錢 劍， 姜冬菊， 龔 慶， 黃 丹＊

（1．河海大學(xué) 工程力學(xué)系，南京211100；2．重慶市質(zhì)量和標(biāo)準(zhǔn)化研究院，重慶400020）

1 引 言

工程構(gòu)件中往往存在初始裂紋等缺陷，其中復(fù)合型裂紋較為常見。復(fù)合型裂紋的擴(kuò)展規(guī)律和擴(kuò)展過程模擬，尤其是動載作用下的擴(kuò)展過程模擬，一直是研究的難點。為了探索含復(fù)合型裂紋構(gòu)件的裂紋擴(kuò)展過程與破壞機(jī)制，國內(nèi)外學(xué)者開展了大量相關(guān)理論、試驗和數(shù)值研究。John等［1］通過混凝土梁沖擊試驗研究了復(fù)合型裂紋動態(tài)擴(kuò)展路徑以及初始裂紋位置對破壞路徑的影響；Carmona等［2］通過試驗分析了配筋對鋼筋混凝土梁裂紋擴(kuò)展的影響及其破壞機(jī)理。各種新型數(shù)值方法也應(yīng)用于含復(fù)合型裂紋構(gòu)建的動力破壞過程模擬，Song等［3］應(yīng)用基于虛擬結(jié)點的有限元法模擬了三維圓盤沖擊梁的破壞，得到了裂紋擴(kuò)展路徑和裂尖擴(kuò)展速度；章青等［4］基于廣義擴(kuò)展有限元法進(jìn)行了復(fù)合型裂紋擴(kuò)展分析。此外，Zhang等［5］應(yīng)用晶格胞元模型分析了動載作用下裂紋擴(kuò)展速度和擴(kuò)展時間與初始裂紋長度的關(guān)系。

近年來，基于非局部思想建模的近場動力學(xué)PD（Peridynamics）方法［6，7］以其在模擬不連續(xù)力學(xué)問題方面的獨特優(yōu)勢而日益受到關(guān)注。早期的單參數(shù)常規(guī)鍵型PD本構(gòu)模型［7］在應(yīng)用時受到諸多限制，Gerstle等［8］考慮物質(zhì)點對的旋轉(zhuǎn)，提出了PD微極模型。另一方面，文獻(xiàn)［9，10］在常規(guī)PD本構(gòu)模型中引入可以反映長程力尺寸效應(yīng)的核函數(shù)修正項以提高定量計算精度，并應(yīng)用于混凝土構(gòu)件的沖擊破壞模擬［11］。黃丹等［12－14］進(jìn)一步改進(jìn)和討論了核函數(shù)修正項的作用。

本文基于PD微極模型引入能反應(yīng)長程力尺寸效應(yīng)的核函數(shù)修正項，構(gòu)建計算精度更高的雙參數(shù)微極模型和相應(yīng)的粒子系統(tǒng)動力加載算法。通過模擬動載作用下含復(fù)合型裂紋混凝土三點彎梁的破壞過程，并與試驗結(jié)果對比，對模型和算法進(jìn)行驗證。在此基礎(chǔ)上，分組模擬分析了動載作用下復(fù)合型初始裂紋位置、長度和方向?qū)θc彎混凝土梁破壞模式、破壞時間與承載能力的影響。

2 模型和算法

將固體離散為空間域內(nèi)一系列包含所有物性信息的物質(zhì)點。如圖1所示，對空間域R內(nèi)任一物質(zhì)點x，在其鄰域范圍δ內(nèi)的任一點x′與x之間的相互作用力為

圖1 物質(zhì)點間相互作用Fig．1 Interaction of material points

式中ρ為材料密度，u為物質(zhì)點位移，x為物質(zhì)點的位置，b為外力密度。

若物質(zhì)點間的作用力與時間歷史無關(guān)，則有

式中η和ξ分別為物質(zhì)點相對位移與相對位置。

若將物質(zhì)點間的作用力視為一種中心彈簧［15］作用，可引入物質(zhì)點對的勢能密度

c（ξ）為物質(zhì)點對的拉伸微模量系數(shù)（類似于中心彈簧的拉伸剛度），s1為物質(zhì)點對的伸長率。本構(gòu)力（點對力）可表示為

以往近場動力學(xué)模擬中應(yīng)用最廣泛的是常規(guī)微彈脆性PMB（Prototype Microelastic Brittle）近場動力學(xué)本構(gòu)模型，其微模量c通常通過與傳統(tǒng)彈性理論中的應(yīng)變能等效［16］：

常規(guī)PMB模型在求解平面應(yīng)力問題時受到泊松比ν＝1／3的限制［16］，為突破該限制，Gerstle等［8］引入物質(zhì)點對的轉(zhuǎn)動自由度，得到PD雙參數(shù)微極模型。應(yīng)用應(yīng)變能等效可計算出平面應(yīng)力問題的微模量系數(shù)為

式中c為拉伸微模量系數(shù)，d為彎曲微模量系數(shù)。ν＝1／3時，d＝0，模型退化為PMB模型。

若進(jìn)一步引入能夠反映長程力尺寸效應(yīng)的核函數(shù)修正項g，則PD物質(zhì)點點對勢能為

核函數(shù)需滿足長程力隨物質(zhì)點對變化規(guī)律，其選取準(zhǔn)則如下［9］：

式中 Δ（ξ）為Dirac Delta函數(shù)。經(jīng)試算比較，根據(jù)式（8）取g＝［1－（ξ／δ）2］2，由上述應(yīng)變能等效原理，可求得平面應(yīng)力問題的微模量系數(shù)為

對于物質(zhì)點xi近場范圍內(nèi)的任一點xj，式（1）的離散形式可表示為

式中n為時間步數(shù)，對于平面問題，Vj＝。針對動力問題，本文應(yīng)用顯式差分求解，采用中心差分格式，通過自主編寫的Fortran語言程序?qū)崿F(xiàn)。給定模型的初始狀態(tài)（位移u、速度u·和位置x），經(jīng)過迭代，記錄每一步循環(huán)物質(zhì)點的速度、加速度和位移等變量，更新物質(zhì)點所在位置和所受合力，從而完成計算。

3 動載作用下復(fù)合型裂紋擴(kuò)展模擬

3．1 模型驗證

為了驗證核函數(shù)修正項對計算精度的提高作用，對相同參數(shù)的模型，分別用本文模型、不含修正項的微極模型和有限元方法進(jìn)行模擬比較。模型參數(shù)如下，材料彈性模量E＝31．37GPa，泊松比ν＝0．2，密度ρ＝2400kg／m3，fc＝41MPa，ft＝3．19MPa。梁上側(cè)中點受集中動荷載P作用，加載速率為4×107N／s。模型尺寸如圖2所示。

如圖3所示，取梁下邊界點1ms時的y方向位移作為參考對象，對比無核函數(shù)、含核函數(shù)和FEM結(jié)果可知，加入核函數(shù)修正項后，梁下邊界y方向位移（即梁下邊界撓度）更接近有限元解，說明核函數(shù)能有效提高計算精度。下文計算均使用該模型。

圖2 驗證模型Fig．2 Test model

John等［1］開展了動荷載作用下含復(fù)合型裂紋混凝土三點彎梁的破壞試驗，得到含不同裂紋位置的三點彎梁破壞模式與破壞路徑。為了驗證本文模型和算法應(yīng)用于模擬動載作用下復(fù)合型裂紋擴(kuò)展路徑的可靠性，采用與文獻(xiàn)［1］相同工況進(jìn)行模擬。模型相關(guān)尺寸如圖4所示，其中L＝0．063m。材料參數(shù)與上文一致。近場動力學(xué)模擬中物質(zhì)點離散間距Δx＝4mm，時間步長取5×10－7s，s0＝1．02×10－4（本文臨界伸長率均取s0＝ft／E）。與試驗工況一致，梁上側(cè)中點受集中動荷載P作用，加載速率為4×107N／s。

圖5為本文模擬得到的裂紋起裂和擴(kuò)展路徑?？梢钥闯?，裂紋從130μs起裂，至173μs整體破壞。本文所得裂紋起裂角為60．66°（與水平方向夾角），與John等［1］試驗觀測（60°）結(jié)果吻合較好，如圖5（b）所示。裂紋貫穿時，起裂點與裂紋終點的連線與水平面的夾角為44．69°，如圖5（e）所示，與圖5（f）試驗結(jié)果［2］及圖5（g）中擴(kuò)展有限元模擬結(jié)果［4］均吻合較好。結(jié)果表明，應(yīng)用本文的粒子類模型和算法能較好地模擬動載作用下復(fù)合型裂紋擴(kuò)展全過程。

3．2 初始裂紋位置的影響

圖3 三點彎梁撓度Fig．3 Deflection of three－point bending beam

圖4 三點彎梁動載模型（單位：mm）Fig．4 Three－point bending beam model under dynamic load（unit：mm）

為研究裂紋初始位置對含復(fù)合型裂紋三點彎梁破壞模式及其承載能力的影響，取含垂直裂紋混凝土梁參數(shù)與John等［1］的試驗一致，如圖4所示，變化初始裂紋位置分別取L／s＝0．0625，0．1172，0．1406，0．1484，0．25和0．5（s為支座間距），對應(yīng)的裂紋擴(kuò)展路徑如圖6所示，均與John等［1］的試驗結(jié)果吻合較好。

可以看出，隨著初始裂紋位置的變化，三點彎梁的破壞主要有兩種模式。當(dāng)裂紋在支座附近時，梁中心產(chǎn)生新裂紋并擴(kuò)展，初始邊裂紋不擴(kuò)展；當(dāng)初始裂紋離開支座一定距離時（考慮單邊情況，L／s約為0．1172～0．5，單裂紋在梁的另一側(cè)時結(jié)果對稱），沿初始裂紋裂尖向加載點附近擴(kuò)展。

圖7為含不同位置初始裂紋混凝土梁的動力破壞時間比較?？梢钥闯?，當(dāng)初始裂紋趨于兩端的支座附近時，由于要在跨中新形成裂紋并沿新裂紋裂尖擴(kuò)展，梁的承載能力較高。當(dāng)初始裂紋離開支座一定距離，偏向跨中加載位置時，沿初始裂紋裂尖起裂，破壞時間隨著裂紋靠近梁跨中而提前，表明梁的承載能力較低，與實際情況吻合。L／s＝0．1484～0．25時，梁的承載能力下降明顯；L／s＝0．25～0．5時，梁的承載能力變化不明顯，但整體承載能力非常低，在0．5時承載力最低，此時直接由裂紋垂直向上方加載點快速擴(kuò)展，與實際情況相符。

圖5 裂紋擴(kuò)展過程Fig．5 Crack propagation process

3．3 初始裂紋長度和方向的影響

工程中常見含不同長度和不同方向的初始裂紋，影響梁的破壞過程和承載能力。本節(jié)對含不同初始長度和不同初始傾角的裂紋進(jìn)行分組模擬和分析，得到其擴(kuò)展路徑、裂紋起裂與完全破壞時間。

為提高計算效率，三點彎梁取長為0．8m，高為0．2m，下邊界存在預(yù)置裂紋，裂紋初始長度為l，均勻離散間距 Δx＝2mm。L／s＝0．2143，0．3571，l／h＝0．1，0．2，0．3（h 為梁高），α ＝30°，60°，90°，120°，150°（α為裂紋方向與水平向左方向的夾角），其余參數(shù)均與3．2節(jié)一致。

圖8為L／s＝0．3571，l／h＝0．3，α＝30°，60°，90°，120°，150°時的裂紋擴(kuò)展路徑。其他情況下的裂紋擴(kuò)展路徑與該圖一致?？梢钥闯觯瑒虞d作用下初始裂紋的擴(kuò)展均由裂尖開始，向加載點附近擴(kuò)展。裂紋起裂角約為60°～70°，最后的破壞路徑與水平方向夾角約為45°～57°。

圖6 含不同裂紋位置的裂紋破壞模式Fig．6 Failure mode with different positions of crack

表1為裂紋位置L／s＝0．2143和0．3571兩種工況下，含單一初始邊裂紋的混凝土梁的裂尖起裂時間以及結(jié)構(gòu)破壞時間（從開始加載至最后裂紋失穩(wěn)擴(kuò)展至上邊界的總時間）隨初始裂紋長度與角度的變化。由表1可知，無論初始裂紋位置如何，隨著初始裂紋傾角的增大，起裂時間均先減小后增大（梁承載能力先降低后提升）。

圖7 裂紋位置對破壞時間的影響Fig．7 Influence of crack location on failure time

圖8 含缺陷三點彎梁的破壞模式Fig．8 Failure modes of notched three－point bending beam

表1 三點彎梁起裂時間與破壞時間Tab．1 Crack failure and failure time of three－point bending beam

分析模擬幾種工況的具體數(shù)據(jù)可知，當(dāng)初始裂紋位置和長度給定而初始裂紋方向改變時，總是當(dāng)α＝120°時裂尖最先起裂，或與此時該裂尖最靠近動力加載點有關(guān)；而三點彎梁完全破壞（裂紋快速失穩(wěn)擴(kuò)展至上邊界）最快的情況總是對應(yīng)于α＝90°時，說明雖然α＝120°情況裂尖最先開始起裂，但α＝90°情況裂紋擴(kuò)展更快。

此外，初始裂紋方向?qū)α鸭y擴(kuò)展起裂角和擴(kuò)展路徑也有影響。裂紋擴(kuò)展方向均從裂尖指向加載點附近，起裂角為60°～70°，破壞路徑與水平方向夾角為45°～57°；當(dāng)初始裂紋偏向其所在梁一側(cè)的支座時，承載能力明顯高于偏向于跨中一側(cè)的情況。

裂紋位置對擴(kuò)展過程的影響與3．2節(jié)結(jié)論一致，在各種給定初始長度和傾角的復(fù)合型裂紋情況下，當(dāng)L／s增大，即初始裂紋位置更靠近跨中時，裂紋起裂時間和結(jié)構(gòu)完全破壞時間均明顯加快。

初始裂紋越長，起裂時間與破壞時間越短，表明梁的承載能力越差，符合實際情況。

4 結(jié) 論

（1）本文在常規(guī)近場動力學(xué)微極模型基礎(chǔ)上，引入反映物質(zhì)點間長程力尺寸效應(yīng)的核函數(shù)修正項以提高計算精度，并構(gòu)建相應(yīng)粒子系統(tǒng)動力算法，通過模擬動載作用下含復(fù)合型裂紋三點彎梁的破壞過程，驗證了本文模型和算法的適用性。

（2）通過模擬含不同位置復(fù)合型裂紋三點彎梁的動力破壞過程可知，三點彎梁中復(fù)合型裂紋的擴(kuò)展主要有兩種典型的模式。當(dāng)初始裂紋位置靠近支座時，梁跨中產(chǎn)生新裂紋并沿新生裂紋裂尖起裂和擴(kuò)展；當(dāng)初始裂紋離開支座一定距離（單側(cè)L／s約為0．1172～0．5）時，沿初始裂紋尖端起裂和擴(kuò)展。此外，沿邊裂紋裂尖擴(kuò)展時，梁的承載力隨著L／s的增大而顯著減小，在L／s＝0．5時最小。

（3）初始裂紋越長，起裂時間越早，梁的承載能力越低。初始裂紋方向主要影響裂紋擴(kuò)展的起裂角和擴(kuò)展路徑，其起裂角為60°～70°，破壞路徑與水平方向夾角為45°～57°；當(dāng)初始裂紋偏向其所在梁一側(cè)的支座時，其承載能力明顯高于裂紋偏向跨中一側(cè)的情況。以上邊界中點受集中動荷載、下邊界左側(cè)含初始裂紋的三點彎梁為例，初始裂紋與水平向左方向夾角為120°時，裂尖最早起裂，但破壞最快的則總是在初始裂紋豎直的情況下。