系統(tǒng)在經(jīng)過(guò)0.177s后達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，響應(yīng)速度較快。

實(shí)際系統(tǒng)中，噪聲影響比實(shí)驗(yàn)中要復(fù)雜的多，卡爾曼濾波器在實(shí)際應(yīng)用效果中有一定偏差，但整體滿足到控制性能的要求。

五、結(jié)束語(yǔ)

本文主要以光電吊艙俯仰環(huán)為被控對(duì)象進(jìn)行系統(tǒng)建模，通過(guò)改變系統(tǒng)增益大小，加入噪聲干擾等條件，采用基于卡爾曼濾波器的分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制方法與純分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制方法進(jìn)行仿真對(duì)比研究，結(jié)果顯示系統(tǒng)未加入噪聲和濾波器前，純分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器具有較強(qiáng)的增益魯棒性，加入噪聲和濾波器后，單純的分?jǐn)?shù)階 PIλDμ控制器無(wú)法滿足系統(tǒng)要求?；诳柭鼮V波器的分?jǐn)?shù)階 PIλDμ控制器控制效果有明顯改善，滿足系統(tǒng)需求。