李青竹，李志寧，張英堂，范紅波

(陸軍工程大學(xué)車輛與電氣工程系，河北 石家莊 050003)

0 引言

磁異常探測(Magnetic Anomaly Detection，MAD)技術(shù)可以對地下或者水下小尺度磁性目標(biāo)進(jìn)行定位與識(shí)別[1]。相比常規(guī)磁矢量分量與總場強(qiáng)度，利用磁梯度張量(Magnetic Gradient Tensor，MGT)進(jìn)行磁異常探測，能提供目標(biāo)體更豐富的姿態(tài)信息，具有更高空間分辨率，且抗干擾能力強(qiáng)，能夠適應(yīng)較復(fù)雜的測量環(huán)境[2-3]。磁梯度張量探測具有廣闊應(yīng)用前景，如航空磁測與導(dǎo)航、礦產(chǎn)勘探與土壤黑色金屬搜索、探尋未爆彈、排雷、潛艇偵查或水下定位、反演識(shí)別等[4-5]。

直接測量磁場梯度本質(zhì)上難以實(shí)現(xiàn)，可將矢量磁傳感器陣列組合構(gòu)建張量系統(tǒng)，利用傳感器短距離基線磁矢量差近似估計(jì)磁標(biāo)勢二次偏微分，實(shí)現(xiàn)張量分量差分測量[6]。目前主要有超導(dǎo)效應(yīng)和磁通門法兩種類型[7-9]：前者采用超導(dǎo)量子干涉儀構(gòu)建，靈敏度極高但量程范圍較小，更適用于小范圍微觀工況如生物磁測、金屬無損探傷等，且成本高，系統(tǒng)安裝工藝與測量環(huán)境嚴(yán)格；后者利用磁通門傳感器陣列測量各正交方向的磁場分量讀數(shù)空間變化率，其成本更低且安裝要求簡單，利于批量生產(chǎn)制造。

目前研制的磁梯度張量系統(tǒng)主要有直角四面體型、正四面體型、十字形和三角形等結(jié)構(gòu)，在各自測量條件下均達(dá)到了較好的測量效果，但相同條件下不同結(jié)構(gòu)尋優(yōu)依據(jù)不明確，關(guān)于磁梯度張量系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分析與選型對比研究也鮮有報(bào)道。磁傳感器的配置結(jié)構(gòu)將直接影響張量的測量可行性及精度，必須優(yōu)化設(shè)計(jì)以減小其產(chǎn)生的結(jié)構(gòu)誤差[10]，確定并搭建最優(yōu)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)是磁梯度張量探測的基礎(chǔ)。本文針對此問題，提出了基于差分測量的磁梯度張量系統(tǒng)結(jié)構(gòu)尋優(yōu)方法。

1 磁梯度張量測量要素

磁梯度張量定義為磁場矢量三分量在各正交方向上的空間變化率[2]，共9個(gè)元素。若B表示磁場矢量，磁梯度張量矩陣G可表示為：

(1)

式(1)，中Bij(i,j=x,y,z)表示磁梯度張量分量，φm表示磁標(biāo)勢，Bx、By、Bz為磁矢量三分量。設(shè)環(huán)境為無源靜磁場，由麥克斯韋方程組知磁場旋度和散度為零，即·B=0，×B=0，為哈密頓算符，則：

(2)

故G對稱且無跡，式(1)中9個(gè)元素僅5個(gè)元素相互獨(dú)立，有Bxy=Byx、Bxz=Bzx、Byz=Bzy、Bzz=-Bxx-Byy。由式(1)知，磁梯度張量為磁標(biāo)勢φm的二次偏微分和磁場矢量的偏微分，無法直接測量，實(shí)際測量中利用不同位置的磁矢量場的差分代替偏微分近似得到磁梯度張量各分量，計(jì)算公式為：

(3)

式(3)中，ΔBi為兩相鄰矢量磁傳感器測得的磁場i分量的差，Δdj為兩磁傳感器j方向上的距離，定義為基線距離。

2 磁梯度張量系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分析

2.1 完整磁梯度張量系統(tǒng)及結(jié)構(gòu)誤差

磁梯度張量矩陣G的9個(gè)元素若均由差分計(jì)算得到，則完整的張量系統(tǒng)共需要18個(gè)單軸分量輸出。在空間建立笛卡爾坐標(biāo)系，規(guī)定x軸正向?yàn)闁|(E)，y軸正向?yàn)楸?N)，z軸正向朝上，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示，由6個(gè)矢量磁傳感器構(gòu)成，基線距離為d，整個(gè)系統(tǒng)共有18個(gè)單分量磁軸。

圖1 十八單軸磁梯度張量系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 The configuration of the 18-axle gradient tensor system

因G中九個(gè)分量中僅有五個(gè)是獨(dú)立的，因此，可以對張量系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化，使得由傳感器配置結(jié)構(gòu)引起的測量誤差最小且傳感器易于安裝和校正。根據(jù)式(3)，利用差分近似微分時(shí)，因忽略了泰勒級(jí)數(shù)的高階項(xiàng)，實(shí)測磁梯度張量值與理論值存在一定固有偏差，即結(jié)構(gòu)誤差，其則系統(tǒng)在結(jié)構(gòu)中心O點(diǎn)的理論二階張量結(jié)構(gòu)誤差矩陣為[9]：

(4)

由式(4)可知，張量系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)誤差主要由磁矢量的高階導(dǎo)數(shù)和基線距離決定，而隨著階數(shù)的增加，高階導(dǎo)數(shù)的量綱迅速衰減，因而結(jié)構(gòu)誤差在實(shí)際測量中可忽略不計(jì)，但在考慮安裝和測量方便條件下應(yīng)盡量選擇實(shí)際結(jié)構(gòu)誤差最小的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。

2.2 五種簡化結(jié)構(gòu)及張量測量矩陣

對十八單軸磁梯度張量系統(tǒng)進(jìn)行簡化設(shè)計(jì)，可變形為平面十字形、等邊三角形、正方形、直角四面體型和正四面體型等結(jié)構(gòu)形式，設(shè)d為基線距離，傳感器

標(biāo)號(hào)為i(i=1,2,3,4)，則各配置結(jié)構(gòu)示意圖如圖2。

設(shè)磁傳感器分量輸出Bpq(p=1,2,3,4;q=x,y,z)表示傳感器p在q方向上的磁場分量讀數(shù)，各結(jié)構(gòu)配置下測得中心O點(diǎn)張量矩陣表達(dá)式如下：

1)平面十字形結(jié)構(gòu)

(5)

2)直角四面體型結(jié)構(gòu)

(6)

3)等邊三角形結(jié)構(gòu)

(7)

4)正方形結(jié)構(gòu)

(8)

5)正四面體型結(jié)構(gòu)

(9)

圖2 五種簡化磁梯度張量系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.2 The configuration of 5 kinds of the gradient tensor system

由以上各式知，基于特定結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，十字形、三角形和正方形等平面結(jié)構(gòu)的張量測量矩陣有6個(gè)獨(dú)立分量，而直角四面體和正四面體型機(jī)構(gòu)的張量測量矩陣有9個(gè)獨(dú)立分量。

2.3 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)與分辨率

傳感器之間的基線距離為各種配置類型的張量系統(tǒng)尤為重要的結(jié)構(gòu)參數(shù)，在一定程度上直接決定了張量理論測量精度及張量系統(tǒng)探測距離。若希望測得磁性目標(biāo)的磁磁梯信息，則要求張量系統(tǒng)分辨率高于目標(biāo)體在該測量點(diǎn)產(chǎn)生的磁梯度張量值。若兩傳感器以測量點(diǎn)為中心對稱排列且基線距離為d，系統(tǒng)分辨率和基線距離與測量點(diǎn)磁場強(qiáng)度間關(guān)系可表示為：

(10)

式(10)中，κ表示張量分量測量分辨率，單位為nT/m；e為空間任意方向的單位矢量。分辨率與基線距離成正相關(guān)，但并不是說基線距離越小結(jié)構(gòu)誤差越小，還與目標(biāo)磁矩大小、磁傳感器精度和定位距離等有關(guān)[11]，因此需要綜合考慮傳感器分辨率、探測距離、被探測目標(biāo)體磁場大小和基線距離等參數(shù)進(jìn)行張量系統(tǒng)搭建。

3 單航線測量試驗(yàn)與結(jié)構(gòu)尋優(yōu)

由于背景地磁場梯度很小，磁性目標(biāo)探測時(shí)，測量得到的一定范圍內(nèi)磁梯度張量場可認(rèn)為僅由磁異常場產(chǎn)生。當(dāng)目標(biāo)距離測量點(diǎn)大于2.5倍的目標(biāo)長度時(shí)，磁性目標(biāo)可簡化為磁偶極子[12]，此時(shí)磁性目標(biāo)可由六個(gè)未知量描述，即磁偶極子的位置矢量r=(x,y,z)T和磁矩矢量m=(mx,my,mz)T。磁矩分量可由磁矩模和方向余弦表示，設(shè)磁矩模為M=|m|，磁偏角為D，磁傾角為I，則方向余弦為e=cosIcosD、f=cosIsinD、g=sinI，對應(yīng)的磁矩分量為mx=Me、my=Mf、mx=Mg。磁矩矢量為m的磁偶極子在距離其r處產(chǎn)生的磁場矢量和磁梯度張量的5個(gè)獨(dú)立分量可分別由式(11)、式(12)得到：

(11)

(12)

圖3 單航線磁偶極子磁梯度場測量試驗(yàn)示意圖Fig. 3 Single heading-line survey in magnetic dipole gradient field measurement schematic

由結(jié)果可知，推導(dǎo)的各結(jié)構(gòu)張量測量矩陣均能在一定精度范圍內(nèi)實(shí)現(xiàn)磁異常體全張量場測量，在相同場源與基線尺寸條件下，平面十字形和正方形結(jié)構(gòu)的測量精度最高，在±500 nT/m的張量分量值測量范圍內(nèi)RMSE控制在0.2 nT/m內(nèi)，且相比于等邊三角形、空間四面體型，結(jié)構(gòu)誤差引起的測量偏差小于其10倍以上。此外，平面十字形結(jié)構(gòu)簡單便于安裝，且方便繞結(jié)構(gòu)中心點(diǎn)Z軸旋轉(zhuǎn)測量較高效地進(jìn)行傳感器系統(tǒng)誤差(如非正交性、軸位偏差和靈敏度差等)和陣列間非對準(zhǔn)誤差的校準(zhǔn)作業(yè)[14]，更具實(shí)用性。

圖4 平面十字形磁梯度張量系統(tǒng)的張量分量測量值與理論值對比Fig.4 Comparison of the measured and theoretical values of the tensor components of the cross magnetic gradient tensor system

圖5 五種結(jié)構(gòu)的張量系統(tǒng)進(jìn)行單航線測量的張量分量偏差Fig.5 The tensor component deviation of single heading-line survey with tensor systems in five kinds of structures

4 結(jié)論

本文提出了基于差分測量的磁梯度張量系統(tǒng)結(jié)構(gòu)尋優(yōu)方法。根據(jù)差分磁梯度張量系統(tǒng)測量原理，該方法分析完整磁梯度張量系統(tǒng)結(jié)構(gòu)配置及結(jié)構(gòu)誤差，提出五種簡化配置結(jié)構(gòu)的張量系統(tǒng)設(shè)計(jì)概念并推導(dǎo)了張量測量矩陣及測量分辨率，對五種結(jié)構(gòu)的張量系統(tǒng)進(jìn)行相同基線尺寸下的單航線磁偶極子磁梯度張量場測量試驗(yàn)從而對系統(tǒng)結(jié)構(gòu)尋優(yōu)。仿真試驗(yàn)表明，該方法尋優(yōu)效果明顯，對同一測量目標(biāo)，相同基線尺寸及傳感器分辨率條件下，平面十字形和正方形磁梯度張量系統(tǒng)結(jié)構(gòu)誤差最小，其理論測量精度最高，且考慮到安裝與操作的便捷性及較易于進(jìn)行傳感器誤差參數(shù)校準(zhǔn)，平面十字形結(jié)構(gòu)則更適用于科研與工程實(shí)際，而三角形、正四面體和直角四面體型理論測量精度較低，其適用于有特殊結(jié)構(gòu)需求的載體場合，為張量磁測儀器的開發(fā)和應(yīng)用提供參考。