謝 挺，劉 剛，高旭東

(1.上海衛(wèi)星工程研究所，上海 201109； 2. 上海航天控制技術(shù)研究所， 上海 201109)

0 引言

一般來說，工程上實(shí)用的甚低軌道高度約為300～450 km。甚低軌道衛(wèi)星的主要特點(diǎn)為：1)實(shí)現(xiàn)高分辨率對地觀測，對遙感儀器而言，選擇更低的軌道，可有效提高地面圖像分辨率，獲取更好的觀測效果；2)有效降低發(fā)射成本，在運(yùn)載能力相同的情況下，采用的軌道更低，耗費(fèi)較低；3)甚低軌道上受到的氣動(dòng)力比傳統(tǒng)低軌衛(wèi)星高，大氣密度為10-12～10-10kg/m3，對軌道高度有較大影響。故需要設(shè)計(jì)合理的軌道維持方案，對軌道高度進(jìn)行頻繁控制，實(shí)現(xiàn)甚低軌道的長期穩(wěn)定運(yùn)行[1]。

從工程實(shí)現(xiàn)的角度來看，甚低軌道衛(wèi)星主要運(yùn)行在近圓軌道上，因此可直接根據(jù)二體問題中的航天器軌道動(dòng)力學(xué)方程[2-3]，得到低軌近圓軌道高度變化的模型及衛(wèi)星變軌時(shí)由軌道參數(shù)變化量到軌道控制量之間的簡化計(jì)算公式。目前對于甚低軌道的軌道控制方式主要有氣動(dòng)力控制和噴氣主動(dòng)控制[4]。由于甚低軌道大氣阻力影響明顯，需要頻繁進(jìn)行軌道控制才能維持一定的軌道高度，因此采用氣動(dòng)力控制能有效減少能源消耗。但由于衛(wèi)星構(gòu)型等因素的影響，氣動(dòng)力軌道控制通常只能應(yīng)用于軌道高度降低[5-7]，如果要抬高軌道高度，仍需要采用噴氣主動(dòng)控制。噴氣主動(dòng)控制是一種沖量式的變軌方式，傳統(tǒng)方法通常將衛(wèi)星和軌道的某些參數(shù)作為優(yōu)化變量，構(gòu)建一個(gè)開環(huán)優(yōu)化問題進(jìn)行設(shè)計(jì)[8-9]。對于甚低軌道衛(wèi)星，由于大氣阻力影響較大，衛(wèi)星需要頻繁進(jìn)行軌道高度抬升，攜帶的燃料較多，導(dǎo)致衛(wèi)星壽命期內(nèi)整星質(zhì)量和推力器推力變化較大。此外，目前部分衛(wèi)星的軌道和姿態(tài)控制采用同一套推力器，推力器工作時(shí)衛(wèi)星姿態(tài)和軌道變化相互耦合，且該耦合作用存在較大的不確定性。再考慮到甚低軌道動(dòng)力學(xué)模型誤差等因素的影響，采用傳統(tǒng)的開環(huán)噴氣控制很難滿足現(xiàn)有任務(wù)提出的控制精度要求。因此，有必要基于現(xiàn)有的技術(shù)條件，在傳統(tǒng)開環(huán)軌道控制算法基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)一種簡單實(shí)用的閉環(huán)軌道控制方法，實(shí)現(xiàn)甚低軌道的長期穩(wěn)定運(yùn)行。

本文以甚低軌道衛(wèi)星為研究對象，假定衛(wèi)星運(yùn)行于軌道高度約390 km的近圓軌道上。重點(diǎn)分析了大氣攝動(dòng)引起的軌道高度和偏心率的變化規(guī)律，設(shè)計(jì)了一種自主軌道維持方法，將傳統(tǒng)的開環(huán)、閉環(huán)控制增益校正相結(jié)合，能顯著提高軌控算法的魯棒性，有效抑制工程實(shí)際中因衛(wèi)星質(zhì)量變化、推力器推力變化及姿軌控耦合作用等不確定因素對軌控效果的影響。該方法也實(shí)現(xiàn)了在軌自主校正軌控增益及高精度軌道的維持控制。

1 軌道攝動(dòng)特性分析

衛(wèi)星軌道的攝動(dòng)力主要包括：地球形狀攝動(dòng)力；大氣阻力攝動(dòng)力；日、月攝動(dòng)力；太陽光壓攝動(dòng)力；地磁攝動(dòng)力；潮汐攝動(dòng)力等。對于甚低軌道衛(wèi)星，大氣阻力攝動(dòng)力相比日、月攝動(dòng)力，以及光壓攝動(dòng)力等高1～2個(gè)數(shù)量級[10]。因此，大氣阻力攝動(dòng)力是決定甚低軌道壽命的主要因素。旋轉(zhuǎn)大氣阻尼加速度的一般表達(dá)式為

(1)

式中：CD為阻力系數(shù)；S/m為衛(wèi)星面質(zhì)比；ρ為衛(wèi)星所在空間的大氣密度；V為衛(wèi)星相對大氣的速度矢量，V=v-va，v和va分別為衛(wèi)星和大氣相對地球質(zhì)心的速度矢量。在200 km以上，通常令大氣旋轉(zhuǎn)角速度等于地球自轉(zhuǎn)角速度ne。

將式(1)分解成切向、主法向和次法向的3個(gè)分量，并略去高階小量，得到3個(gè)大氣阻力攝動(dòng)加速度分量為

(2)

將式(2)代入高斯型攝動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程，僅考慮軌道高度、軌道傾角和偏心率的變化，有

(3)

由式(3)可看出，大氣阻力攝動(dòng)使軌道高度降低，軌道傾角及偏心率減小，即軌道逐漸變小變圓，軌道能量耗散。以本文假定的軌道高度390 km為例，取面質(zhì)比S/m=0.005，大氣密度ρ=1.82×10-11kg/m3，阻力系數(shù)CD=2.2，可得軌道衰減Δa=897 m/d。

考慮軌道高度由h1=390 km(對應(yīng)軌道角速度n1)降低為h2=200 km(對應(yīng)軌道角速度n2)，引起的軌道傾角的變化如下：

(4)

因此，對于甚低近圓軌道衛(wèi)星，阻力攝動(dòng)對軌道傾角、偏心率的影響非常小，主要考慮軌道高度的衰減。軌道衰減速度與大氣密度呈正相關(guān)，在衛(wèi)星軌道參數(shù)、面質(zhì)比已知的情況下，理論上太陽活動(dòng)峰年軌道衰減速度是活動(dòng)平年的3～5倍。

2 自主軌道維持方法

自主軌道維持方法為在衛(wèi)星軌道的遠(yuǎn)地點(diǎn)(平近點(diǎn)角M=180°處)實(shí)施軌道控制，抬高軌道高度?？刂破魉惴òㄩ_環(huán)軌控和軌控增益自適應(yīng)調(diào)整，其中開環(huán)軌控根據(jù)先驗(yàn)信息建模計(jì)算每次軌控量，當(dāng)軌控精度不滿足要求時(shí)，可根據(jù)需要通過增益自適應(yīng)調(diào)制算法計(jì)算軌控增益Kc，提高軌控精度。

2.1 自主軌道維持算法設(shè)計(jì)

自主軌道維持控制器算法包括開環(huán)軌控和閉環(huán)軌控增益調(diào)整，全部由星上自主完成。控制流程如圖1、2所示。

圖1 星上自主開環(huán)軌控流程Fig.1 Orbit control procedure

圖2 增益校正流程Fig.2 Control gain correction procedure

對于圓軌道衛(wèi)星，線速度和軌道半徑滿足

(5)

式中：a為衛(wèi)星半長軸；v為衛(wèi)星線速度；μ為地球引力常數(shù)。此處將橢圓軌道近似為圓軌道，所以分母中的半徑r用半長軸a近似代替。衛(wèi)星機(jī)械能公式為

(6)

式中：h2為衛(wèi)星單位角動(dòng)量的平方，h2=aμ；mt為衛(wèi)星質(zhì)量。

假設(shè)衛(wèi)星初始軌道半長軸為a0，t時(shí)間后，由于大氣阻力影響，最終軌道半長軸衰減至at，有

R=a0-at>0

(7)

衰減能量為

(8)

設(shè)每次軌控后，需要的軌道半長軸變化量為2Rc，對應(yīng)軌控能量為

(9)

此外，由于每次軌控產(chǎn)生的速度增量很小，可將衛(wèi)星軌控期間速度近似視為定值，則衛(wèi)星軌控時(shí)長T滿足

ΔM=FvT

(10)

因此，軌控時(shí)對應(yīng)的半長軸增量與軌控時(shí)長T之間的關(guān)系為

(11)

衛(wèi)星壽命期內(nèi)，隨著軌控次數(shù)增多，衛(wèi)星攜帶燃料逐漸減少，衛(wèi)星質(zhì)量也逐漸減少，衛(wèi)星燃料消耗量與衛(wèi)星速度增量關(guān)系表達(dá)式為

(12)

式中：Δm為增量；w為推力器比沖(噴嘴噴出氣體的速度)，對于單組元，一般有w=2 000 m/s。

每次軌控前，衛(wèi)星剩余質(zhì)量為

(13)

式中：m0為衛(wèi)星初始質(zhì)量。

通常情況下低軌衛(wèi)星軌道為近圓軌道，需要將軌道偏心率控制在一定范圍內(nèi)。如果衛(wèi)星在遠(yuǎn)地點(diǎn)進(jìn)行軌控，則軌道偏心率會(huì)減小，在非遠(yuǎn)地點(diǎn)噴氣，則有可能造成偏心率升高，其中對偏心率影響最惡劣的情況為在近地點(diǎn)進(jìn)行噴氣。因此，這里假設(shè)任務(wù)要求偏心率不能超過0.002 5。如果衛(wèi)星初始偏心率為0，任意位置均為近地點(diǎn)，以最大軌控量進(jìn)行變軌(10 km)，經(jīng)過變軌后，衛(wèi)星遠(yuǎn)地點(diǎn)變?yōu)镻t=a+10 000=6 771 km，近地點(diǎn)At=a=6 761 km，衛(wèi)星偏心率變?yōu)?/p>

(14)

也就是說，最大軌控量(10 km)對應(yīng)偏心率改變?yōu)?.000 7，對于有一定初始偏心率的軌道(偏心率大于0.001 5)，在遠(yuǎn)地點(diǎn)執(zhí)行軌控，有利于偏心率的減??；如果初始軌道偏心率小于0.001 5，則遠(yuǎn)地點(diǎn)不再準(zhǔn)確，可在任意真近點(diǎn)角進(jìn)行軌控，即使在近地點(diǎn)執(zhí)行軌控，疊加上0.000 7的軌控效果，衛(wèi)星最大偏心率不大于0.002 2，可滿足近圓軌道偏心率不大于0.002 5的要求。

2.2 軌控增益自校正算法設(shè)計(jì)

軌控推力器推力大小(儲箱壓力變化造成)和衛(wèi)星質(zhì)量會(huì)隨衛(wèi)星在軌時(shí)間的增加而逐漸變小。此外，由于軌控期間姿態(tài)依靠噴氣控制來維持穩(wěn)定，如果姿控推力器和軌控推力器安裝在衛(wèi)星同一象限，會(huì)對軌控效果產(chǎn)生較大影響，且該影響與軌控時(shí)間有關(guān)。上述變化主要影響噴氣時(shí)長和半長軸改變量之間的比例關(guān)系，故可將這些變化近似表示成增益不確定性的形式，簡化算法設(shè)計(jì)。

根據(jù)每次達(dá)到軌控目標(biāo)需要進(jìn)行軌控次數(shù)的多少，可通過改變控制增益或加入控制增量來計(jì)算自適應(yīng)調(diào)整量，即單脈沖校正和多脈沖校正法。

1) 單脈沖校正法。該方法適用于衛(wèi)星初期噴氣推力較大，或半長軸調(diào)整量較小，一次軌控噴氣即可實(shí)現(xiàn)半長軸調(diào)整的情況。實(shí)際的軌道半長軸變化量Rt和T之間應(yīng)滿足

(15)

式中：Kt為待求增益，設(shè)Kc為其估計(jì)值。取Rt與預(yù)計(jì)半長軸增量Rc差的平方作為性能指標(biāo)，即

(16)

為提高軌控精度，可在每次軌控后，于當(dāng)前比例增益Kc的基礎(chǔ)上增加ΔKc。為使ER最小，用ER對ΔKc求偏導(dǎo)，并令其等于零，即

(17)

(18)

故

(19)

設(shè)第k+1次的軌控噴氣時(shí)長為T(k+1)，Rc(k+1)為第k+1次軌控的目標(biāo)半長軸改變量，Rt(k)為第k次軌控的實(shí)際半長軸改變量，則第k+1次軌控的控制律為

(20)

Kc(k+1)=Kc(k)+ΔKc(k)

(21)

(22)

若軌道參數(shù)、質(zhì)量和噴氣推力中存在隨時(shí)間變化的量，為了防止增益估計(jì)值出現(xiàn)大幅振蕩，增益改變量需要乘以一個(gè)系數(shù)來改變增益趨近速度，有

(23)

2) 多脈沖校正法。該方法適用于衛(wèi)星任務(wù)后期噴氣推力不足，半長軸偏離較大，需要多次軌控實(shí)現(xiàn)半長軸調(diào)整的情況。

設(shè)Rc(k)為第k次軌控的目標(biāo)半長軸改變量，Tmax為單次軌控時(shí)間長度上限，Rt(k)為第k次軌控的實(shí)際半長軸改變量，T(k)為第k次的軌控時(shí)間，Kc(k)為第k次軌控的修正量，則而第k次軌控時(shí)間滿足

(24)

第k次軌控多噴的噴氣時(shí)間修正值為

(25)

令

(26)

則第k+1次噴氣時(shí)間可通過式(27)、(28)計(jì)算：

(27)

(28)

此處ΔKc(k)可乘以一個(gè)系數(shù)來調(diào)整收斂速度，有

(29)

式中：0<α<1。

通常情況下Rc(k)直接取目標(biāo)軌道半長軸和當(dāng)前軌道半長軸的差。如果Kc(k)與真實(shí)值的偏差較大，即Rc(k)較小，則單次軌控實(shí)際產(chǎn)生的Rt(k)較大，可能因ΔKc(k)過大導(dǎo)致Kc(k+1)<0，進(jìn)而導(dǎo)致輸出的軌控時(shí)間T(k+1)<0，產(chǎn)生無意義結(jié)果。為防止這種現(xiàn)象出現(xiàn)，此處對Kc(k+1)進(jìn)行如下處理：

(30)

式中：0<β<1。設(shè)計(jì)完成自主軌控策略后，需要根據(jù)任務(wù)要求分析軌道控制的頻次及每次軌控持續(xù)時(shí)間的范圍，為其他分系統(tǒng)設(shè)計(jì)提供合理的輸入條件。

2.3 軌道維持頻次分析

首先對相鄰2次軌控的間隔時(shí)間，即衛(wèi)星自主軌控的頻次進(jìn)行分析。太陽活動(dòng)峰年衛(wèi)星軌道高度下降速度為897 m/d，太陽活動(dòng)平年軌道下降速度為179 m/d。

工況1衛(wèi)星質(zhì)量為4 000 kg，采用4推力器進(jìn)行軌控，每臺推力器推力為12 N，每次軌控從Δa=-5 km控制到Δa=5 km，即每次抬高軌道10 km，則衛(wèi)星平年2次軌控的時(shí)間間隔為10 000/179≈55.9 d，該值可視為理論上衛(wèi)星2次軌控間隔時(shí)間的最大值。

工況2衛(wèi)星壽命末期，質(zhì)量為3 000 kg，采用2臺推力器進(jìn)行軌控，每臺推力器推力為2 N，每次軌控只能從Δa=-1 km控制到Δa=1 km，即每次抬高軌道2 km，則衛(wèi)星峰年2次軌控的時(shí)間間隔為2 000/897≈2.2 d，該值可視為理論上衛(wèi)星2次軌控間隔時(shí)間的最小值。故衛(wèi)星相鄰2次軌控的間隔時(shí)間為2.2～55.9 d。

2.4 軌道維持控制時(shí)長分析

考慮衛(wèi)星每次軌控的噴氣時(shí)間，根據(jù)工程實(shí)際要求，分3種進(jìn)行討論。

1) 設(shè)任務(wù)初期軌控推力為48 N，高度改變量為10 km，任務(wù)末期軌控推力為4 N，軌道高度改變量為2 km。該情況的2個(gè)邊界狀態(tài)與軌控頻次分析中的2個(gè)工況一致。單次軌控噴氣時(shí)間為

(31)

經(jīng)過任務(wù)描述可發(fā)現(xiàn)，任務(wù)選擇的軌道高度改變量與衛(wèi)星質(zhì)量和推力器輸出有關(guān)。如果Rc連續(xù)變化，則在一定范圍內(nèi)，Rc、mt和F間可假設(shè)存在一定的線性關(guān)系，有

Rc=k1mt+k2F

(32)

通過工況1和工況2的設(shè)定，計(jì)算得到k1=0.2,k2=87.3。同樣，mt和F之間也存在一定線性關(guān)系，代入2種工況可得

mt=17F+3 030

(33)

則單次軌控噴氣時(shí)間變?yōu)?/p>

[0.2(17F+3 030)+87.3F]=

(34)

令?T/?F=0，可得F=34.5 N，取a=6 761 km，對應(yīng)線速度為v=7 672 m/s，對應(yīng)的噴氣時(shí)間約為450 s，取兩個(gè)邊界值F=48 N和F=4 N，可得噴氣時(shí)間約為456 s和861 s，所以F=34.5 N對應(yīng)的是噴氣時(shí)長最小值，衛(wèi)星軌道高度保持控制的最大噴氣時(shí)長為861 s，最小噴氣時(shí)長為450 s。F和T之間的關(guān)系如圖3所示。

圖3 F和T之間的關(guān)系(情況1)Fig.3 Relationship between F and T for case 1

2) 設(shè)任務(wù)初期軌控推力為48 N，末期軌控推力為4 N，軌道高度改變量均為10 km。該情況下推力F和衛(wèi)星質(zhì)量mt之間仍滿足式(33)所示的關(guān)系。將噴氣時(shí)長T的計(jì)算式(31)代入式(33)，消去mt可得

(35)

F和T之間的關(guān)系如圖4所示。

圖4 F和T之間的關(guān)系(情況2)Fig.4 Relationship between F and T for case 2

噴氣時(shí)長最大值約為4 446 s，最小值約為460 s。

3) 設(shè)任務(wù)初期軌控推力為48 N，末期軌控推力為4 N，軌道高度改變量均為2 km

該情況下F和T之間滿足式(38)，其關(guān)系如圖5所示。

圖5 F和T之間的關(guān)系(情況3)Fig.5 Relationship between F and T for case 3

噴氣時(shí)長最大值約為889 s，最小值約為92 s。

3 仿真結(jié)果

主要仿真參數(shù)如下。

1) 衛(wèi)星軌道高度：390 km。

2) 衛(wèi)星軌道初始偏心率：0.001 2。

3) 衛(wèi)星質(zhì)量：4 000 kg(單脈沖校正仿真)，3 000 kg(多脈沖校正仿真)。

4) 最大軌控推力大?。?4 N(單脈沖校正仿真)，4 N(多脈沖校正仿真)。

5) 最大姿控推力大小：6 N(單脈沖校正仿真)，2 N(多脈沖校正仿真)。

6) 半長軸調(diào)整閾值：2 000 m。

7) 單次軌控時(shí)間上限：600 s。

8) 推力偏差：20%。

9) 質(zhì)量偏差：20%。

10) 遠(yuǎn)地點(diǎn)計(jì)算偏差：10°。

為了突出本文所設(shè)計(jì)算法的優(yōu)勢，首先對目前星上普遍采用的傳統(tǒng)的無軌控增益校正算法進(jìn)行了仿真，如圖6所示。單脈沖增益校正方法的仿真結(jié)果如圖7所示，為了減少仿真時(shí)間，增加軌控頻次，模型中加大了大氣干擾力的量級，即加快了軌道高度降低的速度。在采用無軌控增益校正算法時(shí)，軌控誤差較大，誤差趨于穩(wěn)定后接近500 m。采用軌控增益校正算法后，第一次軌控從-4 km的半長軸偏差開始，結(jié)束后軌控誤差非常大，超過2 km，控制增益修正律迅速修正了軌道控制參數(shù)，使后面的軌控誤差迅速減小(<30 m)。此外，當(dāng)偏心率較大時(shí)，每次軌控會(huì)導(dǎo)致偏心率變小，偏心率一直維持在一個(gè)較小的范圍內(nèi)(<0.000 3)，說明軌道高度維持控制不會(huì)改變軌道的近圓特性。

圖6 無軌控增益校正的仿真結(jié)果Fig.6 Simulation results without control gain self-scheduling

圖7 單脈沖增益校正的仿真結(jié)果Fig.7 Simulation results with control gain self-scheduling for single pulse mode

多脈沖增益校正方法的仿真結(jié)果如圖8所示，可以看出軌控增益在前兩次軌控后被迅速修正，之后的幾次軌道控制都實(shí)現(xiàn)了較高的精度(<30 m)。

圖8 多脈沖增益校正的仿真結(jié)果Fig.8 Simulation results with control gain self-scheduling for multi-pulse mode

4 結(jié)論

本文分析了甚低軌道衛(wèi)星的攝動(dòng)特性，設(shè)計(jì)了自主軌道維持策略及軌控增益校正算法，可在衛(wèi)星質(zhì)量偏差、推力器推力偏差等不確定的情況下依然保持較高的軌道維持控制精度。仿真表明：在同時(shí)考慮較大衛(wèi)星質(zhì)量和推力器偏差，較大初始軌道偏心率和軌控位置偏差的情況下，均能較好地完成自主軌道維持任務(wù)，軌控精度優(yōu)于30 m，偏心率優(yōu)于0.000 3。本文所提出的算法具有較強(qiáng)的工程應(yīng)用價(jià)值，計(jì)算過程簡單，運(yùn)算量小，可由目前的星載計(jì)算機(jī)在軌實(shí)現(xiàn)，滿足未來甚低軌道衛(wèi)星長期穩(wěn)定運(yùn)行需求。