“雞兔同籠”問題是我國民間廣為流傳的古算題，最早出現(xiàn)在公元4～5世紀的《孫子算經(jīng)》，隨著歷史的發(fā)展，“雞兔同籠”從問題的敘述到算法都經(jīng)歷了不同形式的變化，但它一直是人們喜聞樂見的趣題，蘊含著豐富的教育價值。國內外學者對此問題也非常重視，如首都師范大學郜舒竹教授對《孫子算經(jīng)》、《算法統(tǒng)宗》以及《鏡花緣》中出現(xiàn)的“雞兔同籠”問題的各種算法進行了梳理，并探討了產(chǎn)生這些算法的思想基礎。美國數(shù)學教育家波利亞在介紹“雞兔同籠”問題時寫道：“下面這道智力測驗題……”以此問題考察人們的智力水平。

自新課程改革以來，我國不同版本的小學數(shù)學教材都把“雞兔同籠”問題納入其中，充分發(fā)揮其強大的教育功能。那么各版本教材又是如何編排的呢？下面是筆者對新人教版（2014年）、舊人教版（2009年）、張?zhí)煨⒅骶幍恼憬贪妫?014年）、蘇教版（2014年）、北師大版（2014年）、青島版（2015年）、滬教版（2015年）[1]滬教版為五年制教材。這七個版本教材進行的差異比較和分析，以期為優(yōu)化“雞兔同籠”的數(shù)學教學提供可行的建議。

一、教學內容的編排順序存在明顯差異

從教材的編排順序上看，《雞兔同籠》這一教學內容被安排到了不同年級進行教學。從表1中可以看出，該內容所涉及的教學對象，年級最低的是二年級學生，最高的是六年級學生，年級跨度較大。究其原因，編排順序的差異或與編者想滲透的解決方法相關。

表1 各版本教材編排冊次分布情況

二、例題所滲透的解決方法呈現(xiàn)多樣性

各版本教材例題中所滲透的解決方法呈現(xiàn)出多樣性，如表2。

表2 各版本教材例題所滲透的解決方法

第一，不同版本教材的例題所要滲透的解決方法并不完全一致，呈現(xiàn)多樣性。如“列表法”“畫圖法”“假設法”“列方程”等。第二，“列方程”只出現(xiàn)在舊人教版教材的例題中，其他版本教材的例題都沒有出現(xiàn)此方法。第三，畫圖法、列表法、假設法互為結合補充，方法之間互相轉化，有助于幫助學生理解并解決問題。如蘇教版教材在滲透了“畫圖法與列表法”之后，繼而總結兩種方法的異同，引導學生積極主動地溝通兩種方法之間的聯(lián)系，從而找到解決問題的最優(yōu)方案。第四，“列表法”成為唯一相同的解決方法。雖然各版教材例題所要滲透的解決方法多種多樣，但列表法卻是各版教材所共同采用的解決方法。第五，雖同為“列表法”，實則各有側重。如新人教版偏重“一一枚舉”列表方法，浙教版重于“折半枚舉”列表方法，北師大版則呈現(xiàn)“一一枚舉”列表方法、“中間跳躍枚舉”列表法和“折半枚舉”列表法三種解決問題的列表方法。

三、解決方法存在顯著差異的緣由

為什么會導致各個版本在解決方法上存在這么多差異呢？把表1和表2合并為表3，個中緣由可見一斑。

表3 各版本教材編排冊數(shù)分布情況及解決方法

1.不同年級，面對不同的教學對象，所要滲透的解決方法不同。

例如“列方程”，在舊人教版教材中，《雞兔同籠》的教學內容被安排在了六上，教學對象為六年級學生，學生在五年級已經(jīng)熟練掌握了列方程解決問題的方法，因此在滲透了“列表法”“假設法”之后，教師可以順勢引導學生用“列方程”的方法解決問題，這樣會更符合學生的認知和學習規(guī)律。但新人教版教材中，就沒有“列方程”的方法，因為“雞兔同籠”的教學內容被安排到四下進行教學，教學對象為四年級學生，不具備“列方程”解決問題的能力，因此在教材中刪除了這一方法。

2.同個年級，面對不同的單元目標，所要滲透的解決方法不同。

同樣面對六年級學生，“蘇教版”和“青島版”沒有在例題中滲透“列方程”的方法。究其原因，主要由于這兩個版本教材的單元教學目標存在差異。在蘇教版教材中，該單元的教學目標有三個：第一，學生在解決實際問題中初步學會運用假設的策略、分析數(shù)量關系、確定解題思路，并有效地解決問題。第二，學生在解決實際問題過程中不斷反思，感受假設的策略對解決特定問題的價值，進一步發(fā)展分析、綜合和簡單的推理能力。第三，學生進一步積累解決問題的經(jīng)驗，增強解決問題的策略意識，獲得解決問題的成功經(jīng)驗，提高其學好數(shù)學的信心。畫圖法和列表法更容易獲得直觀的感受，有助于實現(xiàn)教學目標。青島版的教學目標則為“智慧廣場”的內容，結合生活情境，在運用一一列舉策略解決問題的過程中，發(fā)現(xiàn)規(guī)律并學會運用假設的策略解決問題，建立數(shù)學模型，用列表法和假設法更能實現(xiàn)這一目標。

四、針對不同水平層次的教學建議

對比分析這七個版本的教材后發(fā)現(xiàn)：“雞兔同籠”這道古算題適合于小學階段的任何一個年級，但教師在教學時，不能“一刀切”地使用同一種教學方式，而應該根據(jù)學生的具體學情，設計相應的教學方案。為此，筆者將1～6年級的教學對象，劃分為三個水平層次，并給出相應的教學建議。

1.畫圖感知思想方法，積累數(shù)學活動經(jīng)驗。

教學對象：第一水平（一、二年級學生）

教師可引導學生分層解決問題。問題1：雞和兔一起圈在一籠子里，其中有1只雞，2只兔。一共有幾個頭？一共有幾條腿？比較容易接受和理解的方法為：

（1）畫圖法：

（圖 1）

（2）列式法：

頭：1+2=3（個） 腳：2+4+4=10（條）

問題2：雞和兔一起圈在一籠子里，從上面數(shù)有5個頭，從下面數(shù)有16條腿。雞、兔各有幾只？針對這一問題，教師可以引導學生思考：問題1與問題2有什么不同？并進一步啟發(fā)：問題1中知道雞和兔的只數(shù)，求頭的個數(shù)和腿的條數(shù)；問題2中知道頭的個數(shù)和腿的條數(shù)，求雞和兔的只數(shù)。最后提出用畫圖法解決這個問題。

方法1

第一步，假設5個頭都是雞，那么腿就畫10條，還剩下6條腿，畫出如圖2；第二步，把剩下的6條腿添加到雞，每只雞添加2條，剛好添3次，得到4條腿的有3只，也就是兔有3只，另外2只就是雞，結果如圖3。

（圖 2）

（圖 3）

方法2

第一步，假設5個頭都是兔，那么腿就畫了20條，20-16=4，多了4條腿，如圖 4；第二步，把多的4條腿刪除，每個頭刪除2條腿，剛好刪2次，得到2條腿的有2只，也就是雞有2只，另外3只就是兔，如圖5。

（圖 4）

（圖 5）

2.列表法與假設法相整合，建立數(shù)學模型。

教學對象：第二水平（三、四年級學生）

教學建議：列表法、假設法

教學時，教師應精選例題，例如：雞兔同籠，有 8個頭，26條腿，雞、兔各有幾只？然后引導學生分別用列表法和假設法解決問題。

（1）列表法：先算有8只雞，這樣一共就有16條腿，顯然不對，再減去一只雞，加上一個兔，這樣一個一個地試，把結果列成表格，最后得出3只雞、5只兔。

（2）假設法：

方法1 假設8只都是雞，腿：8×2=16（條），少的腿：26-16=10（條）

方法2 假設8只都是兔，腿：8×4=32（條），多的腿：32-26=6（條）

溝通列表法與假設法的聯(lián)系，借助畫圖進行理解，發(fā)現(xiàn)假設法與列表法的思路其實是相通的。列表法中的第一種情況：8只雞，0只兔，就是假設“籠子里全是雞”的情況?！凹僭O8只全是雞，就有幾條腿”與問題中的“與26條相比少了幾條腿”分別可以用算式來表示：8×2=16（條），26-16=10（條）。繼續(xù)思考：少的 10條腿，應該添給幾只雞？為什么？這一過程也可以用算式來表示：4-2=2（條），10÷2=5（條）。教師可以利用畫圖法幫助學生理解。也可以用列表法幫學生分析，在此基礎上列出式子，用數(shù)學語言表達思想。

3.列表法與代數(shù)法相整合，初步感知代數(shù)思想。

教學對象：第三水平（五、六年級學生）

教學建議：列表法、代數(shù)法（列方程解決）

在列表法的表格中，假設兔子的只數(shù)為x只，追問：那么雞的只數(shù)應該怎么表示呢？受表格數(shù)據(jù)的影響，學生很容易想到應該用（8-x）只表示。然后根據(jù)表格所提供的數(shù)量關系：雞的總腿數(shù)+兔的總腿數(shù)=雞和兔的總腿數(shù)，用列方程的方式為 4x+2（8-x）=26，進而計算得到方程的解：x=5。同樣，也可以假設雞的只數(shù)為x只，那么兔子的只數(shù)就是（8-x）只，根據(jù)數(shù)量關系列出方程并解方程，得出答案。列表法較為直觀，能有效地幫助學生明確數(shù)量關系，在理解的基礎上順利列出方程，從而解決問題。