韓旭炤，陳陽陽，高 峰，田 璐

（西安理工大學(xué) 機(jī)械與精密儀器工程學(xué)院，陜西 西安 710048）

1 引言

并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有承載能力強(qiáng)、剛度大、無累積誤差、運動精度高、動態(tài)性能好等一系列優(yōu)點引起了國內(nèi)外學(xué)者的普遍關(guān)注[1-2]。特別是少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)在機(jī)床及其機(jī)器人上的廣泛應(yīng)用，使得人們針對少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的研究成為一個熱門的科研課題。

并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動力學(xué)建模是其動力學(xué)性能優(yōu)化和控制等相關(guān)研究的基礎(chǔ)，主要分為動力學(xué)正問題和逆問題兩個方面。由于并聯(lián)機(jī)構(gòu)動力學(xué)正問題的分析建模過程比較復(fù)雜，而且在工程應(yīng)用中也不經(jīng)常使用，因此相關(guān)研究較少。與正問題相反，構(gòu)建并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動力學(xué)逆問題模型相對簡單，且應(yīng)用面廣，是動力學(xué)性能分析、動力學(xué)參數(shù)識別、驅(qū)動電機(jī)選型和動力學(xué)控制等研究的基礎(chǔ)，國內(nèi)外相關(guān)研究也比較全面。

目前常用的動力學(xué)建模方法主要有拉格朗日方程法、牛頓—歐拉法、凱恩法和虛功原理法等。牛頓—歐拉法[3-4]具有遞推形式，適合數(shù)值計算，其物理意義明確，但需求出機(jī)構(gòu)的鉸鏈內(nèi)力，因此計算工作量較大；拉格朗日方程法[5-6]獲得的動力學(xué)模型形式標(biāo)準(zhǔn)，但在計算過程中涉及到大量的偏微分推導(dǎo)與運算，過程太過繁瑣容易出錯，而且要進(jìn)行大量的編程運算；而基于動力學(xué)普遍方程的虛功原理[7-8]和凱恩方程[9-10]建模相對簡單，是建立并聯(lián)機(jī)構(gòu)動力學(xué)模型的常用方法。由雅可比矩陣和海賽矩陣可導(dǎo)出操作空間與關(guān)節(jié)空間的速度和加速度之間的映射關(guān)系，由此可方便導(dǎo)出機(jī)構(gòu)中各運動構(gòu)件的廣義速度與廣義力。同時，利用凱恩方程進(jìn)行動力學(xué)建模時，推導(dǎo)過程清晰，方便進(jìn)行編程計算，使動力學(xué)逆向問題的求解計算效率得到較大提高。

針對一種三桿二自由度平面運動并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了深入的研究，詳細(xì)推導(dǎo)了該機(jī)構(gòu)的位置逆解、速度及加速度方程，并給出了該機(jī)構(gòu)的雅克比矩陣，推導(dǎo)了該并聯(lián)機(jī)構(gòu)主要零部件的偏速度和偏角速度矩陣方程，采用凱恩法建立了該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動力學(xué)逆解模型。最后通過數(shù)值計算與ADAMS仿真相結(jié)合的方法驗證了所建模型的正確性。

2 運動學(xué)解析

2.1 運動學(xué)逆解

所研究的平面二自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡圖，如圖1所示。

圖1 并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡圖Fig.1 Schematic Diagram of the Parallel Mechanism

它由桿 AiBi（i=1，2，3）、A2A3、B2B3和兩個滑塊 Ci，i=1，，2 組成。桿 A2A3、A3B3、B3B2、A2B2組成平行四邊形結(jié)構(gòu)，其中桿 A2A3與滑塊C2固連。該機(jī)構(gòu)中采用平行四邊形結(jié)構(gòu)使得動平臺（固連于Bi，i=1，2點）的姿態(tài)保持不變，也增強(qiáng)了該機(jī)構(gòu)的橫向承載能力。當(dāng)兩滑塊由電機(jī)驅(qū)動在導(dǎo)軌上做直線往復(fù)運動時，動平臺實現(xiàn)兩自由度的運動。

建立坐標(biāo)系，如圖1所示。定平臺坐標(biāo)系為ΣO-XZ，動平臺坐標(biāo)系為ΣOm-XmZm，其坐標(biāo)原點Om在復(fù)合鉸鏈的中心，兩平行導(dǎo)軌間的距離為2a，桿長l1=l2=l。

在坐標(biāo)系ΣO-XZ 下，設(shè) Om點的坐標(biāo)為（x，z），Ai點的坐標(biāo)為（xi，zi），i=1，2，zi=（-1）ia。

根據(jù)幾何關(guān)系可得：

式中：i=1，2，βi—桿 AiBi與 X 軸的夾角。

聯(lián)立式（1）、式（2）可得該機(jī)構(gòu)的約束方程為：

容易求得該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的逆解為：

由于并聯(lián)機(jī)構(gòu)在滑塊的右側(cè)，從而式（5）、式（6）中取“-”號。

2.2 雅克比矩陣

式（1），式（2）對時間求導(dǎo)數(shù)可得：

從而可得到該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的雅克比矩陣為：

2.3 速度及加速度分析

設(shè)動平臺參考點的速度矢量為：

從而容易獲得滑塊的運動速度為：

由式（7），式（8）對時間求導(dǎo)數(shù)可得：

設(shè)動平臺參考點的加速度矢量為：

從而各個滑塊的加速度為：

2.4 偏速度矩陣和偏角速度矩陣

（1）對于滑塊A1偏速度矩陣為：

因滑塊A1只有直線移動，沒有轉(zhuǎn)動，故偏角速度矩陣為：

（2）對于滑塊A2偏速度矩陣為：

因滑塊A2只有直線移動，沒有轉(zhuǎn)動，故偏角速度矩陣為：

（3）對于桿 li，（i=1，2），偏速度矩陣為：

偏角速度矩陣為：

（4）對于動平臺偏速度矩陣為：

偏角速度矩陣為：

3 動力學(xué)方程建立

3.1 慣性力和慣性力矩分析

（1）對于滑塊A（ii=1，2），其慣性力和慣性力矩分別為：

（2）對于連桿AiB（ii=1，2），其慣性力和慣性力矩分別為：

式中：lci—桿質(zhì)心到轉(zhuǎn)動副中心的距離；

Ili—桿對轉(zhuǎn)動中心的轉(zhuǎn)動慣量。

由于連桿A3B3和連桿A2B2具有相同的運動速度，且結(jié)構(gòu)特征相同，因此連桿A3B3所受慣性力和慣性力矩與連桿A2B2相同。

（3）動平臺處的慣性力及慣性力矩為：

式中：mN—動平臺的質(zhì)量。

3.2 動力學(xué)方程建立

根據(jù)前文推導(dǎo)的偏速度、偏角速度以及慣性力和慣性力矩，由凱恩方程可得該機(jī)構(gòu)的動力學(xué)方程為：

其中，τ=［τ1τ2］T

式中：τ1，τ2—作用于滑塊 A1，A2上的驅(qū)動力。

整理后可得：

4 算例

設(shè)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)為：mA1=1.65kg，mA2=2.70kg，ml1=ml2=ml3=3.33kg，mN=11.90kg，a=0.214m，l1=l2=l3=0.447m，Il1=Il2=Il3=0.022kg/m2，外載荷F=［200200］N。通過Matlab編程以及ADAMS仿真相結(jié)合的方法考核其正確性。

若動平臺參考點在XZ平面內(nèi)沿Z方向以速度v=0.03m/s從點（0.495，0.09）運動到點（0.495，-0.9）。根據(jù)動力學(xué)模型，分別利用Matlab和ADAMS軟件得到動平臺在外載荷F作用下所需驅(qū)動力的變化曲線，如圖2所示。

圖2 Matlab和ADAMS仿真結(jié)果對比Fig.2 Comparison of Simulation Results about Matlab and ADAMS

圖3 動力學(xué)方程中各項驅(qū)動力分量（v=0.03m/s）Fig.3 The Driving Force Components in the Dynamical Equation（v=0.03m/s）

圖4 不同加速度下克服慣性力所需驅(qū)動力分量Fig.4 The Driving Force Components Required to Overcome Inertia Force in Different Accelerated Velocities

圖中：曲線1—a=10m/s2時克服慣性力所需驅(qū)動力分量；

曲線2—a=1m/s2時克服慣性力所需驅(qū)動力分量；

曲線3—a=0.1m/s2時克服慣性力所需驅(qū)動力分量。

由圖2可以看出，用Matlab編程計算的結(jié)果與ADAMS虛擬仿真的結(jié)果基本一致，證明了所建立動力學(xué)模型的正確性。

由動力學(xué)模型可以看出，機(jī)構(gòu)運動所需的驅(qū)動力要克服四部分的力分量，即為慣性力的驅(qū)動力分量、向心力和科氏力的驅(qū)動力分量、重力驅(qū)動力分量以及外載荷的驅(qū)動力分量。在上述運動條件下，動力學(xué)模型各驅(qū)動力分量，如圖3所示。從圖3中可以看出，當(dāng)機(jī)構(gòu)速度v=0.03m/s時，加速度驅(qū)動力分量和速度驅(qū)動力分量的作用并不明顯，基本上是可以忽略的，此時驅(qū)動力主要體現(xiàn)在克服重力以及外載荷方面。但當(dāng)機(jī)構(gòu)以較高速度較高加速度運動時，機(jī)構(gòu)的動力學(xué)特性將顯著增強(qiáng)。不同加速度條件下上下滑塊的驅(qū)動力分量，如圖4所示。由圖可以看出，隨著機(jī)構(gòu)加速度的增大，慣性力的驅(qū)動力分量顯著增大。不同運動速度條件下上下滑塊的驅(qū)動力分量。由圖可以看出，隨著機(jī)構(gòu)速度的變大，向心力和科氏力的驅(qū)動力分量顯著增大，如圖5所示。

圖5 不同速度下克服向心力和科氏力所需驅(qū)動力分量Fig.5 The Driving Force Components Required to Overcome Centripetal Force and Coriolis Force in Different Velocities

圖中：曲線1—v=3m/s時克服向心力和科氏力所需驅(qū)動力分量；

曲線2—v=0.3m/s時克服向心力和科氏力所需驅(qū)動力分量；

曲線3—v=0.03m/s時克服向心力和科氏力所需驅(qū)動力分量。

5 結(jié)論

推導(dǎo)了平面運動并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運動學(xué)模型并基于凱恩方法建立了該機(jī)構(gòu)動力學(xué)方程，將計算結(jié)果與ADAMS仿真結(jié)果進(jìn)行比較，驗證了所建模型的正確性，為該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計和控制奠定了理論基礎(chǔ)。

通過前文分析，可以歸納如下幾點結(jié)論：

（1）該機(jī)構(gòu)為平面運動并聯(lián)機(jī)構(gòu)，由于垂直于并聯(lián)機(jī)構(gòu)平面方向的剛度性能較差，其相應(yīng)的鉸鏈設(shè)計需具有抵抗橫向彎曲的能力。

（2）采用Kane法對并聯(lián)機(jī)構(gòu)動力學(xué)逆解問題進(jìn)行建模和解析方便直觀，便于編程運算，通過仿真和解析可以看出，當(dāng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)在高速或高加速度運動時，驅(qū)動力分量明顯增強(qiáng)。

（3）采用Matlab編程和ADAMS仿真相結(jié)合的方法，對并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行運動學(xué)和動力學(xué)分析，能夠相互驗證其正確性，便于開發(fā)設(shè)計工作的順利實施。