孫旋 熊鵬 張烈平 翟愷祺

摘 要： 針對(duì)潛艇在隱蔽攻擊中利用擴(kuò)展卡爾曼濾波對(duì)敵艦?zāi)繕?biāo)進(jìn)行跟蹤定位時(shí)存在濾波精度低、誤差大甚至出現(xiàn)發(fā)散的問(wèn)題，將無(wú)跡卡爾曼濾波（UKF）應(yīng)用在潛艇對(duì)敵艦的跟蹤定位中。假設(shè)敵艦運(yùn)行在CV模型下，由仿真實(shí)驗(yàn)的結(jié)果可以得出，在潛艇對(duì)敵艦?zāi)繕?biāo)的跟蹤定位中無(wú)跡卡爾曼濾波與擴(kuò)展卡爾曼濾波相比較，提高了其定位的精度并且解決了其發(fā)散的問(wèn)題。在仿真實(shí)驗(yàn)中，潛艇對(duì)敵艦?zāi)繕?biāo)跟蹤定位12 s后擴(kuò)展卡爾曼濾波出現(xiàn)了發(fā)散的問(wèn)題無(wú)法對(duì)敵艦?zāi)繕?biāo)進(jìn)行實(shí)時(shí)的跟蹤，但此時(shí)無(wú)跡卡爾曼濾波仍然可以實(shí)現(xiàn)對(duì)敵艦的跟蹤與定位。

關(guān)鍵詞： 潛艇； 隱蔽攻擊； 目標(biāo)跟蹤； 無(wú)跡卡爾曼濾波； 擴(kuò)展卡爾曼濾波； 定位精度

中圖分類號(hào)： TN820.4?34 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 1004?373X（2018）20?0132?05

Abstract： As there exist problems of low filtering precision， big filtering errors and even divergence when the extended Kalman filter （EKF） is used to track and locate the enemy warship target during the submarine′s stealthy attack， the unscented Kalman filter （UKF） is applied in the submarine′s tracking and positioning of the enemy warship. When the enemy warship is running under the CV model， the results of the simulation experiment show that， in comparison with the EKF， the UKF has higher positioning precision， and can resolve the divergence problem during the submarine′s tracking and positioning of the enemy warship target. During the simulation experiment， after 12 s of the submarine′s tracking and positioning of the enemy warship target， the divergence problem occurs for the EKF and the enemy warship target cannot be tracked in real time， but the UKF can still achieve the tracking and positioning of the enemy warship.

Keywords： submarine； stealthy attack； target tracking； UKF； EKF； positioning precision

0 引 言

由于海洋環(huán)境的復(fù)雜多變以及我國(guó)海邊日益嚴(yán)重的形式，潛艇對(duì)人們探索未知的海洋以及保護(hù)我國(guó)領(lǐng)土的完整和海洋周邊的權(quán)益發(fā)揮著越來(lái)越重要的作用。在潛艇對(duì)敵艦?zāi)繕?biāo)的打擊中主要分為三步：第一步是實(shí)現(xiàn)對(duì)敵艦?zāi)繕?biāo)的檢測(cè)；第二步是實(shí)現(xiàn)對(duì)敵艦?zāi)繕?biāo)的定位與跟蹤；第三步是在精確的定位下對(duì)敵艦?zāi)繕?biāo)實(shí)施打擊。在這三步中，第二步是潛艇實(shí)施隱蔽攻擊中的最重要的環(huán)節(jié)之一。在潛艇對(duì)敵艦?zāi)繕?biāo)的打擊中，快速精準(zhǔn)的定位是提高潛艇作戰(zhàn)效率最重要的方法。因此，如何實(shí)現(xiàn)潛艇對(duì)敵艦?zāi)繕?biāo)快速精準(zhǔn)的定位成為國(guó)內(nèi)外眾多專家研究的熱點(diǎn)。

在潛艇對(duì)敵艦?zāi)繕?biāo)的定位與跟蹤中，通常用到的方法有有源定位和純方位定位等方法。其中有源定位是利用潛艇自帶的有源設(shè)備來(lái)發(fā)射大功率信號(hào)實(shí)現(xiàn)的，因此很易被敵艦偵測(cè)到從而暴露自身，使?jié)撏ё陨硎艿綌撑灇缧缘拇驌簟＜兎轿荒繕?biāo)定位是利用目標(biāo)的有源輻射例如電磁波輻射、紅外輻射、聲波輻射、目標(biāo)對(duì)照射的散射和目標(biāo)拖放的干擾輻射等來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的定位與跟蹤。在現(xiàn)代化戰(zhàn)爭(zhēng)中，戰(zhàn)場(chǎng)環(huán)境復(fù)雜多變，尤其是潛艇在水下所面臨的環(huán)境更加復(fù)雜。而且在戰(zhàn)爭(zhēng)中存在敵方勢(shì)力的電磁波干擾，一般利用通信技術(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)定位的方法在現(xiàn)代化戰(zhàn)爭(zhēng)中并不太適用。在戰(zhàn)爭(zhēng)中測(cè)得的敵方艦艇的特征數(shù)據(jù)非常有限，而敵艦的方位參數(shù)幾乎成了唯一可靠的參數(shù)。因此，對(duì)應(yīng)用純方位信息實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)定位與跟蹤的研究具有非常重要的軍事意義[1]。

在潛艇利用方位信息對(duì)敵艦?zāi)繕?biāo)進(jìn)行定位與跟蹤時(shí)，由于測(cè)量設(shè)備的精度有限并且在測(cè)量時(shí)存在噪聲的干擾，使得直接測(cè)量的數(shù)據(jù)存在比較大的誤差，因此無(wú)法利用該數(shù)據(jù)信息對(duì)敵艦?zāi)繕?biāo)進(jìn)行精準(zhǔn)的打擊。為了提高潛艇對(duì)敵艦定位與跟蹤的精確度，提高潛艇在現(xiàn)代化作戰(zhàn)中的效率，人們利用了許多濾波的方法例如卡爾曼濾波、擴(kuò)展卡爾曼濾波（Extended Kalman Filter，EKF）和無(wú)跡卡爾曼濾波（Unscented Kalman Filter，UKF）等[2]。當(dāng)系統(tǒng)為線性且隨機(jī)變量服從高斯分布時(shí)，使用卡爾曼濾波可以獲得目標(biāo)狀態(tài)的最優(yōu)預(yù)測(cè)。但在實(shí)際中有許多系統(tǒng)是非線性的，針對(duì)非線性系統(tǒng)函數(shù)的濾波問(wèn)題，一般使用的方法有EKF和UKF。其中EKF是將非線性函數(shù)展開成Taylor級(jí)數(shù)，留下其展開式的一階項(xiàng)而省略其高階項(xiàng)，以實(shí)現(xiàn)非線性函數(shù)的近似線性化。這種通過(guò)省略Taylor級(jí)數(shù)高階項(xiàng)求得的近似線性化系統(tǒng)函數(shù)必然會(huì)產(chǎn)生誤差。在對(duì)系統(tǒng)方程和量測(cè)方程進(jìn)行近似線性化時(shí)，需要求解其雅克比矩陣，增加了該算法計(jì)算的復(fù)雜程度[3]。當(dāng)系統(tǒng)的函數(shù)具有較高的非線性度時(shí)，由于近似線性化產(chǎn)生的誤差使得濾波器的性能降低甚至出現(xiàn)了發(fā)散的狀況。針對(duì)EKF的缺點(diǎn)，人們提出了UKF。該算法的核心思想是：采用卡爾曼濾波的框架，對(duì)于一步預(yù)測(cè)方程，使用無(wú)跡變換來(lái)處理協(xié)方差和均值的非線性傳遞[4]。S.Julier等人提出了一種用于對(duì)非線性函數(shù)進(jìn)行濾波的新方法即UKF[5?6]。UKF是使用一組確定的Sigma點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)向量的概率密度函數(shù)進(jìn)行近似化，而不是對(duì)系統(tǒng)的非線性函數(shù)進(jìn)行近似線性化，因此不需要求解非線性函數(shù)的雅克比矩陣，這降低了該算法的復(fù)雜度使得其易于實(shí)現(xiàn)[7]。由于UKF沒(méi)有省略系統(tǒng)函數(shù)的高階項(xiàng)，故其提高了非線性分布統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算精度。

本文將UKF應(yīng)用于潛艇對(duì)敵艦?zāi)繕?biāo)的跟蹤與定位中，通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)可知，與EKF相比，UKF提高了潛艇對(duì)敵艦?zāi)繕?biāo)定位與跟蹤的精度而且解決了其發(fā)散的問(wèn)題。

1 潛艇對(duì)目標(biāo)定位的數(shù)學(xué)模型

1.1 系統(tǒng)的狀態(tài)方程

潛艇與目標(biāo)運(yùn)行在同一二維平面的直角坐標(biāo)系中，假設(shè)潛艇的初始位置為[（x0，y0）]并且潛艇的位置保持不變。假設(shè)目標(biāo)做勻速直線運(yùn)動(dòng)即在CV模型下運(yùn)動(dòng)，其中在k時(shí)刻目標(biāo)在x軸和y軸上的速度分別為[vx（k）]和[vy（k）]，同時(shí)目標(biāo)在x軸和y軸上的位置分別為[x（k）]和[y（k）]。目標(biāo)在勻速運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受到的擾動(dòng)用[W（k）]來(lái)表示，經(jīng)過(guò)采樣時(shí)間T系統(tǒng)在下一時(shí)刻即[k+1]時(shí)刻的狀態(tài)方程為：

式中：[Φ（k+1k）]為過(guò)程驅(qū)動(dòng)矩陣；[Γ（k）]為噪聲驅(qū)動(dòng)矩陣；[W（k）=wx（k）wy（k）T]為目標(biāo)加速度引起的過(guò)程噪聲，其均值為0且滿足高斯分布，并且其方差為[Q]。

1.2 系統(tǒng)的觀測(cè)方程

潛艇利用純方位信息來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)敵艦?zāi)繕?biāo)運(yùn)動(dòng)參數(shù)（位置、速度、加速度等）的估計(jì)，是實(shí)現(xiàn)潛艇隱蔽打擊的主要手段。假設(shè)潛艇的初始位置已知為[（x0，y0）]且潛艇的位置保持不變，敵艦在[k]時(shí)刻的位置為[（x（k），y（k））]，則以所測(cè)得的敵艦?zāi)繕?biāo)方位角為變量的觀測(cè)方程為：

2 UKF算法

2.1 無(wú)跡變換原理

UKF是使用一組確定的Sigma點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)向量的概率密度函數(shù)進(jìn)行近似化，而不是對(duì)系統(tǒng)的非線性函數(shù)進(jìn)行近似線性化，從而克服了線性化所帶來(lái)的濾波誤差[8]。無(wú)跡變換（Unscented Transformation，UT）的思想是：利用初始分布的均值和協(xié)方差生成一系列確定的Sigma采樣點(diǎn)，這些Sigma點(diǎn)通過(guò)非線性函數(shù)傳播，從而得到估計(jì)的均值和協(xié)方差[9]。利用此方法求得非線性變換后的均值和協(xié)方差，至少具有二階精度。

2.2 UT的基本步驟

式中：n表示隨機(jī)變量x的維數(shù)；[px=px（px）T]，[（px）i]表示矩陣的第[i]列；[λ]是一個(gè)尺度參數(shù)，可以用來(lái)降低預(yù)測(cè)的誤差，其定義為[λ=α2（n+κ）-n]，參數(shù)[α]，[κ]決定了Sigma點(diǎn)以均值為原點(diǎn)的分散程度，通常[α]取一個(gè)較小的正數(shù)，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，[α]的取值范圍為[0.000 1，1）；一般情況下[κ]的取值為0或3-n；通常情況下如果系統(tǒng)的噪聲服從高斯分布，則其最優(yōu)取值[β=2]，如果系統(tǒng)的狀態(tài)變量為單變量，則其最優(yōu)取值為[β=0]；[ωmi]表示在第[i]個(gè)采樣點(diǎn)均值的加權(quán)值；[ωci]表示在第[i]個(gè)采樣點(diǎn)協(xié)方差的加權(quán)值。

2.3 UKF算法

UKF是以UT為核心思想的一種新的非線性濾波方法[10]。相對(duì)于EKF，UKF是采用一系列的采樣點(diǎn)來(lái)表示狀態(tài)的隨機(jī)變量，通過(guò)這一系列的采樣點(diǎn)可以獲得隨機(jī)變量的均值和協(xié)方差[11]。UKF沒(méi)有近似非線性動(dòng)態(tài)模型和量測(cè)模型，而是直接利用原系統(tǒng)模型。當(dāng)狀態(tài)變量通過(guò)實(shí)際的非線性系統(tǒng)之后，后驗(yàn)均值和協(xié)方差可以精確到三階，因此提高了該算法的精度[12]。UKF算法的步驟如下：

3 仿真的結(jié)果與分析

假設(shè)潛艇的初始位置為[x0=0 m]，[y0=750 m]，并且潛艇的位置保持不變。假設(shè)目標(biāo)做勻速直線運(yùn)動(dòng)即運(yùn)行在CV模型下，其初始狀態(tài)變量分別為：[x（0）] =360 m，[vx（0）] =20 m/s，[y（0）]=700 m， [vy（0）]=5 m/s。采樣的周期T=1 s，采樣的總時(shí)間為40 s。非線性系統(tǒng)函數(shù)過(guò)程噪聲和測(cè)量噪聲的協(xié)方差分別為Q=diag（[10，10]），R=5。利用上面的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，在Matlab 2014b中分別使用UKF和EKF算法對(duì)潛艇在敵艦?zāi)繕?biāo)中的定位與跟蹤進(jìn)行仿真，其仿真的結(jié)果分別如圖1～圖4所示。

由圖1可知：在開始階段無(wú)論是EKF還是UKF都能夠較好地實(shí)現(xiàn)對(duì)敵艦的跟蹤與定位，但UKF的精度高于EKF，因此與EKF相比UKF提高了潛艇對(duì)敵艦?zāi)繕?biāo)跟蹤與定位的精度；并且當(dāng)敵艦勻速運(yùn)行12 s后即敵艦的位置在（600，760）時(shí)，EKF出現(xiàn)了發(fā)散的情況，無(wú)法實(shí)現(xiàn)對(duì)敵艦?zāi)繕?biāo)的跟蹤與定位，但此時(shí)UKF仍然能夠較好地實(shí)現(xiàn)潛艇對(duì)敵艦?zāi)繕?biāo)的跟蹤與定位。

由圖2可知：在0～12 s之間利用EKF算法與UKF算法對(duì)敵艦?zāi)繕?biāo)位置估計(jì)的偏差幾乎相同而且對(duì)敵艦?zāi)繕?biāo)的跟蹤都比較精確；但在敵艦勻速運(yùn)動(dòng)12 s之后利用EKF算法對(duì)敵艦?zāi)繕?biāo)位置估計(jì)的偏差急劇增大，此時(shí)無(wú)法準(zhǔn)確估計(jì)出敵艦的位置，但此時(shí)UKF算法仍然能夠較好地估計(jì)出敵艦的位置。

由圖3可知：由于敵艦受到噪聲的干擾使得敵艦在x軸上的真實(shí)速度在20 m/s上下浮動(dòng)，在敵艦勻速運(yùn)行的前22 s，EKF與UKF都能較好地濾除噪聲對(duì)敵艦?zāi)繕?biāo)速度的影響；在敵艦勻速運(yùn)行22 s后EKF對(duì)敵艦的估計(jì)速度出現(xiàn)了發(fā)散的情況，而此時(shí)UKF仍然能夠較好地估計(jì)出敵艦在x軸上的速度，有效地濾除了噪聲干擾在潛艇對(duì)敵艦速度估計(jì)時(shí)在x軸上的影響；通過(guò)對(duì)比可以得出與EKF相比較，UKF具有更好的抑制噪聲的能力。

由圖4可知：由于敵艦受到噪聲的干擾使得敵艦在y軸上的真實(shí)速度在5 m/s上下浮動(dòng)，在敵艦勻速運(yùn)行的前12 s，EKF與UKF都能較好的濾除噪聲對(duì)敵艦?zāi)繕?biāo)速度的影響；在敵艦勻速運(yùn)行12 s后EKF對(duì)敵艦速度的估計(jì)出現(xiàn)了發(fā)散的情況，而此時(shí)UKF仍然能夠較好地估計(jì)出敵艦在y軸上的速度，有效地濾除了噪聲干擾在潛艇對(duì)敵艦速度估計(jì)時(shí)在y軸上的影響。

4 結(jié) 論

為了提高潛艇在現(xiàn)代化戰(zhàn)爭(zhēng)中的作戰(zhàn)效率，本文將無(wú)跡卡爾曼濾波應(yīng)用在潛艇對(duì)敵艦?zāi)繕?biāo)的跟蹤與定位中。通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)的結(jié)果可知，與EKF相比，UKF提高了潛艇對(duì)敵艦?zāi)繕?biāo)跟蹤與定位的精度，并且還解決了其發(fā)散的問(wèn)題。在仿真實(shí)驗(yàn)中，潛艇對(duì)敵艦?zāi)繕?biāo)定位與跟蹤12 s后，利用EKF出現(xiàn)了發(fā)散的狀況，無(wú)法實(shí)現(xiàn)對(duì)敵艦?zāi)繕?biāo)精準(zhǔn)的定位與跟蹤，降低了潛艇在現(xiàn)代化戰(zhàn)爭(zhēng)中的作戰(zhàn)效率；而此時(shí)UKF仍然能夠較好地實(shí)現(xiàn)對(duì)敵艦?zāi)繕?biāo)的跟蹤與定位。因此將UKF應(yīng)用在潛艇對(duì)敵艦?zāi)繕?biāo)的定位與跟蹤中，可以提高潛艇在現(xiàn)代化戰(zhàn)爭(zhēng)中的作戰(zhàn)效率，具有十分重要的軍事意義。

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